高 鍵，彭 嵐，馬 力，朱承志

(重慶大學(xué)動(dòng)力工程學(xué)院，低品位能源利用技術(shù)及系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044)

1 引 言

在Cz法制備晶體的過(guò)程中，熔體在溫差梯度作用下會(huì)產(chǎn)生表面張力梯度，形成Marangoni-熱毛細(xì)對(duì)流。當(dāng)溫差梯度超過(guò)某一臨界值后，熔體流動(dòng)將轉(zhuǎn)變?yōu)榉欠€(wěn)態(tài)振蕩流動(dòng)，其會(huì)使晶體的均勻性受到破壞、影響晶體材料的生長(zhǎng)質(zhì)量[1]。近幾十年來(lái)，學(xué)者們對(duì)不同工質(zhì)[2-3]、不同幾何模型[4-5]、不同邊界條件[6-8]下的熔體對(duì)流運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了大量的研究，得到了熱毛細(xì)對(duì)流的演變規(guī)律，并分析和解釋了相應(yīng)的物理機(jī)制。Teitel等[9]對(duì)Cz液池內(nèi)流動(dòng)不穩(wěn)定性進(jìn)行了研究，考慮不同內(nèi)外徑之比對(duì)流動(dòng)的影響，發(fā)現(xiàn)增大內(nèi)外徑之比可以減小臨界溫差。Peng等[10]對(duì)Cz淺液池內(nèi)硅熔體的熱對(duì)流過(guò)程進(jìn)行了深入的研究，發(fā)現(xiàn)隨著徑向溫差的不斷增大，流動(dòng)會(huì)發(fā)生由穩(wěn)態(tài)流動(dòng)向非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的轉(zhuǎn)變，并確定了流型轉(zhuǎn)變的臨界條件。

施加外部磁場(chǎng)是抑制熔體熱對(duì)流的一種行之有效的方法。Virbulis等[11]采用二維軸對(duì)稱模型，研究了穩(wěn)態(tài)磁場(chǎng)、交變磁場(chǎng)和復(fù)合磁場(chǎng)對(duì)熔體對(duì)流對(duì)界面形狀的影響，并與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了比較。Ozoe等[12]對(duì)磁場(chǎng)作用下矩形池內(nèi)的熱對(duì)流進(jìn)行了三維數(shù)值模擬，研究結(jié)果表明：磁場(chǎng)方向?qū)θ垠w的對(duì)流運(yùn)動(dòng)具有較大的影響，當(dāng)外加磁場(chǎng)方向垂直于豎直邊界層時(shí)，抑制效果最強(qiáng)；而當(dāng)外加磁場(chǎng)方向平行于豎直邊界層時(shí)，抑制效果最弱。Takagi等[13]研究了在水平溫差作用下，坩堝旋轉(zhuǎn)和軸向磁場(chǎng)對(duì)熔體熱毛細(xì)對(duì)流的影響。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：?jiǎn)为?dú)施加磁場(chǎng)和同時(shí)施加磁場(chǎng)和旋轉(zhuǎn)均對(duì)流動(dòng)具有較好的抑制作用。

目前對(duì)磁場(chǎng)作用下熔體熱對(duì)流的研究主要集中在由單向水平溫差引起的流動(dòng)，而在Cz法生長(zhǎng)單晶硅的過(guò)程中，由于熔體溫度較高，易與外界進(jìn)行輻射換熱、引起散熱損失；同時(shí)，生產(chǎn)中對(duì)坩堝底部進(jìn)行加熱，均會(huì)導(dǎo)致垂直自由表面方向產(chǎn)生相當(dāng)大的溫差梯度[14]。故在實(shí)際工程應(yīng)用中，雙向溫差梯度往往同時(shí)存在，共同驅(qū)動(dòng)流體進(jìn)行運(yùn)動(dòng)。因此，本文采用數(shù)值模擬方法對(duì)Cz液池內(nèi)Marangoni-熱毛細(xì)對(duì)流進(jìn)行研究，保持底部熱流密度恒定，主要討論了軸向磁場(chǎng)對(duì)臨界水平溫差Macri、穩(wěn)態(tài)流動(dòng)和非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的影響。

2 物理數(shù)學(xué)模型

圖1 物理模型Fig.1 Configuration of system

物理數(shù)學(xué)模型如圖1所示，晶體半徑rs=15 mm，坩堝半徑外徑rc=50 mm，圓柱形坩堝半徑內(nèi)充滿了深度h=3 mm的硅熔體。坩堝側(cè)壁和熔體-晶體界面分別維持恒定溫度Th和Tc，水平溫差ΔT=Th-Tc。熔體表面與外界進(jìn)行輻射換熱(環(huán)境溫度：Ta)。坩堝底部以均勻的熱流密度q進(jìn)行加熱，并沿Z軸正方向施加磁場(chǎng)強(qiáng)度為B的靜態(tài)磁場(chǎng)。

