于宛讓 計(jì)新

(延邊大學(xué)理學(xué)院物理系, 延吉 133002)

(2018 年 10 月 29 日收到; 2018 年 12 月 3 日收到修改稿)

本文提出了一個(gè)基于超絕熱捷徑技術(shù)快速制備超導(dǎo)三量子比特Greenberger-Horne-Zeilinger態(tài)的理論方案. 該方案首先在量子Zeno動(dòng)力學(xué)的幫助下得到系統(tǒng)的有效哈密頓量, 之后通過(guò)引入與有效哈密頓量具有相同形式的反向?qū)峁茴D量來(lái)構(gòu)建絕熱捷徑, 加速了整個(gè)系統(tǒng)的演化過(guò)程. 該方案不需要初態(tài)和目標(biāo)態(tài)之間的直接耦合, 在實(shí)驗(yàn)上也更容易實(shí)現(xiàn). 數(shù)值模擬結(jié)果表明該方案對(duì)超導(dǎo)量子比特的自發(fā)輻射、波導(dǎo)諧振腔的泄漏以及超導(dǎo)量子比特的退相位是魯棒的.

1 引 言

隨著量子信息學(xué)的發(fā)展, 糾纏態(tài)已經(jīng)應(yīng)用在許多前沿領(lǐng)域, 如量子隱形傳送、量子密鑰分配、量子安全直接通信等[1?3]. 其中一種著名的糾纏態(tài)就是 Greenberger-Horne-Zeilinger (GHZ)態(tài), 它提供了一種不使用貝爾不等式就可以驗(yàn)證量子力學(xué)違背局域隱變量理論的可能性[4,5]. 迄今為止, 人們?cè)诓煌南到y(tǒng)中制備了GHZ態(tài), 這些系統(tǒng)包括離子系統(tǒng)[6]、光子系統(tǒng)[7]、原子系統(tǒng)[8]、超導(dǎo)系統(tǒng)[9]等.相比較而言, 超導(dǎo)系統(tǒng)的優(yōu)勢(shì)在于它的可操控性,即通過(guò)調(diào)節(jié)電磁信號(hào)以及能級(jí)結(jié)構(gòu)可以讓超導(dǎo)量子比特之間的耦合強(qiáng)度達(dá)到理想數(shù)值[10?12].

近幾年來(lái), 在超導(dǎo)系統(tǒng)中人們應(yīng)用了多種方法制備 GHZ 態(tài). 2016 年, Wu 等[13]利用受激拉曼絕熱過(guò)程的方法制備了n量子比特GHZ態(tài), 但是,受激拉曼絕熱過(guò)程的方法需要較長(zhǎng)的演化時(shí)間來(lái)抑制非絕熱過(guò)程, 而長(zhǎng)的演化時(shí)間勢(shì)必會(huì)對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的消相干造成較大的影響. 為了解決絕熱過(guò)程演化緩慢的問題, 2017年Zhang等和Wu等分別用無(wú)躍遷量子驅(qū)動(dòng)的方法[14]以及Lewis-Riesenfeld不變量的方法[15]在超導(dǎo)系統(tǒng)中制備了GHZ態(tài). 然而, 這兩種方法在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)起來(lái)分別遇到了不同的挑戰(zhàn). 無(wú)躍遷量子驅(qū)動(dòng)的方法需要初態(tài)和目標(biāo)態(tài)之間的直接耦合, 這在實(shí)際操作中是很難實(shí)現(xiàn)的;在Lewis-Riesenfeld不變量的方法中需要使用短時(shí)間截取的兩個(gè)簡(jiǎn)諧脈沖, 在現(xiàn)有的實(shí)驗(yàn)技術(shù)條件下是很難獲得這樣的脈沖的. 為了克服上述兩種方案中的不足之處, 本文提出基于超絕熱迭代相互作用的方法來(lái)制備GHZ態(tài). 超絕熱迭代相互作用作為傳統(tǒng)絕熱近似的延伸第一次由Berry[16]介紹, 這里通過(guò)兩次迭代相互作用獲得超絕熱態(tài)作為演化路徑, 構(gòu)建的反向?qū)峁茴D量與利用量子Zeno動(dòng)力學(xué)化簡(jiǎn)后的哈密頓量具有相同的形式.與之前的兩種方案相比, 該方案的優(yōu)點(diǎn)在于不需要初態(tài)和目標(biāo)態(tài)之間的直接耦合, 并且該方案中所使用的驅(qū)動(dòng)脈沖可以在曲線擬合的幫助下用兩個(gè)高斯型脈沖所替代, 這兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)極大地增加了該方案在實(shí)驗(yàn)上實(shí)施的可行性. 數(shù)值模擬結(jié)果顯示制備的糾纏態(tài)保真度較高, 并且對(duì)于波導(dǎo)諧振腔的耗散、超導(dǎo)量子比特的自發(fā)輻射以及超導(dǎo)量子比特的退相位是魯棒的.

