管尤躍　周佳泉

這是“?！弊值慕鹞拇笞w，其本義是指“鑄造器物的模子”，在本文中有如下幾義：（1）模型;（2）模式;（3）模板。絕大多數(shù)教師都很熟悉“數(shù)學(xué)模型”“教學(xué)模式”“設(shè)計(jì)模板”等概念，關(guān)于這個內(nèi)容筆者曾在《云南教育》（小學(xué)教師）2018年第9期《基于“一課多Mo”的小學(xué)數(shù)學(xué)深度教學(xué)研究（一）》一文中簡略介紹過，在這里將進(jìn)一步解釋說明其內(nèi)涵及教學(xué)價(jià)值。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)深度教學(xué)之“一課多?！薄Ｐ?/p>

“模型”的基本含義很多，拓展后主要在數(shù)學(xué)模型、物理模型、結(jié)構(gòu)模型、工業(yè)模型、仿真模型、人力資源模型、思維模型等各領(lǐng)域中提及，其含義主要有兩個：一是指“主要反映問題系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和因果關(guān)系的模型（即結(jié)構(gòu)模型）”;二是指“用簡單易懂的圖形、符號、結(jié)構(gòu)化語言等表達(dá)人們思考和解決問題形式（即思維模型）”。其實(shí)在小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中，有效使用“模型”進(jìn)行教學(xué)是極其關(guān)鍵的，當(dāng)然，反過來看，在教學(xué)中循序漸進(jìn)地滲透“模型”是基礎(chǔ)，這當(dāng)中“數(shù)學(xué)概念教學(xué)”尤為關(guān)鍵。舉例來說，人民教育出版社出版（簡稱“人教版”）的小學(xué)數(shù)學(xué)四年級教材中，“速度、路程和時(shí)間”這節(jié)課中的“速度×?xí)r間=路程”就是一個“模型”，這是小學(xué)階段數(shù)學(xué)教學(xué)中兩個最為重要的“模型”之一（另一個是“單價(jià)×數(shù)量=總價(jià)”），這是應(yīng)該花大力氣進(jìn)行教學(xué)的“種子課”（借用全國著名特級教師俞正強(qiáng)老師在其專著《種子課》中的說法），因?yàn)檫@是今后學(xué)習(xí)幾乎所有關(guān)于速度、時(shí)間和路程方面的內(nèi)容時(shí)所需要的，例如相向、相背、相離、相距、相遇問題、追及問題、過橋問題、工程問題等，幾乎都離不開這一“模型”。

【案例1】人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊第79頁例5（教材圖如下），其詳細(xì)分析已刊登在《云南教育》（小學(xué)教師）2019年第1、2期《基于“一課多Mo”的小學(xué)數(shù)學(xué)深度教學(xué)研究（五）》中，在此想要強(qiáng)調(diào)的是教學(xué)中必須帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷梳理清楚數(shù)量間關(guān)系（就是“模型”）的過程，這也是學(xué)習(xí)此類問題的關(guān)鍵所在，此模型就是：速度×?xí)r間=路程。這個模型的內(nèi)涵和外延是今后學(xué)習(xí)的重中之重，需要清楚地知道這三個量之間的統(tǒng)一、對應(yīng)關(guān)系。

如，小林騎的速度×小林騎的時(shí)間=小林騎的路程，還要清晰地理解此模型的變形：

這也是教材中所采用的問題解決思路，教學(xué)時(shí)還可以讓學(xué)生體會此類問題中是如何延伸運(yùn)用“速度×?xí)r間=路程”這一模型的：

（小林騎的速度+小云騎的速度）×?xí)r間=總路程

面對同一個模型，讓學(xué)生體驗(yàn)學(xué)習(xí)的樂趣在于“變”，更在于“變中的不變”，正如上面教材中的例題，就可以改變問題、改變其中一個條件的位置、改變數(shù)據(jù)、改變內(nèi)容等使其成為新的問題解決，簡單舉例如下：

（1）-輛客車以每小時(shí)60千米的速度從甲地開往乙地，同時(shí)一輛轎車以每小時(shí)90千米的速度從乙地開往甲地，經(jīng)過3小時(shí)兩車相遇，甲、乙兩地之間的路程是多少千米？

（2）甲、乙兩地之間相距450千米，一輛客車以每小時(shí)60千米的速度從甲地開往乙地，同時(shí)一輛轎車以每小時(shí)90千米的速度從乙地開往甲地，經(jīng)過幾小時(shí)兩車相遇？

（3）甲、乙兩地之間相距450千米，一輛客車從甲地開往乙地，同時(shí)一輛轎車從乙地開往甲地，經(jīng)過3小時(shí)兩車相遇，客車每小時(shí)行駛60千米，轎車每小時(shí)行駛多少千米？

