凌潔

[摘? 要] 近幾年中考試題中圖形旋轉(zhuǎn)問(wèn)題出現(xiàn)的頻率很高，該類問(wèn)題的求解不僅需要合理把握?qǐng)D形的旋轉(zhuǎn)過(guò)程，還需要充分利用旋轉(zhuǎn)特性進(jìn)行條件挖掘，文章結(jié)合考題對(duì)幾何旋轉(zhuǎn)類問(wèn)題進(jìn)行深入探究，并進(jìn)行解后思考，與讀者交流學(xué)習(xí).

[關(guān)鍵詞] 旋轉(zhuǎn);幾何;面積;路徑;數(shù)形結(jié)合

考題呈現(xiàn)，解析點(diǎn)評(píng)

1. 考題呈現(xiàn)

（2018年江蘇宿遷卷第18題）如圖1所示，將含有30°角的直角三角板ABC放置于直角坐標(biāo)系中，其頂點(diǎn)A，B分別落在x，y軸的正半軸上，且∠OAB=60°，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），現(xiàn)將三角板ABC沿著x軸向右做無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)（先繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，再繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°……）當(dāng)點(diǎn)B第一次落在x軸上時(shí)，則點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)路徑與坐標(biāo)軸圍成的圖形面積為_(kāi)_____.

2. 試題解析

分析? 求旋轉(zhuǎn)過(guò)程中點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡與坐標(biāo)軸圍成的幾何圖形面積，除了需要還原點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡外，還需要結(jié)合圖形旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一些幾何性質(zhì)，即旋轉(zhuǎn)過(guò)程中幾何圖形的角度和邊長(zhǎng)保持不變. 分析可知點(diǎn)B的旋轉(zhuǎn)過(guò)程可以細(xì)分為兩個(gè)階段，如圖2，第一階段是以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，以邊AB為旋轉(zhuǎn)半徑;第二階段是以x軸上的點(diǎn)C1為旋轉(zhuǎn)中心，以B1C1為旋轉(zhuǎn)半徑，因此其圍成的圖形面積為兩階段形成的扇形面積與兩個(gè)三角板的面積之和，即S=S扇形ABB1+S扇形B1C1B2+2S△ABO，根據(jù)幾何面積公式可知只需求出具體的旋轉(zhuǎn)角度和相應(yīng)的邊長(zhǎng)即可求解.

解：△AOB為直角三角形，根據(jù)點(diǎn)A（1，0）可得OA=1，已知∠OAB=60°，則AB=2，OB=BC=，△ABC旋轉(zhuǎn)過(guò)程中其角度和邊長(zhǎng)始終保持不變，故B1C1=，∠BAB1=60°，∠B1C1B2=90°，S扇形ABB1=πAB2=π，S扇形B1C1B2=πB1C12=π，S△ABO=AO·BO=，則S總=S扇形ABB1+S扇形C1B1B2+2S△ABO=π+，所以點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)路徑與坐標(biāo)軸圍成的圖形面積為π+.

3. 試題評(píng)析

本題目是以圖形旋轉(zhuǎn)為背景求解圖形面積的幾何題，其特點(diǎn)是通過(guò)幾何旋轉(zhuǎn)建立了靜態(tài)問(wèn)題與幾何運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系，且由圖形的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)建立了面積問(wèn)題與已知條件之間的聯(lián)系，是對(duì)學(xué)生運(yùn)用幾何旋轉(zhuǎn)特性解決實(shí)際問(wèn)題能力的考查. 上述解題過(guò)程根據(jù)三角板的旋轉(zhuǎn)規(guī)律將其細(xì)分為兩個(gè)階段，然后建立了求解幾何面積的一般模型，最后結(jié)合幾何旋轉(zhuǎn)的幾何特性探尋面積求解的關(guān)鍵條件，從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的準(zhǔn)確求解. 其中建立幾何模型是解題的基礎(chǔ)，旋轉(zhuǎn)特性的靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵. 在求解以圖形旋轉(zhuǎn)為背景的幾何問(wèn)題時(shí)要充分把握?qǐng)D形旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一些特殊規(guī)律，將動(dòng)態(tài)旋轉(zhuǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較為簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題，通過(guò)分析幾何元素的基本性質(zhì)來(lái)獲得解題的突破口.

類題解讀，旋轉(zhuǎn)探究

幾何旋轉(zhuǎn)是初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，中考對(duì)于該知識(shí)點(diǎn)的考查存在多種問(wèn)題形式，除了上述通過(guò)幾何旋轉(zhuǎn)求解幾何面積外，還涉及求旋轉(zhuǎn)角的三角函數(shù)值、點(diǎn)的路徑、點(diǎn)的坐標(biāo)等問(wèn)題. 不同的問(wèn)題形式之間存在一定的聯(lián)系，即都是由幾何旋轉(zhuǎn)衍生的問(wèn)題，旋轉(zhuǎn)特性是解題條件獲取的關(guān)鍵，下面將結(jié)合考題進(jìn)行深入探究.

