浙江省臺州市白云中學(xué)(318000) 胡艷

浙江省浙江師范大學(xué)(321004) 唐恒鈞

1、引言

概念是數(shù)學(xué)知識最基本的組成元素,因此概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中有不容忽視的地位.受應(yīng)試教育的影響,數(shù)學(xué)概念教學(xué)在實踐中未引起充分的重視,甚至存在一些片面的理解.比如,有觀點認為一些具體的表征形式就是概念本身,故學(xué)生只需記憶概念及其實例即可.還有一些課把概念的定義當做教學(xué)的起點,忽略了概念形成的自然性和隱藏在概念背后內(nèi)在邏輯.因此很多學(xué)生會覺得數(shù)學(xué)是封閉的,呆板的,從而影響了對數(shù)學(xué)學(xué)習的熱情.問題是驅(qū)動學(xué)生思考并主動建構(gòu)新知的重要手段.但課堂上常見的是教師所提出的問題零散而缺乏關(guān)聯(lián),學(xué)生的思考也往往缺乏脈絡(luò),這影響了知識建構(gòu)的效果.“問題鏈”可以讓學(xué)生進行系列的、連續(xù)的思維活動,使學(xué)生的思維不斷攀升到新的高度.

“問題鏈”是從學(xué)生的認知心理和認知水平出發(fā),針對學(xué)生學(xué)習過程中可能產(chǎn)生的困惑,將教材知識轉(zhuǎn)化為層次鮮明且具有系統(tǒng)性的一連串的數(shù)學(xué)問題.問題鏈教學(xué),一方面為學(xué)生提供思考的問題,在內(nèi)容上引導(dǎo)學(xué)生獲得較為深入的數(shù)學(xué);另一方面問題與問題之間的跨度為學(xué)生多樣的思維與探索提供了可能性;強調(diào)知識、方法、視角等多層面的關(guān)聯(lián)是問題鏈教學(xué)的核心.[1]在概念教學(xué)中,以“問題鏈”為載體,學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題、解決問題,提出問題”的循環(huán)模式,并及時反思,逐步將概念精致化.本文以人教版“立方根”為例,嘗試用類比的思想實現(xiàn)知識、方法和視角上的關(guān)聯(lián),用問題鏈驅(qū)動學(xué)生自主探究、形成概念.

2、教學(xué)案例設(shè)計

2.1 立足數(shù)學(xué)現(xiàn)實,使概念發(fā)現(xiàn)更自然

問題1關(guān)于平方根我們研究了哪些內(nèi)容? 請你多角度地談?wù)勀銓ζ椒礁恼J識.

生1: 按照學(xué)習的順序分別是: 平方根的定義,開平方的定義,性質(zhì),符號表示,應(yīng)用.

生2: 已知一個數(shù)x 的平方等于a, 那么x 叫a 的平方根,若x2=a,則

生3: 從方程的角度看x2=a,x 是二次方程的解也叫方程的根,因此x 叫a 的二次方根或平方根.

生5: 開平方和平方互為逆運算.

……

師: 大家其實從定義,方程,運算,符號等角度對平方根進行了回顧.

教學(xué)意圖問題1 作為起點性問題,使后續(xù)探究活動具有一定指向性.數(shù)學(xué)概念的學(xué)習是一個學(xué)生主體主動建構(gòu)的過程,而且在建構(gòu)的過程中,主體已有的認知結(jié)構(gòu)發(fā)揮了特別重要的作用.在此之前,學(xué)生對平方根的研究方法和研究思路已經(jīng)有了充分的體驗,為下面新知探究提供了一個明確的研究框架.

問題2我們在學(xué)完數(shù)的平方后,還學(xué)習了立方,以及乘方,體現(xiàn)了從特殊到一般的思想方法.類似地,在學(xué)完平方根后,你認為還可以研究什么?