為簡(jiǎn)化計(jì)算，作以下假定：(1)熔體流動(dòng)速度較低，可考慮為層流；(2)熔體為不可壓縮牛頓流體；(3)除自由表面以外，其他界面均滿足貼壁無(wú)滑移條件；(4)自由表面考慮熱毛力作用，其與溫度滿足線性關(guān)系；(5)邊界都為電絕緣。

根據(jù)上述假設(shè)，無(wú)量綱化基本方程如下：

▽·V=0

(1)

(2)

(3)

式(2)中F為洛倫茲力，其無(wú)量綱分量如下：

(4)

(5)

FZ=0

(6)

其中，φ為電勢(shì)，滿足下列方程式：

▽2φ=▽·(V×B)

(7)

無(wú)量綱化邊界條件為：

自由表面(Z=h/rc，rs/rc

(8)

液池底部(Z=0，0

(9)

熔體-晶體界面(Z=h/rc，0

(10)

坩堝側(cè)壁(0

(11)

利用有限容積法對(duì)控制方程進(jìn)行離散，壓力插值采用PRESTO格式，對(duì)流項(xiàng)為QUICK格式，擴(kuò)散項(xiàng)為中心差分格式，壓力-速度修正采用PISO算法，程序的正確性驗(yàn)證參閱文獻(xiàn)[14]。在Ma=1185，Q=1.5705×10-2工況下分別對(duì)不同大小的網(wǎng)格進(jìn)行了計(jì)算，結(jié)果如表1所示，采用80R×120θ×40Z非均勻交錯(cuò)網(wǎng)格。

表1 網(wǎng)格無(wú)關(guān)性檢驗(yàn)Table 1 Grid independent test

3 結(jié)果與討論

3.1 軸向磁場(chǎng)對(duì)穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的影響

由于硅熔體熔點(diǎn)溫度較高，易與外界環(huán)境進(jìn)行輻射換熱。為了避免因熱量損失導(dǎo)致硅熔體溫度下降而形成結(jié)晶，在坩堝底部施以恒定熱流密度對(duì)熔體進(jìn)行加熱。圖2給出了底部熱流為Q=1.3461×10-2(q=3 W/cm2)時(shí)自由表面溫度分布情況。此時(shí)，熔體的最低溫度不低于晶體的熔點(diǎn)溫度1683 K，確保了物理模型的合理性。故本文保持底部熱流密度恒定(即Q=1.3461×10-2)，重點(diǎn)考察磁場(chǎng)強(qiáng)度和水平溫差梯度對(duì)熔體傳熱和流動(dòng)過(guò)程的影響。

當(dāng)水平溫差較小時(shí)，液池內(nèi)硅熔體的流動(dòng)將保持軸對(duì)稱穩(wěn)定狀態(tài)，這種流動(dòng)被稱為基本流。圖3 給出了Ma=2370(ΔT=12 K)時(shí)，自由表面監(jiān)測(cè)點(diǎn)P處溫度和速度隨時(shí)間的變化關(guān)系，此時(shí)監(jiān)測(cè)點(diǎn)溫度和速度都不隨時(shí)間而變化，熔體內(nèi)Marangoni-熱毛細(xì)對(duì)流為穩(wěn)態(tài)流動(dòng)狀態(tài)。為了進(jìn)一步了解磁場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)這種穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的影響，定義自由表面溫度波動(dòng)δΘ為：

圖2 Ma=0(ΔT=0 K)，Q=1.3461×10-2時(shí)，自由表面溫度分布Fig.2 Ma=0，Q=1.3461×10-2，free surface temperature distribution

圖3 Ma=2370(ΔT=12 K)，Qmin=1.3461×10-2時(shí)，監(jiān)測(cè)點(diǎn)P處溫度和速度變化Fig.3 Ma=2370，Qmin=1.3461×10-2，variations of temperature and velocity at the monitoring point P

圖4給出了不同Ha數(shù)下自由表面溫度波動(dòng)情況。當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度較低時(shí)(0≤Ha≤20)，此時(shí)Ha值較小，波型結(jié)構(gòu)保持不變，為直條幅波；當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度增加到Ha=30時(shí)，磁場(chǎng)對(duì)流動(dòng)結(jié)構(gòu)具有顯著的抑制效果，波型由直條幅波演化成橢圓狀波，波數(shù)由12減少到4；隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度進(jìn)一步增大(40≤Ha≤50)，由于此時(shí)流動(dòng)強(qiáng)度已十分微弱，導(dǎo)電流體在磁場(chǎng)作用下產(chǎn)生與流動(dòng)方向相反的洛倫茲力，其數(shù)值也相對(duì)較小，磁場(chǎng)對(duì)流動(dòng)的抑制效果逐漸減弱，自由表面溫度波動(dòng)結(jié)構(gòu)和波數(shù)不再發(fā)生變化。