1. 幾何旋轉(zhuǎn)，求解路徑

（2018年江蘇無(wú)錫卷第27題）如圖3所示，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，將此矩形繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ（0°<θ<90°）得到矩形A1BC1D1，點(diǎn)A1在邊CD上.

（1）若m=2，n=1，求在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)D到點(diǎn)D1所經(jīng)過(guò)路徑的長(zhǎng)度;

（2）將矩形A1BC1D1繼續(xù)繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到矩形A2BC2D2，點(diǎn)D2在BC的延長(zhǎng)線上，設(shè)邊A2B與CD交于點(diǎn)E，如果=-1，試求的值.

分析? （1）由于矩形ABCD圍繞點(diǎn)B進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，則其上點(diǎn)D的旋轉(zhuǎn)路徑必然為以點(diǎn)B為中心的弧線，求其路徑只需要求得旋轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)半徑即可. 如圖4，連接DB和D1B，則其旋轉(zhuǎn)角為兩線之間的夾角∠DBD1，結(jié)合旋轉(zhuǎn)特性可知圖形旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的旋轉(zhuǎn)角為定值，則點(diǎn)A的旋轉(zhuǎn)角等于點(diǎn)D的旋轉(zhuǎn)角，即∠DBD1=∠ABA1，過(guò)點(diǎn)A1作AB的垂線，垂足為點(diǎn)H，在Rt△A1HB中利用勾股定理可求得∠ABA1為30°，旋轉(zhuǎn)半徑DB也可求得，利用弧長(zhǎng)公式即可求解.

（2）略.

解：（1）作A1H⊥AB，垂足為點(diǎn)H，連接DB和D1B，由旋轉(zhuǎn)特性可知∠D1BD=∠A1BA，在Rt△A1BH中，sin∠A1BH==，則∠A1BH=30°，所以∠D1BD=30°，BD==，所以D到點(diǎn)D1所經(jīng)過(guò)路徑=2π·=π.

解讀? 本題目與第一道考題相類似，都涉及了點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)路徑，其過(guò)程為繞點(diǎn)B進(jìn)行的旋轉(zhuǎn)，求解的特點(diǎn)在于充分利用圖形旋轉(zhuǎn)過(guò)程中旋轉(zhuǎn)角相等的性質(zhì)，即圖形旋轉(zhuǎn)過(guò)程中不同點(diǎn)、線之間的旋轉(zhuǎn)角是一致的，利用該性質(zhì)可以直接建立等角關(guān)系，對(duì)于問(wèn)題的分析有著極大的幫助. 另外，在獲取旋轉(zhuǎn)角時(shí)需要掌握一定的方法，旋轉(zhuǎn)起終點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角就為旋轉(zhuǎn)角，不同點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)路徑雖不相同，但旋轉(zhuǎn)角保持一致.

2. 幾何旋轉(zhuǎn)，求三角函數(shù)

（2018年江蘇蘇州卷第17題）如圖5所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2，BC=，現(xiàn)將△ABC繞著點(diǎn)A以逆時(shí)針的方向旋轉(zhuǎn)90°得到了△AB′C，則sin∠ACB′的值為_(kāi)_____.

分析? 上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程為△ABC繞著點(diǎn)A進(jìn)行的旋轉(zhuǎn)，而求sin∠ACB′的值需要將其放置在直角三角形中. 過(guò)點(diǎn)A作CB′的垂線，垂足為點(diǎn)N，則在Rt△ACN中有sin∠ACB′=，則問(wèn)題的關(guān)鍵就是求出AN和AC的值. AC可以在Rt△ABC中利用勾股定理求得，而AN則可以結(jié)合旋轉(zhuǎn)特性，在△AB′C中利用等面積法來(lái)求得.

解：如圖6，過(guò)點(diǎn)A作CB′的垂線，垂足為點(diǎn)N，則sin∠ACB′=，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC==5. 過(guò)點(diǎn)C作AB′的垂線，垂足為點(diǎn)M，因?yàn)椤鰽BC通過(guò)旋轉(zhuǎn)得到了△AB′C，由旋轉(zhuǎn)特性可知AB′=AB=2. 由于∠B′AB=∠B=∠CMA=90°，所以四邊形ABCM為矩形，CM=AB=2，AM=BC=，在Rt△B′MC中，由勾股定理可得B′C==5，由等面積法可得B′C×AN=AB′×CM，解得AN=4，所以sin∠ACB′=.

