何嘉

摘?? 要：低年級(jí)簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系教學(xué)是學(xué)生今后學(xué)習(xí)復(fù)合關(guān)系、特殊關(guān)系的基礎(chǔ)。結(jié)構(gòu)分析反映出低年級(jí)數(shù)量關(guān)系教學(xué)的實(shí)質(zhì)是直觀滲透和層次遞進(jìn)。在以往的教學(xué)過程中，數(shù)量關(guān)系教學(xué)存在機(jī)械化、混淆化和孤立化等問題。教師可以采取巧做筆記、理解題意;對(duì)比題組、判斷類型;聯(lián)系生活、注重體驗(yàn)等培養(yǎng)策略，以此提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決實(shí)際問題的能力。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)量關(guān)系;問題;策略

中圖分類號(hào)：G623.5??? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A??? 文章編號(hào)：1009-010X（2019）01-0021-04

數(shù)量關(guān)系是指從一類有共同規(guī)律的數(shù)學(xué)問題中總結(jié)出來的、揭示某些數(shù)量之間的本質(zhì)聯(lián)系，并以數(shù)量關(guān)系式來表示量與量之間的聯(lián)系。它為小學(xué)生解決同類數(shù)學(xué)問題指出方向，提供基本方法，形成策略，是一種有價(jià)值地解決問題的方式。低年級(jí)的數(shù)量關(guān)系教學(xué)主要是指簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系的教學(xué)，即掌握基本的數(shù)量關(guān)系問題的結(jié)構(gòu)，這是今后教學(xué)復(fù)合數(shù)量關(guān)系、特殊數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)。

一、 結(jié)構(gòu)分析，剖析實(shí)質(zhì)

（一）直觀滲透——兒童學(xué)習(xí)心理決定呈現(xiàn)方式

小學(xué)低年級(jí)學(xué)生的學(xué)習(xí)具有直觀性，需要借助具體的實(shí)物、操作或情境來理解新知，這就決定了數(shù)量關(guān)系的教學(xué)不是抽象的，而是具體形象的，是滲透在活動(dòng)中、情境中的。兒童的學(xué)習(xí)心理決定了數(shù)量關(guān)系的教學(xué)一般不是獨(dú)立成章，而是滲透在日常計(jì)算教學(xué)中以及相關(guān)內(nèi)容的習(xí)題編排中。這就要求教師應(yīng)結(jié)合運(yùn)算意義逐步滲透每一種基本的數(shù)量關(guān)系，創(chuàng)設(shè)豐富的、貼近學(xué)生實(shí)際生活的問題情境，采用故事、人物對(duì)話、圖畫、表格、文字等多元化的形式呈現(xiàn)情境。通過直觀滲透幫助學(xué)生打開視角、豐富表達(dá)，從而理解每個(gè)具體情境中的數(shù)量關(guān)系，最終提煉出本質(zhì)屬性，發(fā)展抽象與表達(dá)能力。

（二）層次遞進(jìn)——問題引領(lǐng)下的整體結(jié)構(gòu)認(rèn)知

數(shù)學(xué)的學(xué)科邏輯決定了數(shù)量關(guān)系的教學(xué)是螺旋上升的，新的數(shù)量關(guān)系開始教學(xué)前有大量鋪墊性知識(shí)，教學(xué)結(jié)束后進(jìn)行多次復(fù)習(xí)，逐層遞進(jìn)式學(xué)習(xí)。通過梳理一、二年級(jí)教材，發(fā)現(xiàn)低年級(jí)學(xué)生需要掌握三種基本的數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)——部總關(guān)系、份總關(guān)系和相差關(guān)系。一年級(jí)上學(xué)期在教學(xué)20以內(nèi)加減法的過程中就開始滲透部總關(guān)系的教學(xué)，一年級(jí)下學(xué)期除了鞏固部總關(guān)系的教學(xué)，還有百以內(nèi)的加減時(shí)進(jìn)行相差關(guān)系中“相差數(shù)”的教學(xué)。等到了二年級(jí)上學(xué)期，繼續(xù)進(jìn)行相差關(guān)系中“大數(shù)、小數(shù)”的教學(xué)，同時(shí)在教學(xué)表內(nèi)乘除法的過程中滲透份總關(guān)系的教學(xué)。二年級(jí)下學(xué)期開始，對(duì)這幾種基本的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行系統(tǒng)整理。在這種層次遞進(jìn)的過程中，逐步溝通內(nèi)在聯(lián)系，豐富對(duì)其內(nèi)涵的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生形成整體結(jié)構(gòu)化的認(rèn)識(shí)。