（4）甲、乙兩地之間相距450千米，一輛轎車從乙地開往甲地，同時(shí)一輛客車從甲地開往乙地，經(jīng)過3小時(shí)兩車相遇，轎車每小時(shí)行駛90千米，客車每小時(shí)行駛多少千米？

（5）甲、乙兩地之間相距450千米，一輛轎車以每小時(shí)行駛90千米的速度從乙地開往甲地，行駛l小時(shí)后一輛客車以每小時(shí)行駛60千米的速度從甲地開往乙地，經(jīng)過多長時(shí)間兩車相遇？

（6）-輛客車以每小時(shí)行駛60千米的速度從甲地開往乙地，行駛1小時(shí)后一輛轎車以每小時(shí)行駛90千米的速度從甲地開往乙地，經(jīng)過多長時(shí)間轎車追上客車？

不僅僅如此，還可以“變”出很多很多的問題供學(xué)生思考如何解決，但是我非常喜歡一個很有道理的觀點(diǎn)（盡管不知道出處）：沒有哪個數(shù)學(xué)家能做完所有的數(shù)學(xué)題！所以更重要的是讓學(xué)生做完幾題后停下來思考，我自己會不會編出這樣的問題解決，教會學(xué)生如何在準(zhǔn)確地理解和把握其本質(zhì)的基礎(chǔ)上會思考、會表達(dá)、會交流，在“變”中尋找“不變”，“不變”的就是“模型”，是本質(zhì)，“變”的是形式，是趣味。其實(shí)教材中安排的練習(xí)就是為此目的而精心設(shè)計(jì)的，都是很典型而有價(jià)值的。

如，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第82頁練習(xí)十七的第11、12、13、14題。（見課本）

以上的這些問題其實(shí)都是用同一個“模型”（即速度×?xí)r間=路程）解決，最重要也是最關(guān)鍵的是日常教學(xué)有沒有養(yǎng)成“舉一反三”“觸類旁通”的習(xí)慣，真正促進(jìn)學(xué)生會學(xué)、樂學(xué)、善學(xué)，而不是“照葫蘆畫瓢”，等遇到新問題時(shí)義束手無策！

二、小學(xué)數(shù)學(xué)深度教學(xué)之“一課多?！薄Ｊ?/p>

“模式”的基本含義是指事物的標(biāo)準(zhǔn)樣式，具有一般性、簡單性、重復(fù)性、結(jié)構(gòu)性、穩(wěn)定性和可操作性的特征，如：發(fā)展模式、教學(xué)模式等。模式在實(shí)際運(yùn)用中必須結(jié)合具體情況，實(shí)現(xiàn)一般性和特殊性的銜接并根據(jù)實(shí)際情況的變化隨時(shí)調(diào)整要素與結(jié)構(gòu)才有可操作性。僅就小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)模式而言，在我國近幾十年來頗有影響力的就多達(dá)數(shù)十種，還有類似于概念教學(xué)模式、計(jì)算教學(xué)模式、練習(xí)課教學(xué)模式等。在此，僅從使用圖示法進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)的課堂組織模式進(jìn)行分析，管中窺豹，希望對其他模式的教學(xué)起到參考價(jià)值。

【案例2】人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級上冊第六單元例8。（見課本） 此問題解決課堂教學(xué)組織模式完全可以在幾乎所有有關(guān)問題解決的教學(xué)中運(yùn)用，詳見《云南教育》（小學(xué)教師）2018年第12期《基于“一課多Mo”的小學(xué)數(shù)學(xué)深度教學(xué)研究（三）》，還可以將該模式用下圖表示：

【案例3】人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級上冊第79頁例5（如下）：

在此，特別想突出表達(dá)的是：為何隨著年級的不斷升高學(xué)生之間的問題解決能力差距懸殊？即便是一、二年級為何面對小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的情境圖畫（或?qū)嵨飯D、示意圖）理解卻也相去甚遠(yuǎn)？雖然這涉及方方面面的問題，但其實(shí)這其中有一些極為基礎(chǔ)、重要但義容易被忽略或忽視的細(xì)節(jié)未做、未做好也是主要原因，千里之堤，毀于蟻穴，從多年所聽近千節(jié)課來看，這些細(xì)節(jié)細(xì)思極恐，現(xiàn)將問題和解決方法（也就是教學(xué)模式）呈現(xiàn)如下：

問題1：閱讀題目方式單一，未能充分調(diào)動全體學(xué)生的積極性和主動性，相對有困難的學(xué)生在沒完全準(zhǔn)確理解題意的基礎(chǔ)上倉促進(jìn)入下一個環(huán)節(jié)（列式解答）。

