(晉中師范高等專科學校，山西 晉中 030600)

不定積分是“數(shù)學分析”課程中一個重要內(nèi)容，是后續(xù)知識學習的基礎。因此，熟練掌握不定積分的計算方法是十分必要的。在不定積分教學中，發(fā)現(xiàn)學生在求解不定積分時感到困惑，不知選擇哪種方法。本文結合自己的教學經(jīng)驗，介紹幾種常用的方法。

一、直接積分法

直接積分法適用于一些較簡單的不定積分，被積函數(shù)經(jīng)過恒等變形后，利用基本積分公式和積分四則運算求出不定積分，這種方法需熟練掌握基本積分公式。

=tanx-cotx+C

=x-arctanx+C

二、分部積分法

(excosx+exsinx)+C.

(excosx+exsinx)+C.

因此，當被積函數(shù)一般為兩種不同類型的函數(shù)乘積時，首先考慮采用分部積分法求積分，例如上述常用于消去積分中的反三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)。

三、換元積分法

(一)第一換元積分法(或稱湊微分法)

第一換元積分法(或稱湊微分法)，是根據(jù)一元函數(shù)的一階微分不變性的原理，轉(zhuǎn)化成求不定積分法則。它的表達式：

=G(u)+C=G[φ(x)]+C

由例5知，當被積函數(shù)為sinmxcosnx時，拆開奇次冪去湊微分.但是n和m都是偶數(shù)，需要用三角公式進行降冪，例如：

等.

(二)第二換元積分法

第二換元積分法是通過變量代換(x=φ(t))，將原積分化為新變量的積分，從而化簡原積分，其積分過程為：

=F(t)+C=F[φ-1(x)]+C

其實利用第二換元積分法，關鍵是尋找x=φ(t)，下面介紹幾種常用的代換：

1.三角代換，當被積函數(shù)含有：

以上介紹的是不定積分基本的常用的計算方法，適應性較廣。其實求解同一積分時，可能會有不同的解法，例如：

解法一：(可以采取第二換元法(三角代換))

解法二：(利用分部積分法)

故

+C

總之，無論采用哪種方法求解不定積分，最后都要把被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為積分公式表中被積函數(shù)的形式。因此，大家一定要熟悉積分公式表中被積函數(shù)的形式。并在求解不定積分過程中要善于思考、聯(lián)想和總結，做到觸類旁通。