二、探本窮源，認(rèn)清問題

（一）數(shù)量關(guān)系教學(xué)機(jī)械化，欠缺靈活

由于低年級(jí)學(xué)生的抽象分析能力較弱，數(shù)量關(guān)系的教學(xué)又大多是在具體情境中進(jìn)行的，教師在教學(xué)中一般會(huì)給學(xué)生提供一些“抓手”，比如引導(dǎo)學(xué)生觀察“關(guān)鍵詞”。教師的原意是希望學(xué)生借助“抓手”分析問題，從而建立問題模型。但往往“用力過猛”，導(dǎo)致學(xué)生把一類題變成了一道題，學(xué)生并沒有真正理解數(shù)量關(guān)系，而是看到某一類關(guān)鍵詞就立刻套用某種方法解答，比如看到“一共”和“多”就用加法，看到“還?！焙汀吧佟本陀脺p法。這樣的教學(xué)過于機(jī)械化，欠缺靈活性，學(xué)生也缺少主動(dòng)分析條件與問題的過程，容易發(fā)生錯(cuò)誤。

例如，一年級(jí)下冊(cè)有這樣一道題：“我們一共領(lǐng)走44袋，還剩28袋，原來有多少袋牛奶？”。這道題學(xué)生的錯(cuò)誤率非常高，原因在于他們看到“一共”就認(rèn)為“總數(shù)”已經(jīng)知道了，用減法44-28解答。他們并沒有主動(dòng)去分析其中的數(shù)量關(guān)系，沒有發(fā)現(xiàn)“領(lǐng)走44袋”和“還剩28袋”都是“部分”，這里是要把兩個(gè)部分合起來求“總數(shù)”，要用加法計(jì)算。再比如一年級(jí)下學(xué)期學(xué)生剛開始學(xué)習(xí)“相差數(shù)”時(shí)，面對(duì)相差數(shù)的幾種基本提問方式，很容易發(fā)生錯(cuò)誤。尤其是“X比Y多多少”這樣的問題很容易讓之前看到“多”就用加法的學(xué)生出錯(cuò)。原因還是在于學(xué)生并沒有深入分析數(shù)量關(guān)系，沒有發(fā)現(xiàn)是求兩個(gè)量相差多少，要用減法計(jì)算。因此，如果教師在教學(xué)數(shù)量關(guān)系的過程中沒有引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)分析其中的關(guān)系，而只是抓住“關(guān)鍵詞”，則會(huì)導(dǎo)致學(xué)生的理解僵化、機(jī)械化，從而導(dǎo)致理解錯(cuò)誤。

（二）數(shù)量關(guān)系教學(xué)混淆化，欠缺清晰

低年級(jí)教學(xué)中常會(huì)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在單獨(dú)學(xué)習(xí)某一類數(shù)量關(guān)系時(shí)似乎掌握得不錯(cuò)，但是當(dāng)幾種基本的數(shù)量關(guān)系全部教學(xué)完畢后，學(xué)生就會(huì)開始產(chǎn)生混淆，面對(duì)具體的問題分不清到底該采用哪種計(jì)算方法。究其原因，在于之前的教學(xué)過程中，學(xué)生并沒有對(duì)這幾類基本的數(shù)量關(guān)系形成整體結(jié)構(gòu)化的清晰認(rèn)識(shí)。當(dāng)單獨(dú)教學(xué)某一類數(shù)量關(guān)系時(shí)，學(xué)生理解起來較容易，而且也會(huì)認(rèn)定接下來的習(xí)題訓(xùn)練都是這一類型的，解答時(shí)都采取這類方法，也都能維持較高的正確率。但是當(dāng)基本的數(shù)量關(guān)系全部教學(xué)完畢后，面對(duì)需要解決的問題，如果學(xué)生頭腦中對(duì)基本的數(shù)量關(guān)系沒有清晰的認(rèn)識(shí)，他們勢(shì)必會(huì)困惑到底該用哪種方法。