解決方法（即教學(xué)模式）：閱讀題目的方式有很多，一定不能也不用千篇一律，需要注意的最好不要采用“男生讀”“女生讀”這種毫無對比價(jià)值的方法，也要較少采用“XX的普通話好（或有感情朗讀）”的方法，最有效的方法（可廣泛使用）是讓學(xué)生“靜靜地讀”——自己閱讀，因?yàn)閿?shù)學(xué)學(xué)習(xí)特別需要靜心思考，獨(dú)立思考。

問題2：讀完題目后緊迫：你知道什么了、還知道什么、要求什么、怎么求等，急于解答。

解決方法：可以通俗地理解，一個具有現(xiàn)實(shí)情境的數(shù)學(xué)問題解決其實(shí)就是一個小故事，如果要求對故事情節(jié)都沒有很好理解的學(xué)生（往往是有三分之一左右），對問題一知半解，對教學(xué)囫圇吞棗，這樣的情況多了、時(shí)間長了，到中高年級就很容易出現(xiàn)對問題理解、對數(shù)量關(guān)系的分析都有困難。

通?？梢圆捎眠@樣的教學(xué)模式，以達(dá)到因材施教，分類教學(xué)的目的：

（1）讓學(xué)生再次讀題，一般要求讀兩遍題目（即讀故事），教會學(xué)生精讀、細(xì)讀、研讀。

（2）不照著念題目，檢查學(xué)生能不能用自己的話表述出題目的意思（即講故事）。 教材這樣安排的目的就是要求在列式解答前應(yīng)該做到真正理解題意，實(shí)際教學(xué)中更好的方法是“不看教材”用自己的話說理解。

（3）用不同的方法表達(dá)出你對這個問題的理解，一般可以用語義表征、符號表征、動作表征、圖形表征或意象表征等五種不同層次的表征形式中的一種或幾種進(jìn)行表征，可用下圖表示四種常見表征方式的具體操作：我們再看看教材就是用圖形表征（線段圖）的：

問題3：列式（算式或方程等）解答后，未及時(shí)溝通表征形式和解答過程之間的聯(lián)系。

解決方法（也就是教學(xué)模式）：可以這樣說，一個數(shù)學(xué)問題解決本身就是一個“生態(tài)系統(tǒng)”，其間各環(huán)節(jié)、要素之間有很深的聯(lián)系，教學(xué)中要讓學(xué)生真正感受到這種聯(lián)系，感悟到“有機(jī)融合”的存在。就剛才這個例題而言，教材中的解答過程是這樣的：

至此，縱觀整個解答過程，溝通“題”——“圖”——“式”之間的一致性是很有必要的，既做到整體把握，義兼顧全局，有利于學(xué)生問題解決能力的提高。如下圖：

關(guān)于這方面的論述還可參考《云南教育》（小學(xué)教師）2018年第12期《基于“一課多Mo”的小學(xué)數(shù)學(xué)深度教學(xué)研究（三）》一文。

再舉一例：

相遇問題

5、小林和小云周日早上9：00，分別從家騎自行車相向而行，經(jīng)過10分鐘相遇，小林每分鐘騎0.25km，小云每分鐘騎0.2km，小林家和小云家相距多遠(yuǎn)？

