湖北省監(jiān)利縣實驗高中(433300) 萬平方

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》指出:直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,利用空間形式特別是圖形,理解和解決數(shù)學問題的素養(yǎng).直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的重要手段,是探索和形成論證思路、進行數(shù)學推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎.

向量是數(shù)形結(jié)合的一個典范,教材突出強調(diào)了向量的工具性特征,即用向量去描述幾何關(guān)系用于解決幾何問題,而后通過向量的運算獲解.重視用向量去刻畫幾何關(guān)系,重視向量的運算,這毋庸置疑是向量非常重要的一個方面.但這僅僅是向量數(shù)形轉(zhuǎn)化的一個方面.平面向量的高考小題的幾何解法思路上剛好是向量工具性特征運用的逆向轉(zhuǎn)化,透過向量語言的外衣把握其幾何直觀快捷獲解,這是向量數(shù)形轉(zhuǎn)化的另一個方面(即把向量的描述轉(zhuǎn)化為幾何的情形).這也是考場上避免復雜運算提高解題效率的重要手段.

平面向量的許多高考試題都具有極強的數(shù)學味,試題背后都有一個漂亮的幾何背景,都對應一個淺顯直觀的幾何結(jié)論.這樣的試題既可以考查向量的代數(shù)運算,也能通過對向量幾何背景的透視,抓住向量本質(zhì).“有圓看圓,無圓尋圓”,簡化解題思路.

1.有圓看圓

有些試題本身就是以圓為平臺設計問題,可“看圓”(利用圓的直觀性)或挖掘圓的性質(zhì)求解.

例1(2015年高考湖南卷理數(shù))已知點A,B,C在圓x2+y2=1上運動,且AB⊥BC,若點P的坐標為(2,0),則的最大值為( )

A.6 B.7 C.8 D.9

解析由題意知AC是圓的一條直徑,故AC必經(jīng)過原點.如圖1,當P,O,B三點共線時等號成立,即當點B落在點(?1,0)處時,取 最 大 值.此 時,的最大值為7.故選B.

圖1

評析利用“直徑上的圓周角是直角”得到AC是圓的一條直徑,將轉(zhuǎn)化為減少變量個數(shù),結(jié)合圖形直接得到答案.

例2(2014年高考全國I卷理數(shù))已知A,B,C為圓O上的三點,若則的夾角為____.

解析由若得O為BC的中點,即BC為圓O的直徑,故在△ABC中,BC對應的角A為直角,即的夾角為90?.

評析本題將平面向量基本定理和圓的性質(zhì)(過圓心的弦是直徑)結(jié)合,利用“直徑上的圓周角是直角”直接得到答案.

例3(2017年高考北京卷文數(shù))已知點P在圓x2+y2=1上,點A的坐標為(?2,0),O為原點,則的最大值為____.

圖2

解析觀察到向量的長度和方向都確定,而隨著點的運動而變化,利用向量數(shù)量積的幾何意義,的值就是方向上的投影與之積.因此,當方向上的投影最大時,取最大值.依據(jù)圖形2可以直觀判斷,當點P的坐標為(1,0)時,方向上的投影的最大值為3,此時的最大值為6.

評析利用投影,使數(shù)量積從二元變量的長度及兩向量的夾角)轉(zhuǎn)化為一元變量方向上的投影),使問題變得更加直接、直觀,干脆利落!向量數(shù)量積的幾何意義功不可沒!

例4(2017年高考江蘇卷)在平面直角坐標系xoy中,A(?12,0),B(0,6),點P在圓O:x2+y2=50上,若則點P的橫坐標的取值范圍是______.

解析設P(x,y),則(-12-x,-x),由有2x-y+50.故點P(x,y)既在圓x2+y2=50上,又在直線2x-y+5=0的左上方,其公共部分是一段圓弧,其中圓弧的兩端點分別為M(?5,?5),N(1,7),結(jié)合圖形3可知點P的橫坐標的取值范圍是(圖中C點與N點橫坐標).

圖3

評析平面向量的幾何表示與坐標表示,使得向量與幾何、向量法與解析法之間有了天然的聯(lián)系.既要會運算,也要能夠充分利用圖形的幾何性質(zhì)進行直觀判斷.

2.模長關(guān)系尋圓

例5 (2013年高考湖南卷理數(shù))已知a,b是單位向量,a·b=0.若向量c滿足|c-a-b|=1,則|c|的取值范圍是( )

解析如圖4作點C在以D為圓心的單位圓上運動,c-a-b=c-(a+b)=當O,D,C三點共線時,|c|取得最值.則有故選A.

圖4

評析本題先利用向量加法的幾何意義將三個向量的線性運算轉(zhuǎn)化兩個向量的差,再由它的模為1得到C在以D為圓心的單位圓上運動直接得到答案.

例6(2011年高考浙江理數(shù))若平面向量α,β滿足|α|=1,|β|1,且以向量α,β為鄰邊的平行四邊形的面積為則α與β的夾角θ的范圍是____.

解析如圖5作β,其中點A在單位圓上,點B在線段CD上,線段CD與OA所在直線間的距離為則∠AOC因此,α與β的夾角θ的范圍是

圖5

評析由|α|=1,|β|1得到α的終點在單位圓上,β的終點在單位圓內(nèi)部.利用平面幾何中“到定直線距離相等的點在一條直線上”的結(jié)論畫出圖形,再利用“圓中兩條平行弦所夾的弧相等”結(jié)合直角三角形的性質(zhì)直接得到答案.

