于瑞云

【摘 要】研讀教材，精細(xì)把握知識內(nèi)涵；研究學(xué)生，精確進(jìn)行學(xué)情診斷；設(shè)計教學(xué)，精準(zhǔn)落實(shí)學(xué)科素養(yǎng)?；凇皵?shù)與形”的教學(xué)內(nèi)容，在學(xué)情診斷和內(nèi)涵精準(zhǔn)把握的基礎(chǔ)上設(shè)計教學(xué)，并在課堂上精準(zhǔn)實(shí)施，對教學(xué)進(jìn)行重構(gòu)與優(yōu)化。

【關(guān)鍵詞】精準(zhǔn)教學(xué)；前測策劃；數(shù)與形；重構(gòu)與優(yōu)化

“數(shù)形結(jié)合”是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，它能把抽象的數(shù)學(xué)語言、數(shù)量關(guān)系與直觀的幾何圖形有機(jī)聯(lián)系起來，更好地體現(xiàn)在核心素養(yǎng)下，能充分利用數(shù)形結(jié)合思想，有效解決一些實(shí)際問題。“以數(shù)輔形”和“以形助數(shù)”是“數(shù)形結(jié)合”的兩種方法，即通過抽象思維與形象思維的有機(jī)結(jié)合，可以使復(fù)雜的問題變得簡單，抽象的問題變得具象，從而達(dá)到優(yōu)化解題途徑的目的。人教版教材六上“數(shù)與形”旨在通過數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，側(cè)重于用數(shù)學(xué)的視角觀察、數(shù)學(xué)的方法思考、數(shù)學(xué)的語言表達(dá)。

基于上述思考，筆者試圖從研究學(xué)生開始，了解學(xué)生的學(xué)情，結(jié)合學(xué)生的需求，努力研讀教材，把握知識的內(nèi)涵，從而在學(xué)情診斷和內(nèi)涵精準(zhǔn)把握的基礎(chǔ)上，設(shè)計教學(xué)，并在課堂上精準(zhǔn)實(shí)施。

一、研讀教材，精細(xì)把握知識內(nèi)涵

數(shù)形結(jié)合在小學(xué)教材中并不陌生，無論哪個年級都會有所滲透?！皵?shù)與形”是人教版教材中新增加的一個數(shù)學(xué)廣角，教材編寫的意圖是通過數(shù)形的對照，利用圖形表示出數(shù)的規(guī)律，從而理解“正方形數(shù)”或“平方數(shù)”的特點(diǎn)，進(jìn)而運(yùn)用探索到的規(guī)律，解決從1開始的連續(xù)奇數(shù)的求和。就這節(jié)課，我們在集體備課時，研討了以下幾個問題。

（一）教材編排的序列中，不乏數(shù)與形，為何還要研究

翻開人教版教材，我們不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)形結(jié)合比比皆是，從一年級1～5的數(shù)的認(rèn)識，有實(shí)物圖到半抽象的三角形，最后到抽象的數(shù)字3；再看三年級在解決兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算乘法時，教材就出示的點(diǎn)子圖，通過圈和畫，理解算理，得出算法。六年級則分別用面積模型和線段模型來解釋分?jǐn)?shù)乘、除法的算理。學(xué)生從接觸數(shù)學(xué)開始，就會有意識或無意識地接觸圖形，為什么在六年級的數(shù)學(xué)廣角里面還要設(shè)置兩節(jié)關(guān)于這樣的課？

首先，“數(shù)與形”可以多角度觀察，視角不同呈現(xiàn)的算式也不同，然后結(jié)合圖來解釋為什么從1開始的連續(xù)奇數(shù)的和是一個正方形數(shù)，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)推理能力，教材提供一個“數(shù)形”研究的話題，對于一線教師來說要創(chuàng)造性地使用教材，使教學(xué)的內(nèi)容更有深度和廣度。其次，六年級是小學(xué)階段的終極，安排“數(shù)與形”的研究，可以對以前學(xué)過的知識和方法進(jìn)行回顧與總結(jié)，進(jìn)而達(dá)到融會貫通的目的。

