廣東省龍門縣藍田民族中學(516800) 鄧繼承

著名的心理學家吉爾福特指出:“人的創(chuàng)造力主要依靠發(fā)散思維,它是創(chuàng)造思維的主要部分.”發(fā)散思維對問題從不同角度進行探索,從不同層面進行分析,從正反兩極進行比較,因而視野開闊,思維活躍,可以產生出大量的獨特的新思想.發(fā)散性思維的特點是思維的積極性、求異性、廣闊性、聯(lián)想性等,在數學教學中有意識地抓住這些特性進行訓練與培養(yǎng),既可提高學生的邏輯思維能力,又是提高數學教學質量的重要一環(huán).因此,在初中數學平面幾何教學中,應加強對學生進行發(fā)散思維的培養(yǎng).

一、運用命題的推廣與延伸,提高學生的發(fā)散思維.

在教學過程中,要結合實際問題,運用命題的推廣與延伸,也就是命題推廣、答案延伸;或者命題條件不變,結論開放,利用同題異構的差異性,培養(yǎng)學生觀察、聯(lián)想的綜合能力.要求學生能從觀察、已知條件中,產生一系列聯(lián)想,并從聯(lián)想的結構中得出由條件產出的結論,再從多個結論中,選擇有用的部分.運用命題的推廣與延伸,只是要求學生選擇發(fā)散性思維中有用的部分, 并且通過綜合整理使問題得到解決.這樣循環(huán)往復就能夠培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維.

下面結合一道小題談一談教學法的運用.

八年級上冊《南方新課堂》(配人教版)第17 頁習題2.如圖1, AC = DB, AB = DC, 求證:△CAB△BDC.

圖1

證明由已知,AC =DB,AB =DC,BC =CB,所以△CAB△BDC (SSS).

在教學過程中,我們可以讓命題條件不變,結論開放: 變出新題,以求達到觸類旁通的效果,從而培養(yǎng)學生的發(fā)散思維,提高學生的認知能力.

變式1如圖1,AC =DB,AB =DC,求證:∠A=∠D.

證明由已知,AC =DB,AB =DC,BC =CB,所以△CAB△BDC (SSS),所以∠A=∠D.

變式2如圖1,AC =DB,AB =DC,求證: △ABO△DCO.

證明由已知, AC = DB, AB = DC, BC = CB,所以△CAB△BDC ( SSS ), 所以∠A = ∠D, 又∠AOB = ∠DOC,AB = DC, 所以△ABO△DCO(AAS).

變式3如圖1, AC = DB, AB = DC, 求證: BO =CO.

證明由已知, AC = DB, AB = DC, BC = CB,所以△CAB△BDC ( SSS ), 所以∠A = ∠D, 又∠AOB = ∠DOC,AB = DC, 所以△ABO△DCO(AAS),所以BO =CO.

變式4如圖1,AC = DB,AB = DC,求證: △OBC是等腰三角形.

證明由已知, AC = DB, AB = DC, BC = CB,所以△CAB△BDC ( SSS ), 所以∠A = ∠D, 又∠AOB = ∠DOC,AB = DC, 所以△ABO△DCO(AAS),所以BO =CO,所以△OBC 是等腰三角形.

點評上述變式題,其實是由圖1 引導出來,條件一樣,所要求的結論各不相同.但其實都要通過上面的證明來搭橋通過.這樣的學習,要求學生能從觀察、已知條件中,產生一系列發(fā)散性聯(lián)想,并從聯(lián)想的結構中得出由條件產出的結論,再從多個結論中,選擇有用的部分.

結合八年級學生特點,在同樣的條件下,引導學生從發(fā)散性思維中收攏,擇選,歸納出有用的結論.這樣的學習,循環(huán)往復就會使得學生的發(fā)散性思維得到提高.當然,中學數學的平面幾何中,由于初中學生的年齡特點,學生思維發(fā)散的對象和方式是多種多樣的,我們還可以讓同樣的一個命題推廣、答案延伸, 在教學過程中, 不斷激發(fā)學生的發(fā)散思維,提高學生的認知能力.

命題推廣1如圖2, O 為△ABC 內一點,BO 交于AC 于E,CO 交于AB 于D, BD = CE, 且BE =CD,求證: AB =AC.

圖2

證明由已知,BD =CE,且BE= CD, BC = BC, 所以△CDB△BEC ( SSS ), 所以∠BDC = ∠CEB, 那么, ∠ADC = ∠AEB.又∠A = ∠A,BE =CD,所以△ADO△AEB(AAS),所以AB =AC.

當然,上題解法很多.參考變式題,可以有多種解法.像這樣的題目,基礎知識容量大,由淺入深地溝通了各章節(jié)之間的知識與方法的內在聯(lián)系.在平時的訓練中,多做這些題目,有利于全面系統(tǒng)地鞏固基礎知識,提高解題能力,培養(yǎng)發(fā)散思維的靈活性.

二、運用問題條件的減弱和加強,提高學生的發(fā)散思維.

人的邏輯思維能力,不是一朝一夕形成的,需要在長期反復練習的過程中逐步提高.而初中學生十幾歲時正是培養(yǎng)這種能力的最佳時期,人一生中的許多能力和習慣都是在那個時候形成并且終生難改.回到同時期數學教學上,我們可以對于同一個數學問題,引導學生積極思考,深入探索,對問題的條件多思多疑,敢于質疑,改變條件,結論不變,變出新題,會達到觸類旁通的效果,從而培養(yǎng)學生的發(fā)散思維,提高學生的認知能力.

