宋瑞麗，李 旭，王 偉

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，南京 210023)

0 引 言

本文利用馬爾可夫調(diào)制的雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)描述B-S市場(chǎng)中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格動(dòng)態(tài)，利用馬爾可夫鏈刻畫(huà)經(jīng)濟(jì)周期中的結(jié)構(gòu)變化，通過(guò)亞式期權(quán)所滿(mǎn)足的概率密度轉(zhuǎn)移函數(shù)，采用測(cè)度變換技巧將實(shí)際概率測(cè)度變換成等價(jià)鞅測(cè)度，利用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理分別得到具有固定執(zhí)行價(jià)格的亞式看漲和看跌期權(quán)的定價(jià)公式，且可基于雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)亞式期權(quán)定價(jià)模型對(duì)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行推廣。

1 模型假設(shè)

假定在無(wú)套利金融市場(chǎng)中有一種債券和一種股票，它們的價(jià)格過(guò)程分別滿(mǎn)足如下隨機(jī)微分方程：

其中，r：=(r1，r2，…，rN)∈RN，rt：=[r，Xt]表示市場(chǎng)的利率;σ：=(σ1，σ2，…，σN)∈RN，σt：=[σ，Xt]表示股票的波動(dòng)率;μ：=(μ1，μ2，…，μN(yùn))∈RN，μt：=μ，Xt表示股票的平均回報(bào)率;·，·表示內(nèi)積均依賴(lài)于{Xt}t∈Γ的狀態(tài);是具有Markov調(diào)制的雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，存在新的等價(jià)-鞅測(cè)度Q和滿(mǎn)足

是概率測(cè)度Q下的雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，并且有

(1)

對(duì)任意0

(2)

2 具有固定執(zhí)行價(jià)格的亞式看漲、看跌期權(quán)定價(jià)公式

對(duì)于固定執(zhí)行價(jià)格的幾何平均亞式看漲期權(quán)，它的損益為

(3)

(XtYt-K)+

(4)

注意到當(dāng)前時(shí)刻是t時(shí)刻，則Xt是已知的，由式(2)可得：

e(r*(t)+Zt)

(5)

其中，

根據(jù)雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的定義及性質(zhì)可得：

由分?jǐn)?shù)型等距公式[12]可得：

其中，

那么

(6)

令ut表示幾何平均亞式看漲期權(quán)的損益在當(dāng)前時(shí)刻的貼現(xiàn)值，則由式(3)(4)可得：

(7)

(8)

2.1 具有固定執(zhí)行價(jià)格的亞式看漲期權(quán)定價(jià)公式

定理1 具有固定執(zhí)行價(jià)格的幾何平均亞式看漲期權(quán)價(jià)格為

其中，

證明根據(jù)式(6)中Zt的分布和式(8)確定ut的分布：

隨機(jī)變量ut的期望為

(9)

(10)

把式(10)代入式(9)可得：

(11)

Ct=E[ut|Gt，T]=

2.2 具有固定執(zhí)行價(jià)格的亞式看跌期權(quán)定價(jià)公式

幾何平均亞式看跌期權(quán)的損益為

(12)

定理2 具有固定執(zhí)行價(jià)格的幾何平均亞式看跌期權(quán)價(jià)格為

其中，

證明同理，由式(6)中Zt的分布和式(8)可得損益νt的條件分布：

隨機(jī)變量νt的期望為

(13)

所以將式(13)代入看跌期權(quán)的價(jià)格公式，可得：

(14)

Pt=E[vt|Gt，T]=

3 結(jié) 論

通過(guò)等價(jià)-擬鞅測(cè)度變換，在市場(chǎng)利率、股票波動(dòng)率和股票回報(bào)率均受Markov鏈調(diào)制的情形下得到了雙分?jǐn)?shù)B-S市場(chǎng)的固定價(jià)格幾何平均亞式期權(quán)定價(jià)公式，將經(jīng)典的測(cè)度變換方法與擬鞅相結(jié)合，并推廣到雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)市場(chǎng)環(huán)境。在一定程度上，相對(duì)多數(shù)只研究分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)或市場(chǎng)利率、股票波動(dòng)率和股票回報(bào)率均為常數(shù)的模型有所改進(jìn)。對(duì)于Markov鏈調(diào)制的受雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)格的亞式期權(quán)定價(jià)公式有待進(jìn)一步研究。