北京市第十二中學(xué)高中部(100071) 劉 剛

我們知道,圓通過伸縮變換可以得到橢圓,而圓具有豐富的幾何性質(zhì),這其中的多數(shù)性質(zhì)在橢圓中都可以進(jìn)行推廣.經(jīng)過類比,圓的直徑所對(duì)應(yīng)的圓周角為直角推廣到橢圓,可以得到下面的性質(zhì).

一.橢圓直徑性質(zhì)

性質(zhì)如圖1,AB是橢圓的一條直徑(過中心的弦),P在橢圓C上,且直線PA,PB與坐標(biāo)軸不平行,則直線PA,PB的斜率之積kPA·kPB為定值.

圖1

證明設(shè)P(x0,y0),A(x1,y1),由橢圓對(duì)稱性,得B(?x1,?y1).因?yàn)镻,A在橢圓C上,所以

故直線PA,PB的斜率之積kPA·kPB為定值.

這條性質(zhì)是在橢圓直徑的基礎(chǔ)上得出的,它從斜率的角度揭示了橢圓的本質(zhì),應(yīng)用廣泛,能夠簡化運(yùn)算,下面舉例說明.

二.應(yīng)用

1.數(shù)量積定值

例1已知橢圓上任意一點(diǎn)M(除短軸端點(diǎn)外)與短軸兩端點(diǎn)B1,B2的連線分別與x軸交于P,Q兩點(diǎn),O為橢圓的中心,求證:為定值.

證明不妨設(shè)B1(0,b),B2(0,?b),P(m,0),Q(n,0),則因?yàn)锽1B2是橢圓的直徑,且點(diǎn)M在橢圓上,所以由橢圓直徑性質(zhì),得

所以mn=a2,由此得故為定值a2.

2.線段長度定值

例2(2018年北京市豐臺(tái)區(qū)一模理科第19題)已知點(diǎn)在橢圓上,F(1,0)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).

(I)求橢圓C的方程;

(II)橢圓C上不與點(diǎn)P重合的兩點(diǎn)D,E關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,直線PD,PE分別交y軸于M,N兩點(diǎn).求證:以MN為直徑的圓被直線截得的弦長是定值.

證明(I)略,橢圓C的方程為

3.線段長度最值

例3(2014年北京市延慶區(qū)一模)已知直線x?2y+2=0經(jīng)過橢圓0)的左頂點(diǎn)A和上頂點(diǎn)D,橢圓C的右頂點(diǎn)為B,點(diǎn)S是橢圓上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn),直線AS,BS與直線l:x=4分別交于M,N兩點(diǎn).

(I)求橢圓C的方程;

(II)求線段MN的長度的最小值.

圖2

解(I)略,橢圓C的方程為.

(II)如圖2,由已知,得A(?2,0),B(2,0),設(shè)M(4,m),N(4,n),則因?yàn)锳B是橢圓C的直徑,且點(diǎn)S在橢圓C上,所以由橢圓直徑性質(zhì),得即mn=?3,由此得當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào),故線段MN的長度的最小值為

4.軌跡問題

例4(2014年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山西預(yù)賽)如圖3,A、B是橢圓的長軸端點(diǎn),P是橢圓上異于A、B的點(diǎn),自A、B分別作l1⊥PA,l2⊥PB,l1、l2相交于點(diǎn)M.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上移動(dòng)時(shí),求點(diǎn)M的軌跡方程.

解由已知得A(?a,0),B(a,0),設(shè)M(x,y),則kAM=因?yàn)閘1⊥PA,l2⊥PB,所以因?yàn)锳B是橢圓的直徑,且點(diǎn)P在橢圓上,所以由橢圓直徑性質(zhì),得kPA·kPB=整理得所以點(diǎn)M的軌跡方程是

圖3

5.位置判斷

例5(2018年北京市海淀區(qū)二模文科)已知橢圓C:x2+2y2=2的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2.

圖4

(I)求橢圓C的長軸長與離心率;

(II)若不垂直于x軸的直線l與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn),直線A1P與A2Q交于點(diǎn)M,直線A1Q與A2P交于點(diǎn)N.求證:直線MN垂直于x軸.

解(I)略;(II)如圖4,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),由已知得因?yàn)锳1A2是橢圓的直徑,且P在橢圓C上,所以由橢圓直徑性質(zhì),得

同理,

6.求離心率

例6(2014年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東預(yù)賽)設(shè)點(diǎn)O為橢圓的中心,點(diǎn)A為橢圓上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn),過點(diǎn)A作長軸的垂線,垂足為M,連結(jié)AO并延長交橢圓于另一點(diǎn)B,連結(jié)BM并延長交橢圓于點(diǎn)C,問是否存在橢圓,使得BA⊥CA?

解如圖5,以橢圓的中心O為坐標(biāo)原點(diǎn),長軸所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)橢圓的方程為設(shè)A(x0,y0),C(x1,y1),由已知得B(?x0,?y0),M(x0,0).因?yàn)锳B是橢圓的直徑,且C在橢圓上,所以由橢圓直徑性質(zhì),得即

因?yàn)锽A⊥CA,所以kBA·kCA=?1,即

圖5

7.斜率定值

例7(2015年南京、鹽城二模)如圖6,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓的離心率為直線l:y=與橢圓E相交于A,B兩點(diǎn),C,D是橢圓E上異于A,B兩點(diǎn),且直線AC,BD相交于點(diǎn)M,直線AD,BC相交于點(diǎn)N.

(1)求a,b的值;

(2)求證:直線MN的斜率為定值.

圖6

證明(1)略,

化簡①,得

化簡②,得

③-④,整理得x1?x2+y1?y2=0,所以故直線MN的斜率為定值?1.

8.坐標(biāo)之積定值

例8(2014年南京、鹽城一模)如圖7,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知過點(diǎn)的橢圓C:的右焦點(diǎn)為F(1,0),過焦點(diǎn)F且與x軸不重合的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P,直線PA,PB分別交橢圓C的右準(zhǔn)線l于M,N兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

圖7

(3)記M,N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為yM,yN,試問yM·yN是否為定值?若是,請(qǐng)求出該定值;若不是,請(qǐng)說明理由.

解(1)略,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是

(3)設(shè)B(x0,y0),則P(?x0,?y0),OB的方程為y=令x=4,得當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),因?yàn)镻B是橢圓C的直徑,且A在橢圓C上,所以由橢圓直徑性質(zhì),得又kAB=所以所以直線AP的方程為令x=4,得因?yàn)辄c(diǎn)B(x0,y0)在橢圓C上,所以所以由此得yM·yN=當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí),易得yM·yN=?9,綜上yM·yN為定值?9.

以上介紹了橢圓直徑的一個(gè)性質(zhì)及應(yīng)用,在利用該性質(zhì)解題時(shí),要先根據(jù)題目已知條件設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),然后表示出相應(yīng)直線的斜率,在此基礎(chǔ)上再借助橢圓直徑的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算,從而使解題目標(biāo)更加明確、有針對(duì)性,避免了聯(lián)立法所帶來的繁瑣運(yùn)算.在教學(xué)中,教師要引導(dǎo)學(xué)生多總結(jié)規(guī)律,適時(shí)應(yīng)用,從而提高學(xué)習(xí)效率.