其實(shí)，這樣的模式在計(jì)算教學(xué)中同樣適合。

【案例4】給出這樣一道題：18×5=____。不需要你們給我最后的結(jié)果，我只需要你們在紙上面出來，這個乘法算式代表著什么？

這是美國斯坦福大學(xué)教育學(xué)系教授JoBoaler在講“數(shù)感”時(shí)所舉的一個例子。下面是學(xué)生畫出來的作品：

方法一：

有的孩子將方塊右邊補(bǔ)上一塊藍(lán)色的區(qū)域，算出整塊面積后再減去藍(lán)色方塊的面積。

方法二：

有的孩子將長方形截成左右兩塊，然后將右邊一塊挪到左邊長方形的下方。

方法三：

有的孩子也是將長方形截成左右相同的兩塊，然后她分別算左右兩塊的面積，接著再相加。

方法四：

有的孩子將長方形截成左右兩塊，只不過左邊的邊長是10，右邊的邊長是8，然后再計(jì)算總面積。

方法五：

同樣是拆分，之前別的孩子都是橫向的拆分，但是有一個孩子竟然縱向拆分，拆成三段，然后再計(jì)算總面積。

這僅僅是一道最普通的乘法題，數(shù)學(xué)思維好的孩子就能將之衍生出5種不同的表現(xiàn)形式。在這幫孩子的眼里，乘法不是簡單的計(jì)算，而是給了它們具體的意義，他們利用面積這個概念將18x5這個表達(dá)式有了含義。所謂數(shù)感是一個人對數(shù)與運(yùn)算的一般理解。它使人眼中看到的世界有了量化的意味，當(dāng)人遇到可能與數(shù)學(xué)有關(guān)的具體問題時(shí)，能自然地、有意識地與數(shù)學(xué)聯(lián)系起來，用數(shù)學(xué)的思想方法來進(jìn)行處理和解釋。因此你看，當(dāng)數(shù)感好的孩子，他們眼中的數(shù)學(xué)就很精彩，能變換出多種多樣的可能，這樣他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)也會充滿樂趣！

從以上的分析可以看出，這樣的“一課多?！笔呛苡袃r(jià)值的，這樣的模式還可以用在概念教學(xué)、練習(xí)課、復(fù)習(xí)課等大多數(shù)小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中。如果這樣的話，真能做到我心目中的讓教和學(xué)簡簡單單、輕輕松松、明明白白！

三、小學(xué)數(shù)學(xué)深度教學(xué)之“一課多模”——模板

“模板”其原意是指澆灌混凝土工程時(shí)定型用的板，也指作圖或設(shè)計(jì)方案的固定格式，是將一個事物的結(jié)構(gòu)規(guī)律予以固定化、標(biāo)準(zhǔn)化的成果，它體現(xiàn)的是結(jié)構(gòu)形式的標(biāo)準(zhǔn)化。從其含義分析，在教學(xué)中與之前所述的模型、模式皆有相似之處，在此不再贅述。在本文中的“模板”所指的是針對某一種課型所采用的固定的教學(xué)設(shè)計(jì)，或者是學(xué)生所做練習(xí)采用某種結(jié)構(gòu)形式的標(biāo)準(zhǔn)化，這在某個特定的時(shí)期（例如剛步入教學(xué)生涯）或某些特定區(qū)域（例如XX中心學(xué)校）具有較強(qiáng)的規(guī)范性和易操作性。

如，人教版數(shù)學(xué)四年級上冊“角的度量”一課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生在掌握了“兩個對齊”——量角器的圓心與角的頂點(diǎn)對齊、量角器的0刻度線與角的一條邊對齊的基礎(chǔ)上，還是不能正確地進(jìn)行“變式題”的操作，出現(xiàn)下面這些令人啼笑皆非的操作結(jié)果：

究其原因，不外乎三：一是沒有深刻理解量角的本質(zhì)是“以角量角”——即把紙上的角與量角器上的“角”完全重合，根據(jù)量角器上與之全等的角的大小來刻面、描述待測的角的大小;二是沒有深刻理解量角器上的讀數(shù)本質(zhì)是“刻度差”——即始邊與終邊之差即為角度讀數(shù)——圖③中的量角方法其實(shí)也是可行的（90°與50°的差為40°）;三是學(xué)生不會把“異態(tài)角”變換為“常態(tài)角”。

解決方法（也就是教學(xué)模板）：由兩個“支架”構(gòu)成——一是設(shè)計(jì)“單式”量角器（左式與右式）降低學(xué)困生區(qū)分內(nèi)外圈讀數(shù)的困難（見下圖）;

二是采取變“異態(tài)角”為“常態(tài)角”（即始邊保持水平，終邊在始邊或其延長線之上）的方法，并成為一種思維“模板”，收到“以不變應(yīng)萬變”的效果（如下圖）。 這在其他相關(guān)圖形的面積、體積計(jì)算時(shí)也是一樣的。如下圖中，學(xué)困生往往難以找到空白三角形的底和高，但是把“異態(tài)圖形”變?yōu)椤俺B(tài)圖形”就容易多了（如下圖）。

再比如，某些學(xué)校（以初、高中居多）解題的格式也搞出“已知、求、解、答”的答題模板，很好地規(guī)范了學(xué)生的解題步驟。

以上這些“模板”在教學(xué)中所起到的作用和價(jià)值毋庸置疑，不過一切事物都有其兩面性，使用模板也給教學(xué)增加了一個義一個的“圈套”或“枷鎖”，例如簡便計(jì)算中的“湊整”思想，其實(shí)這對于大部分題目而言是可行的，對很多學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)也是有很大幫助的，但是這也會嚴(yán)重阻礙學(xué)生的創(chuàng)新思維和結(jié)合具體問題具體分析的基本能力，在小學(xué)4-6年級各種簡便運(yùn)算中思維僵化、指鹿為馬、張冠李戴的現(xiàn)象尤為突出，限于篇幅，就寫到這兒。