（二）教材編排的結(jié)構(gòu)中，只有一個例，怎樣展開教學(xué)

六年級教材中“數(shù)與形”編排結(jié)構(gòu)是這樣的：結(jié)合圖形與算式，依據(jù)規(guī)律，把結(jié)果補(bǔ)充完整→觀察圖形與算式之間的關(guān)系，尋找規(guī)律→根據(jù)規(guī)律，解決從1開始的連續(xù)奇數(shù)求和。

首先是導(dǎo)入。教材只是靜態(tài)地呈現(xiàn)圖與式，教學(xué)過程是師生的動態(tài)演繹，把靜態(tài)的思想進(jìn)行動態(tài)轉(zhuǎn)換有兩種不同的導(dǎo)入方式：（1）直接出示圖，讓學(xué)生觀察，通過觀察列出不同的算式，感受算式的結(jié)果是正方形數(shù)。（2）給出從1開始的連續(xù)奇數(shù)，先計算，后觀察，接著擺一擺，用幾種不同的圖來展示，最后引出正方形數(shù)?？紤]到六年級學(xué)生的思維正處于由形象思維逐漸過渡到抽象思維的階段，學(xué)生有一定的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，為了激活學(xué)生的已有知識經(jīng)驗(yàn)，由圖引入，更能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)，同一幅圖因?yàn)橐暯遣煌?，所得到的算式也會不同，在眾多的不同里面，又能歸納出所有算式的共性，讓學(xué)生明白數(shù)能助形。由圖引入觀察，到列出算式，更接近學(xué)生，更多元，更有創(chuàng)造性。

其次是展開。教材中借助小男孩的一句話總結(jié)了從1開始的連續(xù)奇數(shù)和正好是正方形每邊數(shù)的平方。通過觀察發(fā)現(xiàn)、合作交流，最后歸納出這樣一個規(guī)律。這就需要教師設(shè)計有效的教學(xué)活動，讓學(xué)生積極參與，引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考，通過觀察、計算、推理、歸納，最后得出結(jié)論。

（三）教材編排的意圖中，只是一個點(diǎn)，哪些需要補(bǔ)充

華羅庚曾說過：數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微。也就是說，本節(jié)課既要讓學(xué)生體會“用形助數(shù)”，也要讓學(xué)生感受“用數(shù)輔形”。只用例1讓學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合的魅力，相對來說單薄了一些，那么我們需要補(bǔ)充哪些內(nèi)容呢？

補(bǔ)充一：教材的例1，從形引入，旨意是“以數(shù)助形”，那么教材缺失的是“以形輔數(shù)”，因此，如果把例2（除去極限思想）借過來，是典型的借助于圖來理解算式，把復(fù)雜的計算通過畫圖來理解，直觀、易懂而且結(jié)果簡單。

補(bǔ)充二：引發(fā)學(xué)生思考，從2開始的連續(xù)的偶數(shù)之和又可以用怎樣的一個圖來直觀表示呢？數(shù)學(xué)廣角的一個作用是滲透數(shù)學(xué)思想方法，如果學(xué)生能夠類比遷移，把研究連續(xù)奇數(shù)和的方法運(yùn)用到研究連續(xù)偶數(shù)的和，既鞏固了對數(shù)與形的認(rèn)識，又開闊了視野。

補(bǔ)充三：當(dāng)學(xué)生感受了形與數(shù)的不可分割之后，作為六年級的數(shù)學(xué)課堂，是不是應(yīng)該讓學(xué)生感受數(shù)形結(jié)合并不陌生？通過回憶那些年我們遇見過的數(shù)與形，看到數(shù)聯(lián)想形，看到形激活數(shù)，從而達(dá)到融會貫通的境界。拓寬學(xué)生的視野，增長學(xué)生的學(xué)識。