解讀? 上述題目以圖形旋轉(zhuǎn)為背景求解三角函數(shù)值，由于初中階段對(duì)于三角函數(shù)的求解需要將其放置在直角三角形中，因此求解過(guò)程通過(guò)構(gòu)建直角三角形將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求線段的長(zhǎng)，然后充分利用旋轉(zhuǎn)過(guò)程中對(duì)應(yīng)線段長(zhǎng)度不變，以及線段旋轉(zhuǎn)角的特性來(lái)實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的作答. 另外，題目中將幾何旋轉(zhuǎn)與三角函數(shù)有效融合在一起，是對(duì)知識(shí)聯(lián)系性的體現(xiàn)，對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生解決綜合問(wèn)題的能力有著一定的提升作用.

解后思考，學(xué)習(xí)反思

1. 牢實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，講求知識(shí)綜合

幾何旋轉(zhuǎn)特性作為重要的知識(shí)點(diǎn)在中考中側(cè)重于以知識(shí)綜合的形式考查，該特點(diǎn)在上述考題中有著充分的體現(xiàn). 上述考題分別以圖形旋轉(zhuǎn)為背景考查求解幾何面積、動(dòng)點(diǎn)路徑長(zhǎng)和三角函數(shù)值，其中涉及了面積公式、弧長(zhǎng)公式和三角函數(shù)表達(dá)式等知識(shí)點(diǎn)，是幾何與代數(shù)知識(shí)領(lǐng)域的綜合. 求解該類問(wèn)題除了需要掌握一些基礎(chǔ)的知識(shí)內(nèi)容，還需要充分把握知識(shí)之間的聯(lián)系，對(duì)各部分內(nèi)容有著準(zhǔn)確的定位，這樣的學(xué)習(xí)策略對(duì)于知識(shí)體系的構(gòu)建和后續(xù)解決綜合問(wèn)題有著極大的幫助.

2. 重視解題方法，完善數(shù)形結(jié)合

幾何旋轉(zhuǎn)問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)較為典型的問(wèn)題，其復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中包含著一定的變化規(guī)律和幾何性質(zhì)，合理利用分析方法，還原運(yùn)動(dòng)過(guò)程，建立分析模型是高效求解的關(guān)鍵，如考題一在求解面積時(shí)采用幾何分割的方式將旋轉(zhuǎn)過(guò)程階段化，分別建立面積模型求解;考題二則在求解動(dòng)點(diǎn)路徑時(shí)通過(guò)添加輔助線，還原動(dòng)點(diǎn)軌跡，調(diào)用旋轉(zhuǎn)特性;考題三求三角函數(shù)時(shí)通過(guò)添加輔助線將其轉(zhuǎn)化為求線段長(zhǎng)的問(wèn)題. 上述問(wèn)題的求解過(guò)程充分采用了構(gòu)建模型、數(shù)形結(jié)合的解題策略，該種解題思路對(duì)于復(fù)雜幾何問(wèn)題的求解有著顯著的作用，在解該類問(wèn)題時(shí)可以推廣使用.

3. 把握問(wèn)題核心，挖掘問(wèn)題本質(zhì)

學(xué)習(xí)幾何旋轉(zhuǎn)最為重要的內(nèi)容是對(duì)旋轉(zhuǎn)特性的理解，這也是求解該類問(wèn)題的關(guān)鍵. 旋轉(zhuǎn)特性包括旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段長(zhǎng)、圖形內(nèi)角和外在形狀的一些性質(zhì)，學(xué)習(xí)時(shí)需要從“旋轉(zhuǎn)不變性”角度來(lái)加以理解，即整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程的幾何元素保持不變，幾何元素之間的旋轉(zhuǎn)角始終保持一致，這是旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)內(nèi)容，也是問(wèn)題求解、思路構(gòu)建的關(guān)鍵. 在求解旋轉(zhuǎn)問(wèn)題時(shí)需要充分利用旋轉(zhuǎn)特性，從圖形運(yùn)動(dòng)中挖掘不變因素，從而獲得問(wèn)題求解的本質(zhì)解法，真正實(shí)現(xiàn)解題能力的提升.

圖形旋轉(zhuǎn)作為幾何三大運(yùn)動(dòng)之一，是具有顯著培養(yǎng)意義的學(xué)習(xí)內(nèi)容，對(duì)于學(xué)生樹(shù)立空間幾何觀，發(fā)展模型思想有著重要意義. 對(duì)于該部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，需要在掌握其運(yùn)動(dòng)過(guò)程的基礎(chǔ)上理解旋轉(zhuǎn)特性，并結(jié)合相關(guān)幾何知識(shí)形成旋轉(zhuǎn)問(wèn)題的解題策略，促進(jìn)自我解題思維的發(fā)展，從本質(zhì)上提升解題能力.