例如，二年級(jí)上冊(cè)有這樣兩道題：“有21盆花，送給幼兒園3個(gè)班，平均每班分得多少盆？”“有21盆花，送給幼兒園一些后還剩7盆，送給幼兒園多少盆？”。這兩道題如果分開來編排，各自出現(xiàn)在學(xué)生剛學(xué)完“份總關(guān)系”或“部總關(guān)系”之后，大多數(shù)學(xué)生都能解答正確。但是這兩道題出現(xiàn)在學(xué)生學(xué)完了幾種基本的數(shù)量關(guān)系之后，很多學(xué)生兩道題都用除法計(jì)算，從而出錯(cuò)。其中第二題巧妙設(shè)置數(shù)據(jù)，學(xué)生用21÷7也能算出結(jié)果，更增加了錯(cuò)誤率。究其原因，學(xué)生對(duì)于基本的數(shù)量關(guān)系并沒有在頭腦中形成清晰的結(jié)構(gòu)化認(rèn)識(shí)，沒有深入剖析第一題是把總數(shù)進(jìn)行平均分，要用除法，而第二題是從總數(shù)中去掉一個(gè)部分求另一個(gè)部分，要用減法。學(xué)生對(duì)“份總關(guān)系”與“部總關(guān)系”產(chǎn)生了混淆。

（三）數(shù)量關(guān)系教學(xué)孤立化，欠缺聯(lián)想

在低年級(jí)數(shù)量關(guān)系的教學(xué)中，有些數(shù)量關(guān)系學(xué)生在日常生活中經(jīng)常接觸，因此他們理解起來比較容易。而有些數(shù)量關(guān)系學(xué)生接觸不多，甚至對(duì)于個(gè)別學(xué)生來說是第一次接觸，這就與學(xué)生的生活產(chǎn)生了脫離。雖然低年級(jí)的解決問題一般都有問題情境，但學(xué)生對(duì)于自己不熟悉的數(shù)量關(guān)系并沒有切身經(jīng)歷，對(duì)于問題情境理解起來也較困難。而部分教師在教學(xué)過程中并沒有對(duì)此引起重視，在教學(xué)中沒有增強(qiáng)學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的相關(guān)設(shè)計(jì)，也沒有引導(dǎo)學(xué)生展開聯(lián)想，導(dǎo)致數(shù)量關(guān)系的教學(xué)與學(xué)生的生活孤立，增加了學(xué)生在理解上的困難。

例如，一年級(jí)下學(xué)期“人民幣”單元中涉及“付出”“用掉”“找回”三者關(guān)系，這三者關(guān)系是“部總關(guān)系”的具體化，但由于部分學(xué)生在生活中欠缺購(gòu)物付錢的經(jīng)驗(yàn)，教師在教學(xué)中也沒有增加學(xué)生類似經(jīng)驗(yàn)的設(shè)計(jì)，導(dǎo)致這三者關(guān)系的教學(xué)與學(xué)生的生活實(shí)際脫離，學(xué)生自然就理解困難。在解決類似“小明付出50元，買一個(gè)30元的熱水瓶，要找回多少元？”的過程中，由于學(xué)生不理解“付出的錢”是總數(shù)，學(xué)生往往會(huì)用加法來求“找回的錢”，從而出錯(cuò)。再比如“部總關(guān)系”的另一種具體化形式——“原有”“借出（賣出）”“還剩”，學(xué)生由于缺乏相關(guān)經(jīng)驗(yàn)，初次理解時(shí)困難較大。尤其是當(dāng)要求這三者中的任何一項(xiàng)時(shí)，學(xué)生分不清到底用加法還是減法，說到底還是分不清誰是“總數(shù)”、誰是“部分”，不知道三者間的具體關(guān)系。

