☉蘇州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 孫龍華

函數(shù)貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)，在函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)法則和值域這三大要素中，定義域是函數(shù)的基礎(chǔ)，我們?cè)诮鉀Q函數(shù)問(wèn)題時(shí)，應(yīng)首先考慮函數(shù)的定義域.一般而言，函數(shù)的定義域并不難求，正因如此，許多學(xué)生在解決函數(shù)問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)忽視對(duì)函數(shù)定義域的求解，從而解錯(cuò)函數(shù)問(wèn)題，而且這種忽略定義域的粗心大意的壞習(xí)慣，會(huì)給他們今后函數(shù)的學(xué)習(xí)帶來(lái)很大的隱患.本文結(jié)合幾類學(xué)生錯(cuò)解的函數(shù)題目，談?wù)劧x域在函數(shù)問(wèn)題中的重要性.

一、“判斷同一函數(shù)”中的定義域

例1判斷下列函數(shù)是否為同一函數(shù)：

學(xué)生錯(cuò)解：①因?yàn)樗裕╢x）與g（x）為同一函數(shù).②因?yàn)?，所以（fx）與g（x）為同一函數(shù).

錯(cuò)因分析：學(xué)生錯(cuò)解過(guò)程中忽視了對(duì)函數(shù)f（x）的定義域的求解，這樣在對(duì)函數(shù)f（x）解析式變形時(shí)，沒(méi)有實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致錯(cuò)解.

解：①因?yàn)閤+1≥0且x-1≥0，x≥1，所以f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），又x2-1≥0，所以x≥1或x≤-1，g（x）的定義域?yàn)閤∈（-∞，-1］∪［1，+∞）.因?yàn)閒（x）與g（x）定義域不同，故f（x）與g（x）不是同一函數(shù).

②同理，f（x）定義域?yàn)椋?∞，1）∪（1，+∞），g（x）的定義域?yàn)镽，定義域不同，故f（x）與g（x）不是同一函數(shù).

點(diǎn)評(píng)：判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)時(shí)，必須要對(duì)這兩個(gè)函數(shù)的定義域、解析式和值域進(jìn)行判斷，這三個(gè)要素都相同的函數(shù)，才是同一函數(shù).當(dāng)然，由于定義域、解析式相同的函數(shù)，其值域肯定相同，所以一般我們只需判斷函數(shù)的定義域和解析式是否相同即可.本例中學(xué)生忽視了對(duì)定義域的求解，所以誤認(rèn)為是同一函數(shù).

二、“求解析式”中的定義域

例2若，求（fx）的解析式.

學(xué)生錯(cuò)解：令，則x=（t-1）2，代入原式有（ft）=（t-1）2+2（t-1），所以f（t）=t2-1，故f（x）=x2-1.

錯(cuò)因分析：換元法是求函數(shù)解析式的最基本的方法之一，本題學(xué)生采用了換元法來(lái)求函數(shù)f（x）的解析式，其思路是正確的，但是學(xué)生在換元的時(shí)候，沒(méi)有注意到新元的取值范圍，即函數(shù)f（t）=t2-1的定義域，導(dǎo)致出現(xiàn)了錯(cuò)誤.

解法1：（換元法）令，則x=（t-1）2且t≥1，代入原式有f（t）=（t-1）2+2（t-1），其中t≥1，整理得，故

解法2：（配湊法）因?yàn)橛钟?，?/p>

點(diǎn)評(píng)：我們?cè)谇蠛瘮?shù)解析式時(shí)，經(jīng)常會(huì)用到換元法，換元時(shí)，一定不能忘記新元的取值范圍.因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)即使解析式相同，倘若定義域不同，那么這兩個(gè)也是不同的函數(shù).

三、“求值域”中的定義域

例3求函數(shù)的值域.

學(xué)生錯(cuò)解：令，則x=t2+1，故原函數(shù)可化為y=t2+1+t，即，所以函數(shù)的值域?yàn)?/p>

錯(cuò)因分析：此題學(xué)生的解題思路是正確的，問(wèn)題出在換元之后的新函數(shù)y的定義域上，學(xué)生在換元的時(shí)候，忽視了新元t的取值范圍，這就導(dǎo)致轉(zhuǎn)化之后的新函數(shù)y=t2+t+1的定義域錯(cuò)誤，從而導(dǎo)致了錯(cuò)誤.

解：令則x=t2+1且t≥0，則原函數(shù)可化為y=，易知函數(shù)y在區(qū)間［0，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，所以當(dāng)t=0時(shí)，函數(shù)y有最小值為y=1，所以函數(shù)的值域?yàn)?/p>

點(diǎn)評(píng)：函數(shù)的定義域決定了函數(shù)的值域，所以當(dāng)我們求函數(shù)值域的時(shí)候，應(yīng)首先考慮函數(shù)的定義域，而換元法求值域，其本質(zhì)是利用換元法求函數(shù)的解析式，只不過(guò)在換元時(shí)切不可忘記對(duì)新元取值范圍的討論.

四、“判斷奇偶性”中的定義域

例4判斷函數(shù)的奇偶性.