3.角的關(guān)系尋圓

傳統(tǒng)的二胡演奏重視獨奏能力而忽視合奏能力，導致演奏者在合奏時，只重視個人發(fā)揮，缺乏合奏意識。因此在新形勢下開展二胡的多元合奏訓練，提高團隊合作意識，對二胡合奏的演出效果來說是非常必要的。

解 析如圖6,作的 外 角 為120?,則∠OAB=60?.則點A在圓心為G,OB所張圓周角為60?的圓的一段弧上,從而∠OGB=2∠OAB=120?.在△OGB中,當點A在直徑的端點C處時,|α|取最大值在點O處有最小值(不符合條件).故|α|的取值范圍是

圖6

評析由α與β?α的夾角為120?利用“同弧(等弧)上的圓周角相等,同弧所對圓心角是圓周角的2倍”將條件直觀表示,再利用“圓中最長的弦是直徑”得到答案.

例8(2008年高考浙江理數(shù))已知a,b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量,若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0,則|c|的最大值是( )

A.1 B.2 C.D.

解析如圖7作因為(a-c)·(b-c)=0所以點C在以AB為直徑的圓上,故|c|的最大值為圓的直徑,即AB長故選C.

圖7

評析由a⊥b與(a-c)·(b-c)=0得到O,A,C,B四點共圓,利用“直徑上的圓周角是直角”與“圓中最長的弦是直徑”的結(jié)論直接得到答案.

例9(2011年高考全國II卷理數(shù))已知a,b,c滿足若向量滿足則|c|的最大值是( )

A.2 B.C.D.1

解析如圖8作=c,∠BOA=120?,∠BCA=60?.因此O,A,C,B四點共圓.當線段OC為直徑時|c|最大.連AB,在△OAB中,由余弦定理得再利用正弦定理可得其外接圓的直徑為故選A.

圖8

例10(2011年高考遼寧卷理數(shù))已知a,b,c均為單位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)0,則|a+b-c|的最大值是( )

A.B.1 C.D.2

解析如圖9,c的終點在以1為半徑的圓弧上運動,它到圖中a+b終點距離的最大值為1.故選B.

圖9

評析由(a-c)·(b-c)0知c的終點在以1為半徑的圓弧上運動,先利用向量加法的平行四邊形法則表示a+b,再結(jié)合圖形直接得到答案.

4.坐標方法尋圓

例11(2014年高考湖南卷理數(shù))在平面直角坐標系中,O為原點動點D滿足|CD|=1,則的最大值是____.

解析動點D的軌跡為以C為圓心的單位圓,則其軌跡方程為問題轉(zhuǎn)化圓(x-3)2+y2=1上的點與點間距離的最大值.圓心C(3,0)與點之間的距離為所以的最大值為

評析本題利用向量坐標運算將三個向量和向量的模長問題轉(zhuǎn)化為求圓上的動點與定點距離的最大值問題.題干中給出了坐標,用坐標法是順勢而為!

例12(2018年高考浙江卷)已知a,b,e是平面向量,e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為向量b滿足b2?4e·b+3=0,則|a?b|的最小值是( )

A.B.C.2 D.

解析e為單位向量,設e=(1,0),b=(x,y).由b2?4e·b+3=0可得x2+y2?4x+3=0,即(x?2)2+y2=1.如圖10,(B在圓C:(x?2)2+y2=1上運動),(A在l上運動,l與x軸的非負半軸所成角為過C作CD⊥l,垂足為點D,則故選A.

圖10

評析本題在直角坐標系的平臺上研究幾何關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,已知條件坐標化是解決此題的關(guān)鍵.通過直線與圓的方程將問題轉(zhuǎn)化為定直線上動點與定圓上動點距離的最值問題,以平面向量為載體,隱圓于平面向量中,匠心獨運,考查直觀想象的核心素養(yǎng)于無痕.

例13(2016年高考四川卷理數(shù))在平面內(nèi),定點A,B,C,D滿足動點P,M滿足則的最大值是( )

A.B.C.D.

解析因為且所以DA,DB,DC三條線段的夾角兩兩相等,且∠ADB=∠BDC=∠CDA=120?.建立如圖11所示的直角坐標系(D與坐標原點O重合),則取線段AC的中點N,則點N的坐標為因為M,N分別是線段PM,AC的中點,所以所以M的軌跡方程為(x?32)2+(y?12)2=14.問題轉(zhuǎn)化圓(x?32)2+(y?12)2=14上的動點與定點間距離的最大值的平方.圓心與點之間的距離為3.所以則的最大值是故選B.

圖11

評析利用三角形中位線的性質(zhì)得到是解決本題的關(guān)鍵!有了這個關(guān)鍵,就能捕捉到M點的軌跡是圓.建立直角坐標系,則將問題轉(zhuǎn)化成熟悉的問題——求圓上的動點與定點距離的最大值,使得原本復雜無序的變化顯得清澈見底,直透本質(zhì).

例11到例13,有坐標用坐標、無坐標想坐標、缺坐標建坐標,無圓尋圓,無圓覓圓,層層遞進,精彩紛呈!

高考向量試題啟示我們看透包裝把握問題的數(shù)學本質(zhì)行之有效的途徑之一就是換一種方式來表述問題.數(shù)學解題實質(zhì)就是不斷地轉(zhuǎn)化問題,直至最簡.

重視幾何直觀,不意味著忽視代數(shù)運箅,代數(shù)運算與幾何直觀相輔相成、相得益彰.用向量的運算來研究幾何是向量學習中的重點,將向量包裝的試題轉(zhuǎn)化為幾何問題是高考命題的特色,靈活自如地進行數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化是我們的追求!