三、有的放矢，尋找策略

（一）巧做筆記，理解題意，提升條件與問題的表征能力

針對(duì)數(shù)量關(guān)系教學(xué)過程中存在“機(jī)械化”這一現(xiàn)象，教師要采取相應(yīng)措施引導(dǎo)學(xué)生深入分析具體情境背后的具體數(shù)量關(guān)系，理清“條件”與“問題”，實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系教學(xué)的“靈活化”。在教學(xué)的過程中，教師可采取畫圖、簡(jiǎn)單文字記錄等輔助措施，幫助學(xué)生暴露“內(nèi)隱”的解題思路，從而實(shí)現(xiàn)分析思路的“外顯化”，發(fā)展學(xué)生的分析能力。在分析的過程中給學(xué)生以“抓手”，引導(dǎo)學(xué)生把具體的信息與抽象的數(shù)量關(guān)系對(duì)應(yīng)起來，在具體情境的基礎(chǔ)上歸納、提煉出內(nèi)在的、本質(zhì)性的內(nèi)容，從而加深表象，建立“條件”與“問題”間初步數(shù)學(xué)化的表達(dá)方式。

例如，在一年級(jí)下冊(cè)教學(xué)“求兩數(shù)相差多少的實(shí)際問題”時(shí)，學(xué)生面對(duì)“紅花片有13個(gè)，藍(lán)花片有8個(gè)，紅花片比藍(lán)花片多多少個(gè)？”這一問題情境時(shí)，說出多5個(gè)并不困難，但是他們很難說清分析的過程。這時(shí)教師就可以采取“畫圖”的策略來幫助學(xué)生理清思路，可以用“○”代替紅花片，“□”代替藍(lán)花片。

通過這種“一一對(duì)應(yīng)”的畫法，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)紅花片分成了和藍(lán)花片“同樣多”的部分和比藍(lán)花片“多出來”的部分，從13個(gè)紅花片中去掉與藍(lán)花片同樣多的8個(gè)，就是紅花片比藍(lán)花片多的部分。在這一分析過程中，教師將題目中抽象的數(shù)量關(guān)系以形象、直觀的方式表達(dá)出來，實(shí)現(xiàn)了分析思路的“外顯化”。再比如二年級(jí)上學(xué)期學(xué)習(xí)“份總關(guān)系”時(shí)，面對(duì)“7組小朋友做游戲，每組4人，一共有多少人？”這一常見問題時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生將題意簡(jiǎn)單記錄為“7組×每組4人=一共？人”，幫助學(xué)生建立初步數(shù)學(xué)化的表達(dá)方式，從而更加透徹理解“份數(shù)”“每份數(shù)”和“總數(shù)”三者關(guān)系。

（二）對(duì)比題組，判斷類型，提升關(guān)系與結(jié)構(gòu)的分析能力

針對(duì)數(shù)量關(guān)系教學(xué)過程中存在“混淆化”這一現(xiàn)象，教師要精心設(shè)計(jì)題組練習(xí)，加強(qiáng)對(duì)比不同類型的數(shù)量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確判斷出當(dāng)前問題情境下的數(shù)量關(guān)系類型，形成“類意識(shí)”，實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系教學(xué)的“清晰化”。通過題組對(duì)比，學(xué)生進(jìn)一步明確“條件”和“問題”間的異同，明晰數(shù)量關(guān)系抽象基本結(jié)構(gòu)。同時(shí)，學(xué)生在題組訓(xùn)練的過程中，通過溝通對(duì)比、綜合運(yùn)用，逐步形成對(duì)不同類型數(shù)量關(guān)系的清晰分析能力，形成整體結(jié)構(gòu)化的認(rèn)識(shí)。

例如，當(dāng)學(xué)生在二年級(jí)上學(xué)期學(xué)完基本的數(shù)量關(guān)系類型后，很容易將新學(xué)的“份總關(guān)系”與一年級(jí)時(shí)學(xué)的“部總關(guān)系”混淆。此時(shí)就可以精心設(shè)計(jì)包含這兩類數(shù)量關(guān)系的題組練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生在分析的過程中清晰類型。教師可以設(shè)計(jì)如下題組：“學(xué)校大門口種了24盆紅菊花和6盆黃菊花。（1）一共要種多少盆菊花？（2）每班分6盆，可以分給幾個(gè)班？（3）還有6盆沒有分，已經(jīng)分掉了多少盆？”。由于學(xué)生剛學(xué)完“份總關(guān)系”，對(duì)基本數(shù)量關(guān)系不清晰的學(xué)生很容易三問都用除法計(jì)算，從而出錯(cuò)。此時(shí)教師就應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生明確第（1）問是求“總數(shù)”，但是沒有涉及平均分，所以不是“份總關(guān)系”，而是“部總關(guān)系”，應(yīng)該要用加法計(jì)算。第（2）、（3）問都需要用到第（1）問計(jì)算出的總數(shù)，第（2）問涉及平均分，屬于“份總關(guān)系”，要用除法計(jì)算。第（3）問的“6盆”是還沒有分的“部分”，要求另一個(gè)“部分”，屬于“份總關(guān)系”，要用減法計(jì)算。學(xué)生經(jīng)歷了這三問的分析過程，能夠?qū)Α胺菘傟P(guān)系”和“部總關(guān)系”的基本結(jié)構(gòu)和適用條件有清晰的再認(rèn)識(shí)。

