廣州市增城區(qū)石灘鎮(zhèn)三江第一中學(xué)(511325) 陳桂玲

一、問題的提出

教了十幾年的初中數(shù)學(xué),我們總是發(fā)現(xiàn),某一道數(shù)學(xué)題講過了,做過了,甚至考過了,下次再做時,仍然會有三分之二學(xué)生出錯.于是初中數(shù)學(xué)教師總是很無奈地嘆聲說:“這些數(shù)學(xué)題目我已經(jīng)重點(diǎn)評講了,而且?guī)椭鷮W(xué)生找到錯誤的根源,讓學(xué)生及時改正了,為什么進(jìn)行單元測試時,至少三分之二的學(xué)生還是做錯呢? ”有的學(xué)生很冤枉地說:“當(dāng)我第一次做錯時,我就很認(rèn)真聽老師分析、講解,當(dāng)時也學(xué)會了,而且立刻改正過來了,可是不知道為什么,當(dāng)隔了一段時間再做時,我一點(diǎn)印象都沒有了,又不會了.”有的學(xué)生很煩惱地說:“做錯的數(shù)學(xué)原題,我是會做了,但如果題目更改一些條件,那我就不會做了.”學(xué)生委屈地說“我已經(jīng)很努力學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)了,而且做了大量的題目,為什么我的數(shù)學(xué)成績還是上不去呢? ”

二、原因分析

初中學(xué)生的數(shù)學(xué)成績上不去, 做錯的數(shù)學(xué)題一錯再錯,或者對數(shù)學(xué)錯題不類觸類旁通,其根源就是沒有好好地在錯題上反思,而是盲目地追求題海戰(zhàn)術(shù).這就像一個病人沒有找到病根,就亂吃藥,那只能病得更歷害.

杜威曾指出:“失敗并不是單純的失敗,也是一種教訓(xùn).”[1]錯題是一種為學(xué)習(xí)者量身定做的學(xué)習(xí)資源.真正善于思維的人,從錯題中學(xué)到的東西和從成功中學(xué)到的是相等的.特級教師王金戰(zhàn)曾告誡學(xué)生:“錯題千萬別放過.每個錯題背后都隱藏著知識的遺漏;教師和學(xué)生都需要高度重視.”[2]有一個專家也說過,“做十道題,不如做一道錯題”.

但是,收集錯題并沒有得到學(xué)生的重視,統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示:有54.2%的學(xué)生對錯題置之不理;20.7%會整理和翻看錯題;67.7%因老師不要求就不整理錯題.可見,對待錯題,學(xué)生的主動性較差.“學(xué)生對于錯題的態(tài)度受到教師的影響,教師的指導(dǎo)性沒有完全體現(xiàn)出來,對錯題的價值缺乏充分認(rèn)識.”[3]錯題沒有很好地得到學(xué)生重視原因是: 第一收集錯題困難.收集錯題要求學(xué)生把在平時學(xué)習(xí)過程中做錯的題目工工整整地抄下來,并完成地做出正確的答案,需要很多時間,可是學(xué)生每天的作業(yè)已經(jīng)很多,他們難以抽出大量的時間把錯的題目抄下來;第二不會寫錯誤的原因.在學(xué)生總結(jié)出錯原因的時候,學(xué)生也只會簡單地寫諸如“馬虎”“粗心”“沒有復(fù)習(xí)好”“試題出偏了”等這類似是而非的理由,不會真正反思自己出錯的原因;第三對錯題沒有分類整理,或者說不會按知識點(diǎn)進(jìn)行分類,導(dǎo)致錯題本利用效率不高.在這種情況下,要么怕累,抽不出時間等原因沒有收集錯題;要么收集錯題也只是形式而已,發(fā)揮不到錯題的真正價值.

三、初中數(shù)學(xué)錯題的應(yīng)用研究

即使部分學(xué)生堅(jiān)持做到“發(fā)現(xiàn)問題——?dú)w類錯集——分析錯題——反思錯題”.但錯題來源面狹,局限性大,沒有收集到很好的典型錯題,導(dǎo)致利用錯題的效果不高.

根據(jù)人工收集錯題的困難與效果不理想等情況,商家適時推出了一系列的APP,如神算子,一起作業(yè)網(wǎng)等等,學(xué)生在APP 在做數(shù)學(xué)題,然后APP 會根據(jù)學(xué)生做過的題,進(jìn)行大數(shù)據(jù)的整理、分析、歸類等,有效地建立錯題集.“大數(shù)據(jù),是指以多元形式,許多來源搜集而來的籠大數(shù)據(jù)組,能對數(shù)據(jù)組進(jìn)行加工,通過加工實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的增值.大數(shù)據(jù)是不用隨機(jī)分析法這樣的捷徑,而采用所有的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理.所以它具有大量,高速,多樣,價值真實(shí)性四個特點(diǎn).”[4]

借助這樣的APP,收集初中學(xué)生的數(shù)學(xué)錯題,具有數(shù)據(jù)題量巨大、數(shù)據(jù)類型繁多、價值密度低、處理速度快的四個特點(diǎn).