生: 如果一個數(shù)x 的平方等于a,即x2= a,那么x 叫a的平方根,那假如已知一個數(shù)x 的立方、(四次方及n 次方)等于a,那么x 叫a 的?

追問: 你認為這樣的x 可以叫什么?

問題3根據(jù)平方根的學(xué)習經(jīng)驗,你認為可以怎樣研究立方根?

生: 類比平方根的學(xué)習,我們需要研立方根的定義,開立方的定義,性質(zhì),符號表示,應(yīng)用.

教學(xué)意圖立方根在現(xiàn)實生活中存在大量的實例,人教版課本中也是采用具體實例引入,直接抽象出立方根的概念,引出課題.但從學(xué)情考慮,學(xué)生已經(jīng)掌握了算術(shù)平方根和平方根的概念,這為立方根的概念產(chǎn)生提供了充分的認知“固著點”;從數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的聯(lián)系看,平方與開平方是互逆的運算,類比乘方學(xué)習中特殊到一般的研究思路,立方根的概念是由數(shù)學(xué)知識的發(fā)展需要產(chǎn)生的.基于這樣的知識起點設(shè)置問題鏈,驅(qū)動學(xué)生深層次地思考數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的聯(lián)系,在舊知基礎(chǔ)上猜想可研究的新問題.同時類比平方根的研究過程,自然生成立方根的學(xué)習方式.在建立新舊概念之間聯(lián)系性的認識中,學(xué)生逐步積累類比的思維方法.

2.2 從過程到對象,使概念精致化

問題4由立方根的定義,你能做什么?

生1: 求一個數(shù)的立方根,比如2 的立方等于8,那么8的立方根就是2,比如3 的立方等于27,那么27 的立方根就是3.

追問: 生活中有立方根的例子嗎?

生2: 比如一個正方體形狀的水池體積為125cm3,水池的邊長是多少?

……

問題5同學(xué)們其實都是將定義中的x 和a 賦予了具體的數(shù)? 你們都舉了些正整數(shù),那這里的x 和a 能表示什么數(shù)?為什么?

生: x 能表示任何有理數(shù),a 也能表示任何有理數(shù),比如23=8,(-2)3=-8,03=0.

生: 類比平方根,也將數(shù)按符號分成正數(shù),0 和負數(shù)分別考慮.發(fā)現(xiàn)正數(shù)的立方根是正數(shù),負數(shù)的立方根是負數(shù),0 的立方根是0.

追問: 立方根和平方根的性質(zhì)一樣嗎? 是什么導(dǎo)致了它們(不)一樣?

生: 不一樣,平方有非負性,但立方的結(jié)果可以是任何數(shù).

問題623= 8,(-2)3= -8,03= 0,從左邊到右邊是什么運算? 那( )3=8,( )3 =27,從右邊到左邊又是什么運算? 這兩種運算有著什么樣的關(guān)系?

問題7立方根是對一個數(shù)進行開立方的結(jié)果,我們知道8 的立方根是2,那2 的立方根該如何表示呢? 你是怎么想到的?

生: 類比平方根,用符號表示.

3.2 會陰評估 目前，大多數(shù)文獻［9-12］在會陰評估方面均是進行經(jīng)驗總結(jié)，缺乏明確的評估體系，只是對臨床助產(chǎn)提出可行會陰保護方式，這將導(dǎo)致助產(chǎn)士無證可循，只能繼續(xù)憑借自己的工作經(jīng)驗采取相應(yīng)會陰保護措施。確立分娩時產(chǎn)婦綜合評估指標及內(nèi)容，建立統(tǒng)一的評估體系不僅使得助產(chǎn)士有證可循，有據(jù)可依，也為正確地應(yīng)用保護方式，合理地使用會陰切開術(shù)提供了依據(jù)，避免會陰嚴重撕裂的發(fā)生，且能夠促進助產(chǎn)士不斷地提高助產(chǎn)技術(shù)，提高產(chǎn)科質(zhì)量。