圖4 Ma=2370(ΔT=12 K)，Q=1.3461×10-2時(shí)，不同Ha數(shù)下自由表面溫度波動(dòng)情況Fig.4 Ma=2370， Q=1.3461×10-2， free surface temperature fluctuation

3.2 軸向磁場(chǎng)對(duì)臨界Macri的影響

隨著水平溫差不斷增大，液池內(nèi)硅熔體流動(dòng)強(qiáng)度將進(jìn)一步加劇。當(dāng)Ma超過(guò)臨界Macri時(shí)，流動(dòng)會(huì)發(fā)生失穩(wěn)，此時(shí)監(jiān)測(cè)點(diǎn)P處的溫度可呈現(xiàn)出周期性的等幅振蕩，如圖6(b)所示。一個(gè)振蕩周期內(nèi)最高溫度和最低溫度的差值即為溫度振幅，其與Ma呈近似的線性關(guān)系[15]。利用線性外推法可確定不同磁場(chǎng)強(qiáng)度作用下流動(dòng)轉(zhuǎn)變的臨界Macri。圖5給出了當(dāng)?shù)撞繜崃鱍=1.3461×10-2，Ha數(shù)分別為0、10、20和30時(shí)，監(jiān)測(cè)點(diǎn)P處的無(wú)量綱溫度振幅A與Ma數(shù)之間的變化規(guī)律。

表2給出了相應(yīng)條件下臨界Macri和線性擬合公式?？梢钥闯觯诒３值撞繜崃髅芏群愣ǖ那闆r下，隨著軸向磁場(chǎng)不斷增強(qiáng)，臨界Macri不斷增加且變化幅度愈來(lái)愈大，說(shuō)明軸向磁場(chǎng)的引入會(huì)提高M(jìn)arangoni-熱毛細(xì)對(duì)流的穩(wěn)定性。

表2 Q=1.3461×10-2時(shí)不同Ha數(shù)下的臨界水平溫差MacriTable 2 Critical Ma with different Ha when Q=1.3461×10-2

圖5 Q=1.3461×10-2時(shí)不同Ha數(shù)下監(jiān)測(cè)點(diǎn)P處溫度振幅A與水平溫差Ma的關(guān)系Fig.5 Change of the temperature amplitude A with Ma at the point P for different Ha when Q=1.3461×10-2

圖6 Ma=3950(ΔT=20 K)，Q=1.3461×10-2時(shí)，不同Ha數(shù)下監(jiān)測(cè)點(diǎn)P處溫度變化Fig.6 Ma=3950, Q=1.3461×10-2, temperature evolution at the monitoring point P for different Ha

圖7 Ma=3950(ΔT=20 K)，Q=1.3461×10-2時(shí)，不同Ha數(shù)下自由表面溫度波動(dòng)情況Fig.7 Ma=3950, Q=1.3461×10-2, free surface temperature fluctuation

3.3 軸向磁場(chǎng)對(duì)非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的影響

由表2可知，在沒(méi)有軸向磁場(chǎng)的作用下，當(dāng)Ma>3385.3時(shí)，流動(dòng)為非穩(wěn)態(tài)振蕩對(duì)流。為了研究軸向磁場(chǎng)對(duì)非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的影響，對(duì)水平溫差Ma=3950(ΔT=20 K)時(shí)，不同Ha數(shù)下的熔體流動(dòng)進(jìn)行了一系列數(shù)值模擬。圖6給出了自由表面監(jiān)測(cè)點(diǎn)P處溫度隨時(shí)間的變化情況，從圖中可以看出：當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度為零時(shí)(Ha=0)，溫度振蕩混亂而無(wú)規(guī)律；隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度不斷增大(10≤Ha≤20)，溫度呈現(xiàn)規(guī)律的等幅振蕩，但流動(dòng)仍保持三維非穩(wěn)態(tài)狀態(tài)；當(dāng)Ha=30時(shí)，此時(shí)Ma數(shù)已小于對(duì)應(yīng)磁場(chǎng)強(qiáng)度下的臨界Macri，溫度振幅減小至零，流動(dòng)由非穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榉€(wěn)態(tài)。

