陶 晨， 段亞峰， 徐蓉蓉， 楊劍平， 周 赳

(1. 紹興文理學(xué)院 紡織服裝學(xué)院， 浙江 紹興 312000； 2. 浙江理工大學(xué) 材料與紡織學(xué)院、絲綢學(xué)院， 浙江 杭州 310018)

作為國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一，中國藍(lán)印花布是具有濃郁民族特色的紡織品。由于傳統(tǒng)工藝的特點，藍(lán)印花布紋樣總是以或斷或續(xù)的點和短線構(gòu)成[1]，其獨(dú)特的藝術(shù)形式深刻地反映出中國傳統(tǒng)思想和美學(xué)觀念。已有大量文獻(xiàn)探討傳統(tǒng)藍(lán)印花布紋樣的文化與藝術(shù)內(nèi)涵，但對于藍(lán)印花布紋樣的創(chuàng)新或未來則鮮有涉及。盡管可以提取紋樣元素，利用某些平面設(shè)計軟件進(jìn)行再組合[2]，但這并不體現(xiàn)設(shè)計方法或模型。在紡織紋樣生成技術(shù)方面，已有的研究方法主要是依靠一些數(shù)學(xué)模型的可視化，典型的研究，如利用Mandelbrot 集變換的印花圖案設(shè)計[3]、L系統(tǒng)用于針織花型的設(shè)計[4]、弱混沌系統(tǒng)用于噴墨印花圖案的設(shè)計[5]等。此類方法得到的紋樣雖造型獨(dú)特；但具有很大的隨機(jī)性，難以保留原紋樣的特征，因此并不適用于藍(lán)印花布紋樣或其他經(jīng)典紋樣的創(chuàng)新設(shè)計。

本文研究探索藍(lán)印花布紋樣的數(shù)學(xué)模型，使用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行紋樣的匹配和重構(gòu)，實現(xiàn)紋樣的參數(shù)化，對參數(shù)化的紋樣進(jìn)行函數(shù)映射和骨架重組，達(dá)到紋樣改造和創(chuàng)新設(shè)計的目的。本文提出的藍(lán)印花布紋樣的建模、重構(gòu)和改造方法，可在保留藍(lán)印花布紋樣關(guān)鍵特征的同時，為藍(lán)印花布紋樣注入新的活力，以期在傳統(tǒng)紋樣的傳承和創(chuàng)新中發(fā)揮積極作用。

1 研究方法

本文研究所使用的紋樣來自一個藍(lán)印花布紋樣庫[6]，包含各種經(jīng)典藍(lán)印花布紋樣，可作為中國傳統(tǒng)藍(lán)印花布紋樣的代表。典型紋樣(局部)如圖1所示。

圖1 藍(lán)印花布紋樣示例Fig.1 Sample of blue calico pattern

傳統(tǒng)工藝的特點決定了藍(lán)印花布紋樣在基本元素構(gòu)成上，總是以各種形態(tài)的分離的點或短線呈現(xiàn)，通過點的大小、形態(tài)與疏密的變化達(dá)到紋樣造型的多樣性。此外，如受中國傳統(tǒng)哲學(xué)中關(guān)于陰陽平衡的影響，傳統(tǒng)藍(lán)印花布紋樣在基本元素構(gòu)形上講求“剛?cè)岵⒂谩薄鞍纪够パa(bǔ)”，通過對立統(tǒng)一達(dá)到和諧的效果，因此，建模的重要目標(biāo)，除了表達(dá)紋樣元素豐富多樣的形狀，還要實現(xiàn)在剛與柔、凹與凸之間自由調(diào)節(jié)的能力。

1.1 模 型

1.1.1張力系數(shù)

給定4個控制點P0,P1,P2,P3，基數(shù)樣條C由以下公式[7]確定：

C=m1h3(a)+P1h1(a)+P2h2(a)+m2h4(a)

(1)

式中：a為插值參數(shù)；h1,h2,h3,h4為經(jīng)典三次Hermite多項式，分別為：

(2)

基數(shù)樣條曲線以P1,P2為端點；m1,m2分別為曲線在點P1,P2處的正切值。

(3)

t即為張力系數(shù)，0≤t≤3。由式(3)可知：曲線在P1處的斜率由P0,P2,t決定；在P2處的斜率由P1,P3,t決定。圖2示出張力系數(shù)對曲線外觀的影響。