教學(xué)意圖數(shù)學(xué)概念具有過程與對象的兩重性,概念的過程和對象這兩個側(cè)面有著緊密的依賴關(guān)系,形成一個概念往往要經(jīng)歷由過程開始,然后轉(zhuǎn)變?yōu)閷ο蟮恼J知過程[2].本節(jié)課從數(shù)學(xué)現(xiàn)實出發(fā)得到立方根的概念.立方根的概念描述了一個動態(tài)的計算過程,通過問題驅(qū)動學(xué)生自己舉例,充分體驗由x3= a 來求立方根的程序性算法,也為自然地引出開立方定義做鋪墊.問題4 讓學(xué)生自己列舉立方根具體的數(shù)學(xué)例子和生活實例,實現(xiàn)概念的具體化、生活化.在問題7中,由于2 的立方根無法用已有的數(shù)表示,產(chǎn)生認知沖突,引出立方根符號.學(xué)生只有掌握了實物、文字、數(shù)學(xué)符號等多種表征方式來理解立方根,才算把新概念與已有認知結(jié)構(gòu)中的知識建立起實質(zhì)性聯(lián)系.比如立方根概念中, 能明白“已知x3=a,求x 的值”,“求a 的立方根”,和“已知一個正方體的包裝盒體積是a,求正方體的邊長”這些問題之間的關(guān)聯(lián),這種關(guān)聯(lián)就是實質(zhì)性關(guān)聯(lián),從而使概念理解逐步精細、豐滿.

問題8請你類比平方根的符號,思考下列式子的意義并寫出結(jié)果,并說一說這里的作用:

生: 可以,只不過這個結(jié)果沒有化簡而已.

教學(xué)意圖這一符號具有雙重作用,既可以表示運算,又可以表示結(jié)果(數(shù)).而學(xué)生更習慣于它的“操作性”,總希望通過運算得到一個“確定”的結(jié)果,比如的結(jié)果2這個數(shù)對他們來說更熟悉,更確定.因此對于這一符號的理解困難主要是沒有實施相關(guān)運算的情況下,將看成一個結(jié)果或者說是一個真正的數(shù).由于這一性質(zhì)的抽象性,教師設(shè)計了三個層層遞進的問題,引導(dǎo)學(xué)生思考和中符號的區(qū)別和聯(lián)系,體悟這一符號的雙重作用.只有習慣將立方根看成相對獨立的數(shù)學(xué)對象,我們才能對概念的應(yīng)用才從知覺水平逐步提升到思維水平.

2.3 反思提升,使概念結(jié)構(gòu)化

問題9(1)請你從不同的角度談?wù)剬Α傲⒎礁钡睦斫?(2)請你說說平方根和立方根的區(qū)別和聯(lián)系.(3)學(xué)習了平方根,立方根后,你還想研究什么? 可以怎么研究?

圖1

教學(xué)意圖三個問題,層層遞進,驅(qū)動學(xué)生思維的發(fā)散和求異,引導(dǎo)學(xué)生有效反思總結(jié).在知識上,學(xué)生加深了對于立方根和平方根的理解,在方法上,體會到一般化和類比的思想,在視角上,理清了這一類方根的基本研究套路,真正實現(xiàn)概念教學(xué)由知識向思維的過渡.第一個問題引導(dǎo)學(xué)生對本節(jié)課知識的進行回顧,類比平方根,從定義,方程,運算,符號等多角度地理解立方根的概念,將零散的知識及時整合.平方根和立方根是奇次方根和偶次方根的典型代表,通過第二問題將立方根和平方根概念進行橫向比較,一方面與已有的概念建立廣泛的聯(lián)系,擴展對新概念的理解;另一方面,學(xué)生在解決當下的問題后,還能由此提出新的問題(即第三個問題),并用類似的數(shù)學(xué)方法和活動經(jīng)驗去解決,形成自己的經(jīng)驗系統(tǒng)(如圖1),實現(xiàn)概念的擴展和應(yīng)用.

