廣東省湛江一中培才學(xué)校(524037) 魏 欣 林俊杰

2018年高考全國(guó)I卷理科第21題集函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式于一體,是一道既具有一定的基礎(chǔ)性與綜合性,滲透著分類討論、數(shù)形結(jié)合和等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法,全方位考查了學(xué)生的觀察、分析、推理論證、運(yùn)算求解的數(shù)學(xué)能力.本文主要針對(duì)第(II)問(wèn),從不同的視角進(jìn)行分析,以便有效把握試題,有效突破導(dǎo)數(shù)壓軸題.

一、真題展示

(I)討論f(x)的單調(diào)性;

(II)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1和x2,證明:.

二、試題分析

本題屬于傳統(tǒng)題,考查了函數(shù)的單調(diào)性和證明不等式問(wèn)題.以含參數(shù)不等式問(wèn)題為載體,既考查學(xué)生的分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)方程及不等式思想,又考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.本題由淺人深,對(duì)計(jì)算難度、思維深度的要求逐步提高,很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)性、應(yīng)用性和創(chuàng)造性.

三、解法探究

解析(I)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),

設(shè)方程x2?ax+1=0的判別式為?,?=a2?4;

①當(dāng)?=a2?4>0時(shí),設(shè)方程x2?ax+1=0的兩個(gè)根為x1、x2,則有x1+x2=a,x1·x2=1.

?

所以f(x)在(0,x1),(x2,+∞)上單調(diào)遞減,f(x)在(x1,x2)上單調(diào)遞增.

②當(dāng)?=a2?40時(shí),即當(dāng)?2a2時(shí),f′(x)0,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

綜上所述,當(dāng)a>2時(shí),f(x)在(0,x1),(x2,+∞)上單調(diào)遞減,f(x)在(x1,x2)上單調(diào)遞增;當(dāng)a2時(shí),f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

對(duì)于第(II)問(wèn)有以下六種求證方法.

方法一由(I)可知0,x1·x2=1.

構(gòu)造函數(shù)

則

方法二由(I)可知00,x1·x2=1.

評(píng)注(1)構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性是基本而常用的方法;(2)利用x1,x2的對(duì)等性即有方法一和方法二.

方法三由(I)可知00,x1·x2=1.由(?)可知:

又因?yàn)?

構(gòu)造函數(shù)g(x)=2xlnx?x2+1(0

所以g′(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,g′(x)g(1)=2·1·ln1?12+1=0.即g(x)>0,所以④式成立.所以

評(píng)注構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性時(shí)關(guān)鍵是根據(jù)解題需要和已知信息構(gòu)造出適合的函數(shù).

方法四由(I)可知00,x1·x2=1.由(?)可知:

又因?yàn)?

方法五由(I)可知00,x1·x2=1.由(?)可知

又因?yàn)?

評(píng)注解析一到解析五都運(yùn)用了構(gòu)造函數(shù),然后求導(dǎo)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法,由于解題的切入點(diǎn)不同,構(gòu)造的函數(shù)各異,解題的難易也有別,請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)行解題比較與解題分析.本文給出了2018年高考全國(guó)I卷理科第21題第(II)問(wèn)的五種基本解法,這些解法也是解決該類問(wèn)題的最常用的方法(尤其構(gòu)造函數(shù),二次求導(dǎo)等),請(qǐng)同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)(分析和比較)以上解法的基礎(chǔ)上探討該題的其它解法,通過(guò)解題學(xué)解題,多總結(jié)、勤反思,源源不斷地開(kāi)發(fā)出自己的解題智慧.

方法六對(duì)數(shù)平均不等式法

證明(萬(wàn)能t法)不妨設(shè)0

評(píng)注由以上解法我們可以看到,一個(gè)新的平均不等式——對(duì)數(shù)平均不等式可以應(yīng)用到我們的高考題中,盡管在教材中對(duì)這個(gè)不等式未曾提起,但是在高考試題中,以這個(gè)不等式為背景的壓軸題已屢見(jiàn)不鮮,給所有高中數(shù)學(xué)老師和高三考生一種“一切盡在不言中”的感覺(jué),雖然我們無(wú)法猜測(cè)高考命題者的初衷及試題的實(shí)際背景,但是在高考備考過(guò)程中,提出對(duì)數(shù)平均不等式的背景還是挺有意義的.

四、真題回顧

由以上利用構(gòu)造函數(shù)法和對(duì)數(shù)平均不等式的解法不難發(fā)現(xiàn),在2017、2016、2015年全國(guó)I卷文理科導(dǎo)數(shù)壓軸題、2012年遼寧卷理科的壓軸題、2011年湖南卷文科第22題、2013年全國(guó)卷I理科第21題等等,也均可以用以上解法,體現(xiàn)了高考試題“?？汲Ｐ?推陳出新”的理念.均可以用上述的通性通法來(lái)解答,由于篇幅關(guān)系,此處只做簡(jiǎn)析.

五、備考建議

利用構(gòu)造函數(shù)法或?qū)?shù)平均不等式解答高考導(dǎo)數(shù)壓軸題一般得通性通法有以下步驟:

1.求導(dǎo)數(shù)之前首先要指明定義域;2.畫初等函數(shù)圖像時(shí)要考慮單調(diào)、定點(diǎn)、零點(diǎn)、極限等問(wèn)題;3.構(gòu)造函數(shù),分類討論應(yīng)先討論簡(jiǎn)單的,從易到難,步步深入.通過(guò)研究不難發(fā)現(xiàn),構(gòu)造函數(shù)優(yōu)化解法既簡(jiǎn)單又快捷,而且不容易出錯(cuò).它的優(yōu)點(diǎn)在于:①?gòu)?fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化,即把一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題,分解為一系列簡(jiǎn)單的問(wèn)題.②一般的問(wèn)題特殊化,有些一般的結(jié)論,找不到一般解法,先看特殊情況,先找出結(jié)論,再慢慢求解.

平時(shí)注重一題多解、一題多變的訓(xùn)練是解決此類問(wèn)題的好幫手.一題多解有利于提高學(xué)生思維的發(fā)散性、靈活性,能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,對(duì)于學(xué)生從不同角度、不同側(cè)面去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題,對(duì)于調(diào)動(dòng)解題積極性,培養(yǎng)發(fā)展思維,創(chuàng)造性品質(zhì)有著重要的意義.