2 物理模型和有效動(dòng)力學(xué)

如圖1所示, 三個(gè)超導(dǎo)量子比特與兩個(gè)共面的波導(dǎo)諧振腔(CPWRs)通過(guò)電容器相互耦合,三個(gè)超導(dǎo)量子比特具有相同的能級(jí)結(jié)構(gòu), 都具有一個(gè)激發(fā)態(tài)|e〉j, 兩個(gè)基態(tài)|L〉j和|R〉j(j=1,2,3 ).對(duì)于超導(dǎo)量子比特SQ1和超導(dǎo)量子比特SQ3,的躍遷分別由拉比頻率為的經(jīng)典激光驅(qū)動(dòng).的躍 遷 與 CPWR1共 振 耦 合, 耦 合 強(qiáng) 度 為λL,的躍遷與CPWR2共振耦合, 耦合強(qiáng)度為λR. 在相互作用繪景下, 系統(tǒng)的總哈密頓量為 ( ? =1 )

圖1 制備超導(dǎo)三量子比特 GHZ 態(tài)的裝置圖Fig.1. Setup for generating GHZ state of three superconducting qubits.

根據(jù)量子Zeno動(dòng)力學(xué)理論, 得到系統(tǒng)的有效哈密頓量為

3 基于超絕熱捷徑方法快速制備超導(dǎo)三量子比特GHZ態(tài)

Heff(t)的瞬時(shí)本征態(tài)也稱作絕熱本征態(tài), 其形式 如下:

4 數(shù)值模擬

式中?0是高斯脈沖的振幅,tf是操作時(shí)間, 選定參數(shù)通過(guò)這兩個(gè)脈沖, 可以確定θ0(t) 和θ1(t) . 圖 2 給出了θ0(t) 和θ1(t) 隨時(shí)間變化的圖像, 可以看出對(duì)于任意的?0, 均滿足邊界條件但 是?0數(shù) 值 的 大 小對(duì)邊界條件的影響很大. 為了找到合適大小的?0, 圖3繪制了保真度隨?0變化的圖像, 可以看到當(dāng)?0的取值在10—50之內(nèi)時(shí),均可獲得相對(duì)較高的目標(biāo)態(tài)保真度, 但是考慮到量子 Zeno 條件又不能過(guò)大, 因?yàn)橐坏┎粷M足量子Zeno條件, 系統(tǒng)在演化的過(guò)程中會(huì)經(jīng)歷更多的耗散. 因此, 為了保證該方案的魯棒性,在接下來(lái)的討論中取為了進(jìn)一步說(shuō)明該方案的可行性, 在圖4中根據(jù)脈沖繪 制 出七 個(gè) 狀 態(tài) 的 布居轉(zhuǎn)移, 可以看出在時(shí)可以近乎完美地獲得GHZ態(tài), 并且不包含在GHZ態(tài)中的其他狀態(tài)在整個(gè)演化過(guò)程中布居占有數(shù)很小. 因此, 本文提出的方案是有效的.

圖2 θ 0(t) 和 θ 1(t) 隨時(shí)間的變化情況Fig.2. Dependence on t of θ 0(t) and θ 1(t) .