圖2 張力系數(shù)對樣條曲線的影響Fig.2 Influence of tension coefficient on spline

可見，利用張力系數(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)樣條曲線剛?cè)嵝缘恼{(diào)節(jié)：張力系數(shù)值越大，曲線越柔和；反之則越剛硬；當(dāng)t=0時，樣條退化為直線。為得到封閉的形狀，需將若干條樣條曲線首尾相接。對于P0,P1,P2,P34個節(jié)點的情況，可由如下順序確定4條基數(shù)樣條曲線：(P0,P1,P2,P3)、(P1,P2,P3,P0)、(P2,P3,P0,P1)、(P3,P0,P1,P2)，如圖3所示。

圖3 由基數(shù)樣條構(gòu)成的封閉圖形Fig.3 Closed figuires composed of cardinal splines

這4條曲線首尾相連構(gòu)成封閉形狀，且由基數(shù)樣條的關(guān)于端點處斜率的性質(zhì)可知，在每個節(jié)點處連接平滑。通過調(diào)整張力系數(shù)，圖3中圖形實現(xiàn)了從圓紋到方紋的轉(zhuǎn)變。

1.1.2節(jié)點配置

將圖3所示圖形置于直角坐標(biāo)系中，并進(jìn)一步規(guī)定：P0,P1為活動節(jié)點，P2,P3為固定節(jié)點，如圖4所示。P2,P3位于坐標(biāo)軸上，其坐標(biāo)分別為(-1,0)和(0,1)。活動節(jié)點P0,P1則可在一定范圍內(nèi)偏離坐標(biāo)軸，其具體位置由活動半徑(r0,r1)和偏離角(d0,d1)決定。由此構(gòu)成的圖形作為紋樣元素的一般模型。

圖4 元素模型Fig.4 Element model

該模型具有t,r0,d0,r1,d1共5個構(gòu)形參數(shù)，其中t為樣條曲線的張力系數(shù)。各個參數(shù)的取值范圍規(guī)定如下：

(4)

對活動半徑r0,r1取值范圍的限制是為了避免出現(xiàn)長條形實例(藍(lán)印花布紋樣元素應(yīng)當(dāng)避免的形狀)。對偏移角d0,d1(順時針為正，逆時針為負(fù))取值范圍的限定，是為了將2個活動節(jié)點控制在各自的活動空間內(nèi)，防止因交錯導(dǎo)致形狀畸變。張力系數(shù)t的取值范圍由基數(shù)樣條的性質(zhì)決定。當(dāng)這些參數(shù)值確定，模型形狀即確定。由特定構(gòu)形參數(shù)值確定的模型形狀稱為模型實例。模型實例經(jīng)仿射變換(平移、縮放和旋轉(zhuǎn))即可匹配藍(lán)印花布紋樣中的元素形狀，如圖5所示?？梢娫撃Ｐ蛯鹘y(tǒng)藍(lán)印花布紋樣中一些典型元素的表達(dá)能力。

圖5 由模型實例表達(dá)的紋樣元素Fig.5 Pattern elements expressed in model instances.(a)Shell; (b)Rice; (c)Petal

圖5(a)所示為貝殼紋，模型參數(shù)為t=1.05,r0=1,d0=0,r1=0.5,d1=0；圖5(b)所示為米粒紋，模型參數(shù)為t=0.3,r0=1,d0=0,r1=2.5,d1=0；圖5(c)所示為花葉紋，模型參數(shù)為t=1.2,r0=2,d0=31.5,r1=3,d1=-40.5。實驗結(jié)果表明，該模型可表現(xiàn)大量元素形狀，包括剛?cè)嵝院桶纪剐?。?dāng)其中1個活動半徑為負(fù)時，模型即表現(xiàn)凹形狀。

1.2 重 構(gòu)

紋樣重建，即對紋樣中的每個元素，選用合適的模型實例替代之，從而得到模型化的數(shù)字紋樣。首先需要從藍(lán)印花布紋樣圖像中提取紋樣元素，然后從大量模型實例中找出與之最接近的，將該模型實例進(jìn)行仿射變換應(yīng)用到紋樣空間以替代紋樣元素。

1.2.1輪廓跟蹤

輪廓跟蹤法[8]可用來對二值圖像中的目標(biāo)進(jìn)行輪廓提取。二值圖像中存在目標(biāo)和背景2類像素，通常目標(biāo)像素(白色)值為1而背景像素(黑色)值為0。輪廓跟蹤方法的步驟如下：

1) 按照從左到右、從上到下的順序逐行掃描像素矩陣，直至發(fā)現(xiàn)第1個目標(biāo)像素P，記下P點位置。

2) 設(shè)定P點的初始搜索方向為沿左下方，搜索方向每次逆時針累加旋轉(zhuǎn)45°，直至找到第2個邊界點Q，記下Q點的位置。

3) 將當(dāng)前搜索方向順時針旋轉(zhuǎn)90°，作為Q點的初始搜索方向，搜索方向每次逆時針累加旋轉(zhuǎn)45°，直至找到下一個邊界點，令該點為新的Q點，記下位置。