圖7所示為Ma=3950時(shí)，不同磁場(chǎng)強(qiáng)度下自由表面的溫度波動(dòng)圖。當(dāng)未施加軸向磁場(chǎng)時(shí)(Ha=0)，自由表面溫度波動(dòng)為一種典型的熱流體波，呈現(xiàn)出彎曲的輪輻狀；引入軸向磁場(chǎng)后(10≤Ha≤20)，流動(dòng)的不穩(wěn)定性逐漸減弱，溫度波動(dòng)由原來(lái)的熱流體波轉(zhuǎn)變?yōu)椴鏍罱Y(jié)構(gòu)；當(dāng)Ha=30時(shí)，自由表面呈現(xiàn)出明暗相間的直條紋，波動(dòng)結(jié)構(gòu)由三維非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)過(guò)渡為三維穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，波數(shù)m=11；隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度進(jìn)一步增大(40≤Ha≤50)，此時(shí)磁場(chǎng)對(duì)流動(dòng)的影響較小，與圖4中的計(jì)算結(jié)果類似，溫度波動(dòng)結(jié)構(gòu)基本保持不變，但自由表面波數(shù)先減小后增大。

圖8 Ma=3950(ΔT=20 K)，Q=1.3461×10-2時(shí)，不同Ha數(shù)下自由表面徑向速度分布Fig.8 Ma=3950，Q=1.3461×10-2，radius velocity distributions on free surface

圖8給出了Ma=3950時(shí)，不同磁場(chǎng)強(qiáng)度下自由表面熔體徑向速度分布圖。從圖中可以看出，最大無(wú)因次徑向速度出現(xiàn)在靠?jī)?nèi)壁面附近。隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度的不斷增加，徑向速度沿徑向分布的非線性程度不斷減弱，速度分布曲線愈加平緩。當(dāng)Ha=0時(shí)，最大無(wú)因次徑向速度為7490.67；而Ha=50時(shí)，最大無(wú)因次徑向速度為6850.74，最大無(wú)因次徑向速度隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度的增加而不斷減小，表明洛倫茲力對(duì)熔體流動(dòng)的具有顯著的抑制效果。

表3給出了水平溫差Ma=2370、3950(ΔT=12 K 、20 K)，熔體在Ha數(shù)為0、10、20、30、40、50下，自由表面最大溫度波動(dòng)值。從表中可以看出，軸向磁場(chǎng)對(duì)穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)Marangoni-熱毛細(xì)對(duì)流均有抑制作用，當(dāng)磁場(chǎng)強(qiáng)度Ha=30時(shí)，自由表面最大溫度波動(dòng)值呈數(shù)量級(jí)遞減，此時(shí)磁場(chǎng)對(duì)流動(dòng)的抑制效果最為明顯。隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度進(jìn)一步增大(40≤Ha≤50)，自由表面最大溫度波動(dòng)值變化幅度逐漸減弱，這是因?yàn)榇藭r(shí)熔體流動(dòng)已較為微弱，磁場(chǎng)對(duì)流動(dòng)的抑制效果也逐漸減弱，這與圖4和圖7中自由表面溫度波型結(jié)構(gòu)的演變過(guò)程相吻合。同時(shí)也可以看出，在磁場(chǎng)強(qiáng)度保持一定的情況下，隨著水平溫差梯度的增加，自由表面最大溫度波動(dòng)值不斷增大，熔體內(nèi)部流動(dòng)也更為劇烈。

表3 不同Ha數(shù)下Ma=2370、3950時(shí)自由表面最大溫度波動(dòng)值Table 3 Maximum temperature fluctuation value with different Ha when Ma=2370, 3950

4 結(jié) 論

本文采用三維數(shù)值模擬方法研究了軸向磁場(chǎng)對(duì)雙向溫差作用下Czochralski淺液池內(nèi)Marangoni-熱毛細(xì)對(duì)流的影響，主要討論了軸向磁場(chǎng)對(duì)臨界Macri、穩(wěn)態(tài)流動(dòng)和非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)的影響，結(jié)果表明：

(1)在底部熱流密度恒定的情況下，確定了不同Ha數(shù)下流動(dòng)由三維穩(wěn)態(tài)向三維非穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變的臨界Macri。隨著Ha數(shù)的增大，臨界Macri不斷增大，軸向磁場(chǎng)的引入會(huì)增強(qiáng)Marangoni-熱毛細(xì)對(duì)流的穩(wěn)定性。

(2)軸向磁場(chǎng)對(duì)液池內(nèi)穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)Marangoni-熱毛細(xì)對(duì)流均具有較好的抑制效果。對(duì)于穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，磁場(chǎng)的引入會(huì)使自由表面溫度波動(dòng)幅值受到削弱，波數(shù)減少；對(duì)于非穩(wěn)態(tài)流動(dòng)，隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度的不斷增加，監(jiān)測(cè)點(diǎn)P處的溫度振蕩逐漸減弱直至消失，流動(dòng)由三維非穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)槿S穩(wěn)態(tài)，自由表面溫度波動(dòng)結(jié)構(gòu)發(fā)生顯著變化，波動(dòng)幅值逐漸下降。