蔣金厚

等圓知識

半徑相等的兩圓相交于P點，動圓O2以兩圓相交點p為轉(zhuǎn)軸在定圓O1平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，動圓與定圓另一相交點Q（除兩圓重合外）在動圓上的切線垂直定圓上過P點的直徑，即QN⊥PM，交點在動圓上的切線相互平行，如圖1所示，而半徑不等的相交圓無此結(jié)論。

證明：在圖1中，連接QO1、PO2、PQ，由于兩圓半徑相等，ΔPO1Q≌ΔPO2Q，∠α=∠β，所以PO1∥QO2。切線QN垂直半徑QO2，所以QN垂直PM，即交點在動圓上的切線相互平行且垂直過P點的定圓直徑PM。

粒子軌跡規(guī)律一

勻強(qiáng)磁場在圓形區(qū)域內(nèi)且垂直圓面。若帶電粒子在磁場中作圓周運動的半徑等于磁場圓的半徑，磁感強(qiáng)度、粒子質(zhì)量、電荷量及運動速率不變。

1. 粒子在圓平面內(nèi)從磁場區(qū)域圓周（圖2中實線）上P點沿各個方向垂直磁場進(jìn)入磁場，以P點為定點、磁場圓半徑大小為半徑作滾動圓，作出一系列半徑相等的圓（圖2中虛線圓），由等圓知識可知，粒子從磁場邊界射出時的方向平行且垂直過P點的磁場圓的直徑。

2. 同樣過P點作滾動圓，由等圓知識可得，粒子在圓周上不同位置沿相同方向垂直磁場進(jìn)入圓形磁場區(qū)域后發(fā)生偏轉(zhuǎn)，恰好從磁場邊界上的P點射出磁場，如圖3所示。

【例1】如圖4所示，在xoy平面內(nèi)有大量質(zhì)量為m、電量為e的電子，從坐標(biāo)原點O不斷以相同的速率v0沿不同方向平行xoy平面射入第I象限?，F(xiàn)加一垂直xoy平面向里、磁感強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場，要求這些入射電子穿過磁場都能平行于x軸且沿X軸正方向運動。求符合條件的磁場的最小面積。（不考慮電子之間的相互作用）。

解析：電子在磁場中做勻速圓周運動，半徑為R=且相等。由O點射入第I象限的所有電子中，沿y軸正方向射出的電子轉(zhuǎn)過1/4圓周，速度變?yōu)檠豿軸正方向，這條軌跡為磁場區(qū)域的上邊界。由粒子軌跡規(guī)律一可知，所有由O點射入磁場區(qū)域的電子平行x軸正方向射出，說明磁場圓的直徑在y軸上。要求磁場區(qū)域面積最小，即為1/2的磁場圓與1/4的軌跡圓的重疊部分，如圖5所示，磁場的最小面積為：

S=2（？仔R2-R2）=。

粒子軌跡規(guī)律二

勻強(qiáng)磁場分布在圓形區(qū)域外足夠大的范圍內(nèi)且垂直圓面。若帶電粒子在磁場中作圓周運動的半徑等于無場區(qū)域圓的半徑，磁感強(qiáng)度、粒子質(zhì)量、電荷量及運動速率相同。由等圓知識可知，粒子在圓周上不同位置沿相同方向垂直磁場進(jìn)入磁場，經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后匯聚于圓周上同一點P;在圓平面內(nèi)從P點沿各個方向垂直進(jìn)入磁場的粒子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后平行進(jìn)入圓形無場區(qū)域，速度方向垂直過P點的圓的直徑，如圖6所示。

【例2】圖7中坐標(biāo)原點O（0，0）處有一帶電粒子源，向y≥0一側(cè)沿xoy平面內(nèi)的各個不同方向發(fā)射帶正電的粒子，粒子的速率都是ν，質(zhì)量均為m，電荷量均為q，有人設(shè)計了一方向垂直于xoy平面，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場區(qū)域，使上述所有帶電粒子從該磁場區(qū)域的邊界射出時，均能沿x軸正方向運動。試求出此邊界線的方程，并畫出此邊界線的示意圖。（不考慮粒子之間的相互作用）。

解析：設(shè)磁場方向垂直xoy平面向里，粒子在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，由粒子軌跡規(guī)律二可知，無場區(qū)域為過原點O且直徑在y軸上的圓，沿負(fù)x軸方向射出的粒子軌跡為磁場圓邊界，如圖8所示。粒子作圓周運動的半徑R=，無磁場區(qū)域圓的半徑為R，圓心O在y軸上（0，-R）點，所以無磁場圓的方程為：x2+（y+R）2=R2;將R=代入得：x2+（y+）2=。

故磁場區(qū)域的邊界線的方程為：x2+（y+）2=，x≤0，y≤0。

若磁場方向垂直于xoy平面向外，沿負(fù)x軸方向射出的粒子軌跡為磁場圓邊界，同理可得磁場的邊界線為如圖9的半圓，磁場區(qū)域的邊界線的方程為x2+（y-R）2=R2 x≥0，y≥0。

即x2+（y-）2=，x≥0，y≥0 。

總結(jié)

勻強(qiáng)磁場分布在圓形區(qū)域內(nèi)或圓形區(qū)域外足夠大的范圍內(nèi)且垂直圓面。若帶電粒子在磁場中作圓周運動的半徑等于圓形區(qū)域的半徑，那么質(zhì)量相等、帶電荷量及運動速率相同的粒子從圓周邊界上某一點垂直磁場進(jìn)入磁場區(qū)域，則經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后平行穿出磁場;在圓周平面內(nèi)從圓周上一側(cè)不同位置同方向垂直磁場進(jìn)入磁場區(qū)域，則經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后匯聚于圓周上同一點穿出磁場。應(yīng)用這個結(jié)論，能夠較容易地解答有關(guān)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中作圓周運動的相應(yīng)問題。

責(zé)任編輯 李平安