4) 重復(fù)步驟3)，直至回到最初的P點。

圖6為輪廓跟蹤示意圖。其中：空心圓點Q1～Q13表示搜索到的各個邊界點；在每個邊界點上，實線箭頭表示初始搜索方向。

圖6 輪廓跟蹤原理圖Fig.6 Schematic of contour tracing

以藍(lán)印花布掃描圖像為原始素材，在進(jìn)行輪廓跟蹤提取紋樣元素前，需要進(jìn)行一些必要的預(yù)處理，主要步驟如圖7所示。

圖7 元素提取的步驟Fig.7 Procedures of element extraction. (a) Original image (grayed); (b) Median filtering; (c)Threshold segmentation; (d)Contour tracing

原始圖像經(jīng)灰度化后，先通過中值濾波[9]去除噪聲；再使用OTSU算法[10]進(jìn)行閾值分割，分離出目標(biāo)與背景；最后，使用輪廓跟蹤算法提取圖像中每個紋樣元素的矢量輪廓。

1.2.2模型實例選取

圖像的Hu矩對應(yīng)了一系列圖像，這些圖像可由其中任何一個平移、縮放和旋轉(zhuǎn)得到。換言之，Hu具有平移、縮放和旋轉(zhuǎn)不變性[11]。對于數(shù)字圖像f(x,y)，其p+q階標(biāo)準(zhǔn)矩mpq定義為

(5)

其中，N和M分別是圖像的高度和寬度。數(shù)字圖像的p+q階中心矩μpq定義為

(6)

(7)

圖像的Hu矩是基于歸一化中心矩jpq的1組不變矩，它由7個特征值(M1～M7)組成：

(8)

形狀是圖像的特例，形狀f(x,y)的值域只有2個可能：0或1。當(dāng)點(x,y)在形狀輪廓線上時，值為1；否則為0。本文研究涉及的模型形狀和元素形狀，均可轉(zhuǎn)換為數(shù)字圖像，從而利用Hu矩的不變性。進(jìn)行實例選取時，先計算紋樣元素的Hu矩，然后比對元素形狀與每個模型實例的接近程度(2個Hu矩的歐式距離)，找出最接近的模型實例，結(jié)果如圖8(b)所示。其模型參數(shù)為t=1.2,r0=0.5,d0=0,r1=1,d1=0。

圖8 基于Hu矩的模型實例選取Fig.8 Instance selection based on Hu moments.(a) Pattern element; (b) slosest model instance

1.2.3模型實例變換

最接近(或?qū)ΨQ)實例與元素形狀相似度最高，需要對其進(jìn)行仿射變換(平移、縮放和旋轉(zhuǎn))，使之盡量與元素形狀重合，以替代紋樣元素?？紤]到形狀重合的2個必要條件：形狀幾何重心一致；形狀面積相等。

圖9 實例變換過程Fig.9 Procedures of instance transform

其次，計算二者面積之差，若大于零(模型實例面積大于元素面積)則將模型形狀逐步縮小，否則逐步放大，直到二者面積相等，此時的縮放率記為s。

最后，將模型實例在0°～360°上旋轉(zhuǎn)，計算每個角度上模型實例與紋樣元素的重合度，記取重合度最大的角度θ。

圖10 重構(gòu)的紋樣Fig.10 Reconstructed pattern

1.2.4映射函數(shù)

對模型匹配后的數(shù)字化紋樣，使用映射函數(shù)將模型參數(shù)映射到新的區(qū)間，實現(xiàn)紋樣創(chuàng)新。參與映射的可以是構(gòu)形參數(shù)，也可以是仿射參數(shù)。圖11示出對數(shù)字化紋樣進(jìn)行重構(gòu)的圖例。

圖11 通過映射函數(shù)進(jìn)行的紋樣改造Fig.11 Modifications by mapping functions. (a) Mapping of tension coefficient; (b) Mapping with conditions