（三）聯(lián)系生活，注重體驗(yàn)，提升表象與模型的應(yīng)用能力

針對(duì)數(shù)量關(guān)系教學(xué)過程中存在“孤立化”這一現(xiàn)象，面對(duì)學(xué)生較難理解的數(shù)量關(guān)系，教師一方面在教學(xué)過程中要注重聯(lián)系學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)相關(guān)情境幫助學(xué)生理解，另一方面，教師要注重學(xué)生的實(shí)踐操作，引導(dǎo)學(xué)生去親身體驗(yàn)，感受數(shù)量關(guān)系在實(shí)際生活中的應(yīng)用。通過讓學(xué)生動(dòng)手操作感性材料，幫助學(xué)生在頭腦中建立數(shù)學(xué)知識(shí)的表象，降低理解的難度。同時(shí)，學(xué)生通過實(shí)踐操作，感悟數(shù)量之間的關(guān)系，有利于初步建立數(shù)量關(guān)系模型。

例如，學(xué)生在一年級(jí)下學(xué)期學(xué)習(xí)“元、角、分”這一單元時(shí)，如果日常生活中缺乏購(gòu)物經(jīng)驗(yàn)，那么他們理解“付出”“用掉”“找回”這三者之間的關(guān)系就會(huì)存在較大困難。在教學(xué)這一內(nèi)容前，教師可以有意識(shí)地布置學(xué)生跟隨父母進(jìn)行購(gòu)物，觀察“付錢”過程，甚至要求學(xué)生親身體驗(yàn)一次“付錢”過程。這就為學(xué)生學(xué)習(xí)這三者數(shù)量之間的關(guān)系提供了感性經(jīng)驗(yàn)。在實(shí)際教學(xué)過程中，教師可以通過課件的形式動(dòng)態(tài)展示購(gòu)物“付錢”過程，再次強(qiáng)化學(xué)生相關(guān)經(jīng)驗(yàn)。教學(xué)結(jié)束后，教師可以組織學(xué)生開展“小小商店”“跳蚤市場(chǎng)”等綜合實(shí)踐活動(dòng)。讓學(xué)生在實(shí)際的操作活動(dòng)中，經(jīng)歷讀懂商品上的標(biāo)價(jià)（用掉的錢）、自己付錢（付出的錢）、計(jì)算應(yīng)該找回的錢（找回的錢）這一實(shí)際購(gòu)物過程，從而整體感悟“付出”“用掉”“找回”三個(gè)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，掌握思想方法。同時(shí)，在這一過程中，學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)得到了充分利用，體會(huì)到數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用價(jià)值。

總之，小學(xué)階段的數(shù)量關(guān)系教學(xué)是一個(gè)長(zhǎng)期的、連貫的系統(tǒng)工程，體現(xiàn)的是一個(gè)環(huán)環(huán)相扣、缺一不可的整體綜合性設(shè)計(jì)。而低年級(jí)主要涉及的簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系，是今后學(xué)習(xí)復(fù)合關(guān)系、特殊關(guān)系的基礎(chǔ)，需要引起教師足夠地重視。在教學(xué)中，我們需要明確過去數(shù)量關(guān)系教學(xué)中容易存在的問題，并且采取相應(yīng)的培養(yǎng)策略，以提升學(xué)生運(yùn)用數(shù)量關(guān)系解決實(shí)際問題的能力。