總之，教師在通過研讀教材，吃透教材的編排意圖，精細(xì)地把握教材的內(nèi)涵之外，還要適當(dāng)尋找增量，彌補(bǔ)教材的不足，這樣解讀會更精準(zhǔn)。

二、研究學(xué)生，精確進(jìn)行學(xué)情診斷

在教學(xué)中，學(xué)生是獨(dú)特的個體，有著不同的生活和學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，教師僅僅憑借主觀意愿和教學(xué)經(jīng)驗(yàn)做出的推斷，往往會造成主觀認(rèn)識與客觀現(xiàn)實(shí)之間的差距。因此，教師可以通過前測，了解學(xué)生，并分析學(xué)生的學(xué)情，真實(shí)地獲取有效信息。

（一）前測理念與測查構(gòu)想

教學(xué)活動要“以生為本”，要激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)，激活學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需要。始終以符合學(xué)生的學(xué)習(xí)水平為出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)。因此，通過前測，了解學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)水平是落實(shí)“學(xué)生主體”的需要。

教學(xué)過程是師生的互動過程，在教師與學(xué)生溝通、交流和影響的基礎(chǔ)上，讓“教師的教”與“學(xué)生的學(xué)”落到實(shí)處。通過前測，了解學(xué)生需要什么、缺少什么。因此，了解學(xué)情是課堂上師生之間“有效互動”的保障。

小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與形”是數(shù)學(xué)廣角的內(nèi)容，從思維的層次、廣度來看，學(xué)生的層次差異會更大，因此，教師提前切入，了解學(xué)生的準(zhǔn)確學(xué)習(xí)情況，進(jìn)而設(shè)計教學(xué)，使得課堂綻放生命活力。

（二）前測試題與測試意圖

學(xué)生從一年級開始就有數(shù)形結(jié)合的基礎(chǔ)，會自覺、不自覺地用上數(shù)與形，特別是解決問題時，常常通過畫圖尋找數(shù)量關(guān)系，然后找到知識的連接點(diǎn)，進(jìn)而解決問題。那么是不是有數(shù)形結(jié)合的經(jīng)驗(yàn)，就能準(zhǔn)確地掌握“數(shù)與形”的知識內(nèi)涵呢？為了使教師能更好地開展教學(xué)，我們設(shè)計了前測試題，對上課的兩個班級總共86名學(xué)生進(jìn)行了前測，試圖通過分析學(xué)生的測試結(jié)果，進(jìn)而設(shè)計出符合這兩個班學(xué)生的教學(xué)。

例1是正方形，考慮到學(xué)生在以往數(shù)正方形時會將最外面的大正方形包括進(jìn)來，為了避免產(chǎn)生歧義，我們把正方形改成了圓點(diǎn)。教材的設(shè)計意圖是讓學(xué)生能多角度觀察，從而發(fā)現(xiàn)隱藏的規(guī)律，建立從1開始的連續(xù)奇數(shù)之和與正方形數(shù)的對等關(guān)系。本題的測試意圖是：（1）學(xué)生會從哪幾個角度去觀察這個正方形，并能列出幾種不同的算式？（2）學(xué)生的視角是建立在哪個層面的？是識記、理解還是創(chuàng)造？（3）學(xué)生的操作結(jié)果，對于教學(xué)有哪些借鑒？

例2是一道等比數(shù)列，教材的編排意圖是通過不斷地逼近，最后從有限走向無限。那么放在這里測試的目的是：（1）給出一個算式，學(xué)生能從幾種不同的圖中找到結(jié)果（教材中給出了面積模型和線段模型的圖），能不能達(dá)到一式多圖的效果？（2）計算與畫圖正確有沒有正關(guān)聯(lián)？（3）學(xué)生的測試結(jié)果，對于教學(xué)有哪些啟示？