為了發(fā)揮錯題的最大用處,取得更好的學(xué)習(xí)效率,我們要把焦點(diǎn)放在通過大數(shù)據(jù)篩選出的那些高頻錯題分析研究上,從教師本身和學(xué)生兩方面入手進(jìn)行分析.對錯題進(jìn)行反思,探索行之有效,便于操作的錯題防范措施,幫助學(xué)生走出困惑,走出錯題.

(一)教師巧用錯題資料,提高教學(xué)效率

1.課堂講解,防范措施

教師根據(jù)大數(shù)據(jù)篩選出學(xué)生典型的、?？嫉腻e題,知道全班學(xué)生哪個知識點(diǎn)沒有掌握好, 然后在課前從數(shù)學(xué)知識,數(shù)學(xué)教育心理(如認(rèn)知結(jié)構(gòu),知識,經(jīng)驗(yàn),技能,態(tài)度等)方面對學(xué)生進(jìn)行錯題的成因分析.例如: 在人教版七年級數(shù)學(xué)上冊,解一元一次方程:

學(xué)生主要錯誤有:

(1)方程的右邊沒有乘以6,如3(x-2)-2(2x+3)=1;

(2)去分母時,分子沒有添加括號,如3x-2-2×2x+3=6;

(3)去括號沒有變號,如3x-6-4x+6=6.

為了避免學(xué)生做錯,教師上課前對錯題不斷地進(jìn)行針對性分析、總結(jié),在課堂授課時,教師可以有效地對易錯的知識點(diǎn)進(jìn)行加強(qiáng).教師做好了易錯題的防范措施,改進(jìn)了教學(xué)方法,從而大大提高的教學(xué)效率.

2.個對性輔導(dǎo)、錯題通關(guān)

有了大數(shù)據(jù)的支持,教師能準(zhǔn)確知道每個學(xué)生的問題所在.使個性化輔導(dǎo)成為了可能.例如: 代數(shù)式有意義時,實(shí)數(shù)x 的取值范圍是____.

學(xué)生的主要錯誤有:

(1)以為開方數(shù)不能為0,如填x/=9,x ＜9;

(2)被開方數(shù)錯誤,如填x ≥0;

(3)不等式變形掌握不扎實(shí),兩邊同時去掉負(fù)號時沒有改變不等號的方向,如填x ≥9.

教師根據(jù)學(xué)生的錯題,發(fā)現(xiàn)每個學(xué)生的問題所在.及時幫助每個學(xué)生矯正錯題, 個性化地彌補(bǔ)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識點(diǎn),這是保證每個學(xué)生在錯題通關(guān)的最為直接和有效的途徑.個性化輔導(dǎo)能大大提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

(二)學(xué)生重用錯題資料,提高學(xué)習(xí)效率

1.對錯題進(jìn)行歸因分析

利用大數(shù)據(jù),可以整理出常考的、典型的錯題,并把錯題按某個或多個知識進(jìn)行分類.例如: 分解因式2mx+6my.

學(xué)生的主要錯誤有:

(1)公因式提取不完全: 如m(2x+6y),2(mx+3my);

(3)似懂非懂.如2my.

學(xué)生在數(shù)學(xué)錯題資源中比較、歸納、反思.在這成因分析過程中,學(xué)生不但能找出“病根”,還能建構(gòu)出知識框架,彌補(bǔ)不足,升華相關(guān)的數(shù)學(xué)知識點(diǎn),總結(jié)出相關(guān)解題思路與方法,從而提高學(xué)生的思維力和解題能力,增強(qiáng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心,那么數(shù)學(xué)成績的提高就是順?biāo)浦哿?

2.錯題重做,觸類旁通

大量類似錯題的改正是數(shù)學(xué)錯題學(xué)習(xí)法最重要的環(huán)節(jié),關(guān)鍵是真正“改會”,是錘煉學(xué)生穩(wěn)定發(fā)揮能力的過程.大數(shù)據(jù)能根據(jù)學(xué)生做錯的題目,用類似的知識點(diǎn)篩選相應(yīng)的變式題,重新檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果.

例題1如圖1,在Rt△ABC 中,∠BAD = 90°, AB = AC.求證:AC2+AD2=BD2.