學(xué)生錯(cuò)解：因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù).

錯(cuò)因分析：學(xué)生對(duì)函數(shù)奇偶性的定義掌握得不夠清晰，偶函數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)锳，如果對(duì)任意的x∈A，都有f（-x）=f（x），那么稱函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，通過(guò)對(duì)偶函數(shù)定義的分析，我們發(fā)現(xiàn)若x∈A，則必有-x∈A，因此偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是判斷偶函數(shù)的前提條件，而這位學(xué)生并沒(méi)有對(duì)函數(shù)的定義域加以求解，從而導(dǎo)致了錯(cuò)解.

解：因?yàn)?-x2≥0且x2-1≥0，所以x∈{1，-1}，f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，此時(shí)，函數(shù)可化為f（x）=0，滿足f（-x）=f（x）=-f（x），故函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).

點(diǎn)評(píng)：由函數(shù)奇偶性的定義，我們不難發(fā)現(xiàn)，判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性要從兩個(gè)方面去入手：①定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②f（-x）與f（x）的關(guān)系.另外，求解出定義域之后，要重新考查函數(shù)解析式是否可以化簡(jiǎn)，然后再去判斷，萬(wàn)萬(wàn)不能不考慮定義域，而直接去判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，這樣極易帶來(lái)錯(cuò)誤的判斷.

五、“單調(diào)性”中的定義域

例5求函數(shù)y=log2（x2-2x-3）的單調(diào)增區(qū)間.

學(xué)生錯(cuò)解：函數(shù)y=log2（x2-2x-3）可以看成由函數(shù)y=log2t與t=x2-2x-3復(fù)合而成，因?yàn)楹瘮?shù)t=x2-2x-3在區(qū)間（-∞，1）上為單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，且函數(shù)y=log2t為定義域上的單調(diào)增函數(shù)，故根據(jù)復(fù)合函數(shù)的同增異減的原則，原函數(shù)y=log2（x2-2x-3）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）.

錯(cuò)因分析：因?yàn)楹瘮?shù)t=x2-2x-3是嵌入到對(duì)數(shù)函數(shù)y=log2t中的真數(shù)位置，故要滿足t=x2-2x-3＞0，實(shí)際上也就是要先求函數(shù)y=log2（x2-2x-3）的定義域，而學(xué)生并沒(méi)有這么做.

解：先求出函數(shù)y=log2（x2-2x-3）的定義域，即解不等式x2-2x-3＞0，得到x＜-1或x＞3，所以函數(shù)y=log2（x2-2x-3）的定義域?yàn)閧x|x＜-1或x＞3}，此外，函數(shù)y=log2（x2-2x-3）可以看成由函數(shù)y=log2t與t=x2-2x-3復(fù)合而成，因?yàn)楹瘮?shù)t=x2-2x-3在區(qū)間（-∞，1）上為單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上為單調(diào)增函數(shù)，且函數(shù)y=log2t為定義域上的單調(diào)增函數(shù)，故根據(jù)復(fù)合函數(shù)的同增異減的原則，再結(jié)合{x|x＜-1或x＞3}，得原函數(shù)y=log2（x2-2x-3）的單調(diào)增區(qū)間為（3，+∞）.

點(diǎn)評(píng)：因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間，所以求任何一個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，都需要先求出這個(gè)函數(shù)的定義域，特別是在求與對(duì)數(shù)函數(shù)復(fù)合的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，學(xué)生更容易忽視對(duì)定義域的考慮，這點(diǎn)必須強(qiáng)調(diào).

六、“解不等式”中的定義域

例6求不等式的解集.

學(xué)生錯(cuò)解：因?yàn)?，所以又因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以，所以，所以不等式的解集為

錯(cuò)因分析：由于對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)閤∈（0，+∞），所以中應(yīng)有2-x＞0，即x＜2，學(xué)生并沒(méi)有注意到這一限制.

解：因?yàn)?，所以又因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以不等式的解集為

點(diǎn)評(píng)：求解與對(duì)數(shù)函數(shù)相關(guān)的不等式時(shí)，不要忘記真數(shù)大于0這個(gè)限制條件，否則容易造成錯(cuò)解.

函數(shù)的三大要素：定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域，定義域作為我們研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)碰到的第一個(gè)問(wèn)題，也是最基礎(chǔ)的問(wèn)題，它直接影響著后續(xù)我們對(duì)函數(shù)解析式、值域以及函數(shù)的圖像與性質(zhì)的研究，函數(shù)的定義域是解決所有函數(shù)問(wèn)題時(shí)都必須優(yōu)先考慮的先決條件，因此，我們教師要教育學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)時(shí)一定要養(yǎng)成優(yōu)先考慮函數(shù)定義域的習(xí)慣，這樣才不至于在函數(shù)的后續(xù)學(xué)習(xí)中犯有關(guān)定義域方面的低級(jí)錯(cuò)誤，當(dāng)然，隨著函數(shù)學(xué)習(xí)的不斷深入，學(xué)生一定會(huì)有越來(lái)越深刻的體會(huì).W