設(shè)計前測試題是了解學(xué)生的前提，它可以根據(jù)教師教學(xué)的需要，或設(shè)計測試學(xué)生知識掌握情況的題目，或設(shè)計測試能力發(fā)展的題目，抑或設(shè)計了解學(xué)生心理特征的題目……本次前測側(cè)重于了解學(xué)生的能力，數(shù)學(xué)廣角注重培養(yǎng)學(xué)生的思想方法，這就要求學(xué)生要有諸多知識經(jīng)驗(yàn)、能力水平的支撐。

（三）測試結(jié)果與學(xué)情診斷

前測試題的第一題是：下圖中一共有幾個小圓點(diǎn)，請你圈一圈，并寫出算式。給出三個圖，也就是學(xué)生可以有三種不同的圈法，通過整理，學(xué)生有如下幾種情況：

根據(jù)學(xué)生的畫法進(jìn)行歸類，把5個5個圈和1個1個圈的，剛好被25整除的這一類看作是乘法的角度，把幾個幾個圈之后有余數(shù)的歸為一類，稱為余數(shù)的角度，余下三種畫法是固定的。通過統(tǒng)計每一種畫法的人數(shù)和百分比如下：

從前測數(shù)據(jù)可以看出，絕大多數(shù)學(xué)生至少能找到一種圈法，也就是從乘法的角度去觀察這個正方形的點(diǎn)子圖，5×5=25是清晰的，教學(xué)過程中只要強(qiáng)化一下，這個平方數(shù)也叫作正方形數(shù)，有57位學(xué)生至少能從兩種角度去觀察這個圖，并且列出兩種以上的算式。說明學(xué)生有這樣的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，從倍的認(rèn)識、乘法的認(rèn)識以及有余數(shù)的除法，都可以切入到對這幅圖的理解中。等差數(shù)列是一種獨(dú)特的視角，不管是斜著看還是“L”形看，在之前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是沒有出現(xiàn)過的，有39.5%的學(xué)生這樣表達(dá)，可見學(xué)生的學(xué)習(xí)能力是強(qiáng)的。那么在數(shù)學(xué)廣角里，它是對三大知識領(lǐng)域的重要補(bǔ)充，是數(shù)學(xué)基本思想的重要載體，有部分學(xué)生能從多角度去觀察，發(fā)現(xiàn)圖與式之間的關(guān)系，我們可以借助這些學(xué)生，輻射到整個班級，也就是說等差數(shù)列求和與正方形數(shù)的關(guān)系，學(xué)生是能夠發(fā)現(xiàn)并推廣的。為了讓40%的學(xué)生不停留在例1上面，教師可以引發(fā)學(xué)生思考：為什么首項(xiàng)是1，公差是2的等差數(shù)列之和就是一個正方形數(shù)？可以讓這部分思維活躍的學(xué)生先思考，可以討論，也可以借助圖形自己研究分析。通過前測，我們可以明確課堂教學(xué)時例1的教學(xué)模式，讓40%的學(xué)生帶領(lǐng)大家一起研究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，解釋規(guī)律，最后應(yīng)用規(guī)律。

前測試題的第二題是：[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]=（ ），學(xué)生在五年級學(xué)過“異分母分?jǐn)?shù)加減法”，結(jié)果正確的有74人，結(jié)果大于1的有3人，結(jié)果小于1，但是做錯的有7人，具體統(tǒng)計的百分比如下圖。

從前測數(shù)據(jù)可以看出86.1%的學(xué)生可以準(zhǔn)確計算，同時也發(fā)現(xiàn)計算正確的學(xué)生，圖示也正確，錯誤的學(xué)生除了圖示錯誤以外，通分后，分子相加時出錯。通過前測學(xué)生可以感受到計算的繁雜，接著用圖形來解釋數(shù)直觀，從中體會到畫圖找結(jié)果簡便。另外，學(xué)生還能開闊眼界，不僅可以是長方形的圖，也可以是圓形的圖，還可以是線段圖（因?yàn)閷W(xué)生在前測中，只出現(xiàn)長方形的圖）。