2 結(jié)果與討論

2.1 泛化的模型

本文研究提出的模型使用4個節(jié)點，按特定的順序定義4條首尾相連、平滑過渡的基數(shù)樣條曲線，形成封閉形狀。利用張力系數(shù)表現(xiàn)形狀的剛?cè)嵝?，通過定義活動節(jié)點實現(xiàn)了形狀的凹凸性和多樣性。實驗結(jié)果證明，該模型能夠很好地表現(xiàn)大多數(shù)傳統(tǒng)藍(lán)印花布紋樣元素。但仍有一些紋樣元素超出了其能夠表達(dá)的范圍，特別是那些由于不便在傳統(tǒng)工藝下印制而在實踐中較少采用的元素[2]。這些元素超出了4節(jié)點樣條曲線所能表現(xiàn)的范圍，如圖12所示。表現(xiàn)這樣的元素形狀需要更多節(jié)點和更復(fù)雜的模型，這種模型可由上述4節(jié)點模型泛化而來。

圖12 利用泛化模型表達(dá)復(fù)雜元素Fig.12 Complex elements expressed in generalized model.(a)Scale pattern; (b)Treasure pattern; (c)Starlight pattern

圖12(a)為魚鱗紋，模型參數(shù)為t=0.9,r0=0.75,d0=27,r1=-0.2,d1=0,r2=0.75,d2=-27,r3=1,d3=-20,r4=1.1,d4=0,r5=1,d5=20；圖12(b)為元寶紋，模型參數(shù)為t=0.7,r0=1.2,d0=-25,r1=0.7,d1=-25,r2=0.7,d2=25,r3=1.2,d3=25,r4=0.6,d4=5,r5=0.9,d5=0,r6=0.6,d6=-5；圖12(c)為星光紋，模型參數(shù)為t=0.8,r0=1,d0=0,r1=0.4,d1=0,r2=1,d2=0,r3=0.4,d3=0,r4=1,d4=0,r5=0.4,d5=0,r6=1,d6=0,r7=0.4,d7=0。

設(shè)有n(n≥4)個節(jié)點(記為P0,P1,P2，…，Pn-1)，以順時針方向分布于單位圓(半徑為1)的圓周等分點上，2個相鄰節(jié)點之間的圓心角為(360/n)°，點O為圓心或參考點，如圖13(a)所示。

圖13 泛化模型Fig.13 Generalized model. (a)Number of knots; (b)Range of activity

規(guī)定每個節(jié)點可以偏離所在的等分點，其坐標(biāo)位置由活動半徑ri(-10≤ri≤10)和偏離角di(-180/n≤di≤180/n)決定，如圖13(b)所示。使用基數(shù)樣條，按如下順序連接所有節(jié)點以構(gòu)成封閉形狀：(P0,P1,P2,P3),(P1,P2,P3,P4)，…，(Pn-1,P0,P1,P2)。當(dāng)n=4且固定節(jié)點P2,P3時，即為本研究中所使用的4節(jié)點模型。

此泛化模型中，每個節(jié)點對應(yīng)2個參數(shù)(活動半徑和偏移角)，另外加上張力系數(shù)，模型中的參數(shù)個數(shù)為2n+1，模型實例的數(shù)量為m2n+1(m為取樣次數(shù))。只要節(jié)點數(shù)量足夠多，模型就可以表達(dá)復(fù)雜紋樣元素。使用6節(jié)點、7節(jié)點及8節(jié)點模型表現(xiàn)復(fù)雜元素，如圖12所示。但節(jié)點增加，意味著模型參數(shù)的增加，造成重構(gòu)過程運(yùn)算量大幅上升。實際應(yīng)用中可根據(jù)紋樣元素的復(fù)雜程度決定n的取值。

2.2 作為骨架的模型

目前為止，本文研究提出的模型是針對紋樣元素的，但實際上它也可以作為紋樣的骨架，進(jìn)而實現(xiàn)更高層次上的建模。總體來說，藍(lán)印花布紋樣主要呈現(xiàn)2種基本的骨架，即環(huán)形骨架和線形骨架，如圖14中虛線所示。

圖14 2種基本骨架Fig.14 Two basic skeletons. (a) Circular; (b) Threaded

在環(huán)形骨架中，骨架線上的紋樣元素圍繞一個中心點分布，該點稱為骨架中心；而在線形骨架中，紋樣元素根據(jù)骨架線的切線方向分布。需要注意的是，環(huán)形骨架的骨架線不一定是圓形，可以是任何閉合的形狀。大多數(shù)復(fù)雜的紋樣都可分解為這2種骨架的組合。

若以圖15所示的圓紋作為紋樣骨架，構(gòu)成骨架的點集(xi,yi)可由式(1)中模型的樣條定義取得。其中：i=0,1,2，…,k-1；k是骨架線上的總點數(shù)。