圖1

在圖形上求線段的關(guān)系中, 學(xué)生經(jīng)常做錯或無從入手,教師通過講解求線段的數(shù)量關(guān)系的方法: 通過作輔助線或旋轉(zhuǎn)的方法,構(gòu)造一個直角三角形,然后利用勾股定理就可以求出線段的數(shù)量關(guān)系了.

圖2

如上題的例題1, 延長CB 到E, 使BE = CD, 連接AE, 如圖2, 很容易證得△AEB△ADC, 得到AE =AD,∠DAC = ∠EAB,從而得到∠BAD = ∠EAC = 90°,所以AC2+ AE2= CE2.因?yàn)锽D = CE, 從而證得:AC2+AE2=BD2.

學(xué)生重做錯題后,再來做變式題,如2016年廣州中考數(shù)學(xué)試題的第25 題:

如圖3,點(diǎn)C 為△ABD 的外接圓上的一動點(diǎn)(點(diǎn)C 不在弧BAD上,且不與點(diǎn)B,D 重合),∠ACB =∠ABD =45°.

圖3

(1)求證: BD 是該外接圓的直徑;

(3)若△ABC 關(guān)于直線AB 的對稱圖形為△ABM,連接DM,試探究DM2,AM2,BM2三者之間滿足的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

學(xué)生通過重做錯題, 掌握求線段的數(shù)量關(guān)系的方法后, 通過作輔助線或旋轉(zhuǎn)的方法, 構(gòu)造一個直角三角形,然后利用勾股定理就可以求出線段的數(shù)量關(guān)系了, 本題的第(2)問, 延長BE, 使BE = CD, 連接AE, 就能證得△AEB△ACD, 構(gòu)造△AEC 為直角三角形, 且∠EAC = 90°, 如圖4, 再利用股定理即可證得BC+CD;對于第(3)問,將△ADM 繞點(diǎn)A 旋轉(zhuǎn)90°,得到△ABF 證得∠BMF = 90°如圖5,BM2+MF2= BF2,從而證得DM2,AM2,BM2三者之間滿足的等量關(guān)系是:DM2=2AM2+BM2.

圖4

圖5

學(xué)生通過重做錯題,多做變式的錯題.“在擴(kuò)展上深刻理解,反思到原始錯題的根源和知識點(diǎn)后,就會進(jìn)一步向解題思路、數(shù)學(xué)思維方面傾斜,從而建立了這種知識點(diǎn)與題目的正確聯(lián)系,那么數(shù)學(xué)的思想方法、基本知識和技能能得到進(jìn)一步的提升,學(xué)生對類似題目就能觸類旁通了.”[5]

如: 2018年廣州中考數(shù)學(xué)試題的第25 題

如圖6, 在四邊形ABCD 中, ∠B = 60°, ∠D = 30°,AB =BC.

(1)求∠A+∠C 的度數(shù).

(2)連接BD,探究AD,BD,CD 三者之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

(3)若AB = 1,點(diǎn)E 在四邊形ABCD 內(nèi)部運(yùn)動,且滿足AE2=BE2+CE2,求點(diǎn)E 運(yùn)動路徑的長度.

圖6

圖7

對于第(2)問,學(xué)生能將△BCD 繞點(diǎn)B 逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△BAQ,連接DQ,如圖7,∠DAQ = 90°,很容易得到AD,BD,CD 三者之間的數(shù)量關(guān)系是: AD2+CD2=BD2.

總之,學(xué)生需積極面對錯題,分析錯題,并在錯題相關(guān)的知識點(diǎn)上進(jìn)行歸納整理,隨時翻閱和總結(jié)反思,按照原題-相似題-改編題-拓展題的方式梳理,是提高數(shù)學(xué)成績和學(xué)習(xí)效益的重要捷徑.

錯題有著獨(dú)特的價值,利用大數(shù)據(jù),不斷將錯題回爐淬煉,一方面,教師把收集到的錯題資源,進(jìn)行歸因分析,然后在課堂有針對性地講解,避免學(xué)生做錯起到防范作用,提高教師的課堂效率;另一方面,學(xué)生在糾正數(shù)學(xué)錯題中,不斷地彌補(bǔ)知識點(diǎn),在變式的數(shù)學(xué)錯題上反復(fù)練習(xí),尋求不同的解題途徑與方法,并進(jìn)行不斷地總結(jié)與提煉,從而掌握掌握全面而準(zhǔn)確的分析問題,解決問題的能力.因此,在大數(shù)據(jù)時代,利用好錯題,無論在教師的有效性教學(xué),還是學(xué)生提高成績方面,都能達(dá)到事半功倍的效果.