例子求證: 等腰三角形兩底角的平分線交點到底邊的兩端點距離相等.(如圖7)

已 知: 如 圖3, 在△ABC 中,AB = AC,BD、CE 分別是∠ABC、∠ACB 的平分線,且BD、CE 相交于點O,求證: OB =OC.

圖3

證明因為AB = AC, 所以∠ABC = ∠ACB.又因為所以∠OBC =∠OCB,所以OB =OC.

例5如圖4, 在等腰三角形ABC 中,AB =AC,BD、CE 分別是中線,且交于點O,求證: OB =OC.

圖4

證明因為所以BE =CD.又因為∠ABC=∠ACB,BC 為公共邊, 所以△DCB△EBC, 所以∠DBC = ∠ECB, 所以OB =OC.

例6如圖5,在等腰△ABC 中,AB = AC,BD、CE 分別是高且交于點O,求證OB =OC.

圖5

證明在Rt△BCD,Rt△CBE 中,因 為 ∠EBC = ∠DCB, BC 為 公 共 邊, 所 以Rt△BCDRt△CBE,所以∠DBC =∠ECB,所以OB =OC.

上述例題題,其實是由圖3 引導出來,結論一樣,所要求的條件各不相同.對同一問題從不同的角度去分析,結合不同年級的知識水平,鼓勵學生以問題條件為出發(fā)點,鼓勵學生關注基礎,但不落俗套,追求盡可能與眾不同的解題思路和解題方法,有利于全面系統(tǒng)地鞏固基礎知識,提高解題能力,培養(yǎng)發(fā)散思維的靈活性

命題推廣2如圖6, 在△ABC 中, AB = AC, BD、CE 分別是∠ABC、∠ACB 的平分線, 且BD、CE 相交于點求證: ∠A=60°.

證明(略.由等腰三角形的性質,結合條件和△BEC△CDB 可得.)

圖6

三、開放條件和結論,啟發(fā)求異,培養(yǎng)學生的發(fā)散思維.

求異思維是創(chuàng)新思維的核心,是培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的關鍵.教師教學時,要啟發(fā)學生從不同的角度,不同的方向去思考問題.有目的的鼓勵學生開放題目的條件和結論,標新立異,不落俗套,追求盡可能與眾不同的解題思路和解題方法.教師還要注意引導學生將發(fā)散思維與聚合思維綜合運用,運用發(fā)散尋求更多的解決問題的方案,然后再用聚合思維在多種方案或方法中選擇出一種合理、最簡便的解決方案.

例子如圖7,已知AD 是△ABC的中線, DE⊥AB 于E, DF⊥AC 于F,且BE =CF.

圖7

求證: (1)AD 是∠BAC 的平分線;

(2)AB =AC.

證明(1)由已知,AD 是△ABC的中線, 所以BD = CD.因為DE⊥AB 于E, DF⊥AC于F, 所以∠BED = ∠CFD = 90°, 且BE = CF, 所以△DEB△DFC (SAS), 所以DE = DF, ∠BED =∠CFD, AD = AD, 所以△AED△AFD (HL), 所以∠1=∠2,所以AD 是∠BAC 的平分線.

在教學過程中,我們可以開放題目的條件,結論,啟發(fā)學生從不同的角度,不同的方向去思考問題.

變式題如圖8, DE⊥AB,DF⊥AC, 垂足分別為E、F, 請你從下面三個條件中任選出兩個作為已知條件,另一個為結論,推出一個正確的命題.①AB = AC; ②BD =CD; ③BE =CF.

圖8

明顯地,變式題是由例題變化得來.這樣有目的的鼓勵學生開放題目的條件和結論,標新立異,不落俗套,追求盡可能與眾不同的解題思路和解題方法.例如,由 ①AB = AC,②BD = CD 作為條件得到結論 ③BE = CF; 由 ③BE =CF, ②BD =CD 作為條件得到結論 ①AB =AC;由 ①AB = AC, ③BE = CF 作為條件得到結論 ②BD =CD.

這樣,開放性的鼓勵學生自由組合,自行解決問題.有效的培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新能力,鍛煉了學生的邏輯思維能力.

總的說來,一個表意完整的平面幾何題目通常由語言符號和圖形符號共同組成,在我們的感官中,視覺產生的效果是最直觀也是最容易留下深刻印象的.在初中數學的課堂教學中,一道寓意豐富,深刻、精美的畫形可能比一篇長文更受歡迎.圖像訴諸情感,而文字具有確定性和邏輯性,兩者相輔相成,作用于學生的思維邏輯生成,能夠幫助學生更加準確地理解數學學習的作用和意義.

在平面幾何的教學中,有意識地同圖異構,在同一個圖形中條件不變要求推導出多種結論;或者,在同一個圖形中條件多變要求推導出共同的結論,這樣就溝通了各種知識的內在聯(lián)系,使已學知識成系統(tǒng);同樣地,在同一個圖形中,創(chuàng)造出種種情景,即可培養(yǎng)學生的觀察、聯(lián)想習慣,又利于激發(fā)學生的學習興趣,還可幫助學生克服某種思維的定勢,豐富學生分析時的指向,提高發(fā)散思維的流暢性,從而鍛煉,培養(yǎng)了學生的發(fā)散思維能力.