圖15 作為骨架的模型Fig.15 Model as skeleton

點(x0,y0)是骨架的起點，模型的原點(xc,yc)可作為骨架的中心點(在線性骨架中，該點可以忽略)。骨架上的每個點(xi,yi)擁有3個屬性，即中心角(以a表示)、切線角(以b表示)和步長(以l表示)。中心角是骨架起點、中心點及當(dāng)前點構(gòu)成的角度；切線角是當(dāng)前點在骨架線上的切角；步長是沿骨架線從起點到當(dāng)前點的路徑長度。這3個屬性可通過下式計算：

(9)

(10)

(11)

另外，骨架線的總長度(以L表示)為

(12)

沿骨架線進(jìn)行紋樣元素的分布，稱為骨架的具化。上述3個屬性將對骨架的具化產(chǎn)生影響。在實施骨架具化前，構(gòu)造1個種子元素(由5個構(gòu)形參數(shù)和4個仿射參數(shù)決定)，1個定位器函數(shù)(Dp)和1個定形器函數(shù)(De)。定位器根據(jù)步長決定是否放置元素，在放置元素時定形器負(fù)責(zé)對種子元素實施調(diào)整，即根據(jù)當(dāng)前中心角或切線角對種子元素的構(gòu)形參數(shù)和仿射參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，實現(xiàn)骨架線上紋樣元素的變化。骨架具化的例子如圖16所示。

在圖16 (a)中，以方紋為骨架，用柱狀紋作為種子元素對其進(jìn)行具化。定位器沿骨架路徑每隔L/8放置紋樣元素，定形器將元素的旋轉(zhuǎn)角θ(元素模型的仿射參數(shù)之一)設(shè)置為骨架中心角a的線性函數(shù)，從而實現(xiàn)了環(huán)形骨架。圖16(b)中的定形器在圖16(a)基礎(chǔ)上增加了對張力系數(shù)t的控制，通過將當(dāng)前值設(shè)為對最近一次張力系數(shù)值(tprev)遞增，實現(xiàn)骨架上紋樣元素剛?cè)嵝缘臐u變。圖16(a)、(b)的骨架具化函數(shù)如下：

圖16 (c)、(d)中的紋樣都以貝殼紋作為骨架、以米粒紋作為種子元素。二者的區(qū)別在于，前者的定形器以中心角a作為參數(shù)產(chǎn)生了環(huán)形骨架，而后者的定形器以切線角b作為參數(shù)產(chǎn)生了線形骨架。可見，骨架具化過程中產(chǎn)生環(huán)形或線形骨架，取決于定形器使用中心角還是切線角作為參數(shù)。圖16(c)、(d)的具化函數(shù)如下：

圖16(e)、(f)中，都使用定形器產(chǎn)生環(huán)形骨架，同時對元素的縮放率s進(jìn)行調(diào)整，通過將當(dāng)前值設(shè)為對最近一次縮放率(sprev)的倍數(shù)，帶來了骨架線上元素尺寸的漸變。圖16(f)中的定位器引入了非線性函數(shù)，因此與圖16(e)相比，骨架線上元素間的間隔不是均勻的而是遞增的。圖16 (e)、(f)的具化函數(shù)如下：

上述實例展示了作為骨架的模型對2種基本骨架的模擬，以及通過模型參數(shù)變化帶來的創(chuàng)新。其中元素的漸變和非線性分布是對傳統(tǒng)藍(lán)印花布紋樣的創(chuàng)新性改造。

3 結(jié) 論

本文研究基于基數(shù)樣條曲線對藍(lán)印花布紋樣元素建模，利用張力系數(shù)表達(dá)形狀的剛?cè)嵝裕ㄟ^配置活動節(jié)點實現(xiàn)形狀的凹凸性和多樣性。對于一些超出4節(jié)點模型表達(dá)范圍的形狀，可通過泛化模型覆蓋。在紋樣重構(gòu)方面，先使用輪廓跟蹤技術(shù)從圖像中提取紋樣元素，然后利用Hu矩的不變性選取與之最接近的模型實例，再利用矢量形狀的重心、面積及重合度對模型實例進(jìn)行仿射變換，將其應(yīng)用到紋樣空間，完成紋樣數(shù)字化。對數(shù)字化紋樣，通過映射函數(shù)調(diào)節(jié)模型參數(shù)進(jìn)行紋樣元素的改造和創(chuàng)新。對于擁有閉合骨架的紋樣，通過將元素模型應(yīng)用到骨架進(jìn)行紋樣骨架的改造，再利用定位器和定形器實施骨架具化，完成更為深刻的改造。實驗結(jié)果證明，本文模型及其泛化版本可以很好地表現(xiàn)絕大多數(shù)藍(lán)印花布紋樣元素，該模型用于紋樣骨架也可帶來豐富的創(chuàng)新效果。

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