3、若干反思

3.1 立足現(xiàn)實,自然引出概念

章建躍先生曾指出,對“從現(xiàn)實引入”的更全面認識,應(yīng)從數(shù)學(xué)知識的發(fā)生發(fā)展過程需要來考慮,這個“現(xiàn)實”既可以是“生活的現(xiàn)實”,也可以是“數(shù)學(xué)的現(xiàn)實”.[3]生活現(xiàn)實往往從一些實際情境引入,再抽象出數(shù)學(xué)對象,而數(shù)學(xué)現(xiàn)實則是在數(shù)學(xué)知識發(fā)展過程中自然而然提出的問題.當然,我們應(yīng)立足學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)來選擇合適的方法,以便“跳一跳能摘到桃”.上述案例的引入中,我們選擇基于“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”,將新舊概念的聯(lián)系點設(shè)計成問題鏈,引導(dǎo)學(xué)生建立起新舊知識間的聯(lián)系,使舊知識有延伸的活力、新知識有生長的根基[4].

3.2 類比舊知,自主建構(gòu)概念

建構(gòu)主義學(xué)習理論中的“以問題為中心”的探究性學(xué)習,就是學(xué)習者通過發(fā)現(xiàn)問題和解決問題而建構(gòu)知識的過程.而問題鏈是一連串具有脈絡(luò)的問題,學(xué)生需按照“發(fā)現(xiàn)問題—解決問題”這個模式循環(huán)往復(fù)的進行知識建構(gòu),旨在將課本上靜態(tài)的知識轉(zhuǎn)化為動態(tài)的思維活動.每個問題的設(shè)計不流于形式,而是實實在在地引發(fā)學(xué)習認知沖突、產(chǎn)生思維碰撞.立方根概念的建構(gòu)過程,主要利用類比和一般化的思想,在知識、方法和視角的關(guān)聯(lián)基礎(chǔ)上來設(shè)計問題鏈.知識上,兩者的定義,開立方和開平方的運算,符號表征等都是通過問題鏈類比得到;方法上,兩者都采用“觀察,舉例,歸納,總結(jié)”等,設(shè)置了探究型的問題鏈.如問題8,推動學(xué)生多層次的反復(fù)思考立方根符號的雙重作用.研究視角上,兩者都是按照“定義—開方運算—性質(zhì)—符號—運算”的思考框架進行,所以設(shè)置了遞進式的問題1—問題3: 先回顧平方根的研究框架,然后類比建構(gòu)立方根的研究框架.

3.3 重視反思,提升思維品質(zhì)

鄭毓信先生認為:“在課堂的各個環(huán)節(jié),不只是‘課尾’,我們都應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生不斷做出新的思考,包括對原先的問題與實際的解題過程作出必要的回顧與總結(jié),及我們又如何依據(jù)新的‘形勢’提出另外一些值得深入研究的問題.”[5]作為教師需明白的是,僅僅教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識是不夠的.因為在有限的時間內(nèi),學(xué)生能學(xué)到的知識、解決的問題是有限的.學(xué)生在學(xué)習知識的過程中通過不斷反思,才能獲得能力的提升與思維習慣的養(yǎng)成.立方根教學(xué)中,除了課尾明顯的反思性問題外,反思活動其實貫穿于概念學(xué)習的每一個環(huán)節(jié).因為學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問題—解決問題”的循環(huán)模式,反思是后一個環(huán)節(jié)得以產(chǎn)生并順利實施的關(guān)鍵.

本文是以問題鏈為載體開展數(shù)學(xué)概念教學(xué)的一個案例.從中可以看到問題鏈在學(xué)生概念學(xué)習中的一些價值.但這方面的研究還比較少,有待進一步深入的分析與更多的實踐探索.