接下來(lái), 考慮超導(dǎo)量子比特的自發(fā)輻射、波導(dǎo)諧振腔的泄漏以及超導(dǎo)量子比特的退相位對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的影響. 當(dāng)考慮這些消相干的影響時(shí), 整個(gè)系統(tǒng)的主方程可以表示為

圖3 保真度隨 ?0 的變化情況Fig.3. Dependence on ? 0 of fidelity ( λ =100tf-1 ).

圖4 量子態(tài)布局隨時(shí)間的變化Fig.4. Population versus

圖5(a)—(c)分別給出了保真度隨γ和κ的變化情況, 保真度隨γ和γ?的變化情況, 以及保真度隨κ和γ?的變化情況. 從圖 5 可以看出, 超導(dǎo)量子比特的自發(fā)輻射對(duì)系統(tǒng)的保真度幾乎沒有影響, 這主要是因?yàn)槿鐖D4 所展現(xiàn)的, 在該方案中, 激發(fā)態(tài)在整個(gè)演化過(guò)程中的布居數(shù)幾乎為0; 與自發(fā)輻射相比, 波導(dǎo)諧振腔的泄漏對(duì)系統(tǒng)保真度的影響稍大, 但從圖5(a)和圖5(c)可以看出, 當(dāng)κ從 0 變化到時(shí), 系統(tǒng)的保真度變化很小, 所以該方案對(duì)波導(dǎo)諧振腔的泄漏也是魯棒的; 對(duì)比圖5(a)、圖5(b)、圖5(c)三個(gè)圖可以看出,超導(dǎo)量子比特的退相位對(duì)系統(tǒng)的保真度影響最大,但即使當(dāng)波導(dǎo)諧振腔的泄漏率且超導(dǎo)量子比特的退相位率時(shí), 目標(biāo)態(tài)保真度仍高達(dá)99.76%, 而在前面提到的通過(guò)無(wú)躍遷量子驅(qū)動(dòng)的方法[14]和通過(guò)Lewis-Riesenfeld不變量的方法[15]制備 GHZ態(tài)中, 當(dāng)時(shí), 保真度分別為 0.922 和 0.87, 所以可以看出本文方案與之前的方案相比對(duì)于超導(dǎo)量子比特的退相位是更加魯棒的.

圖5 (a) γ 和 κ 對(duì)目標(biāo)態(tài)保真度的影響; (b) γ ? 和 γ 對(duì)目標(biāo)態(tài)保真度的影響; (c) κ 和 γ ? 對(duì)目標(biāo)態(tài)保真度的影響Fig.5. (a) Denpendence on γ and κ of fidelity; (b) denpendence on γ and γ? of fidelity; (c) dependence on κ and γ? of fidelity.

5 結(jié) 論

在量子Zeno動(dòng)力學(xué)的幫助下, 提出了一個(gè)實(shí)驗(yàn)上可行的理論方案, 通過(guò)超絕熱捷徑技術(shù)快速制備超導(dǎo)三量子比特GHZ態(tài). 與無(wú)躍遷量子驅(qū)動(dòng)的方法和Lewis-Riesenfeld不變量的方法相比, 該方案的優(yōu)點(diǎn)在于以超絕熱態(tài)作為演化路徑, 構(gòu)建的反向?qū)峁茴D量與利用量子Zeno動(dòng)力學(xué)化簡(jiǎn)后的哈密頓量具有相同的形式, 不需要初態(tài)與目標(biāo)態(tài)之間的直接耦合, 并且所使用的驅(qū)動(dòng)脈沖在曲線擬合的幫助下在實(shí)驗(yàn)上可以用兩個(gè)高斯型脈沖所替代,這些優(yōu)點(diǎn)極大地保證了該方案在實(shí)驗(yàn)上實(shí)施的可行性. 數(shù)值模擬結(jié)果表明該方案對(duì)于超導(dǎo)量子比特的能量弛豫、波導(dǎo)諧振腔的泄漏以及超導(dǎo)量子比特的退相位是魯棒的.