綜上所述，對于本班的學(xué)生來說，例1和例2這樣的數(shù)形結(jié)合有一定的基礎(chǔ)，教師除了引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)與形相互轉(zhuǎn)換的方法思考問題以外，還要讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的有趣。

三、設(shè)計教學(xué)，精準(zhǔn)落實(shí)學(xué)科素養(yǎng)

有效整合教材，搜集優(yōu)質(zhì)的學(xué)習(xí)材料，精心設(shè)計教學(xué)板塊，并層層深入，可以精準(zhǔn)落實(shí)學(xué)科素養(yǎng)，使得課堂教學(xué)效益最大化。

（一）一圖多式，溝通聯(lián)系，解釋應(yīng)用

圖形以直觀、形象吸引視覺，借助數(shù)不僅能詮釋形的價值，還能突出形背后隱藏的特征和規(guī)律，因此多角度地觀察形，同時列出算式，付諸形更多的價值。

【案例1】

教師出示一組圖，提問：同學(xué)們，這組圖用不同的視角進(jìn)行觀察，你能看出哪些數(shù)？（見圖1）

師：觀察這些數(shù)，哪里變了？哪里沒有變？

生：算式的形式變化了，但是結(jié)果都是正方形數(shù)。

師：你能從下面的算式里找到正方形的邊長嗎？

生：從1開始連續(xù)奇數(shù)的個數(shù)就是正方形的邊數(shù)。

生：像拱橋的這組數(shù)，最大的那個數(shù)就是正方形的邊長。

師：那么1+3+5+7+9+11+13和1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1，你能想到怎樣的形？

……

師：從1開始的連續(xù)的奇數(shù)之和是正方形數(shù)，那么你猜猜連續(xù)的偶數(shù)又會是怎樣的圖形呢？

接著教師出示另一幅圖，讓學(xué)生試著用數(shù)來解釋圖。

學(xué)生由圖引出算式，尋找算式與圖隱藏的規(guī)律，并且運(yùn)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題，同時又從連續(xù)的奇數(shù)類比到連續(xù)的偶數(shù)，打破慣性思維，達(dá)到化隱為顯、化難為易、拓寬思維的目的。

（二）一式多圖，化繁為簡，開拓思維

數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究的兩大板塊，在解決一些抽象的、復(fù)雜的問題時，常常借助圖形的形象與直觀來揭示復(fù)雜、抽象的數(shù)學(xué)問題，從而達(dá)到數(shù)上構(gòu)形、形中覓數(shù)，使復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題直觀化，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、提高學(xué)生的解題能力。

【案例2】轉(zhuǎn)承案例1

師：剛才一幅圖可以讓我們看出三個不同的算式，那么現(xiàn)在的算式，又能讓你想到哪些圖形呢？

出示[12]+[14]+[18]+[116]+[132]+[164]，學(xué)生獨(dú)立思考。

學(xué)生最先得出的是正方形的圖，在教師的引導(dǎo)點(diǎn)撥后，就有不少學(xué)生用線段圖和其他面積圖來表示。

師：通過畫圖，你們能不能看出這個算式的結(jié)果是多少？

生：只要1減去最后一個分?jǐn)?shù)就可以了。

通過畫圖學(xué)生直觀地看出最后的結(jié)果，計算簡捷，正確率高。同時也理解同一個算式可以用不同的圖形來表示，激活已有經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生在對圖的解釋中驚嘆圖的魅力，數(shù)的微妙，同時培養(yǎng)了求異思維。

（三）數(shù)形互譯，融會貫通，提高素養(yǎng)

數(shù)中有形，形中有數(shù)，數(shù)形互譯，事半功倍。在教學(xué)中，既要抓住圖形的直觀分析，又要注重數(shù)據(jù)的邏輯推理，用形的直觀來闡述數(shù)的抽象，以數(shù)的精準(zhǔn)來反映形的本質(zhì)。六年級的學(xué)生已經(jīng)清楚數(shù)、形的密切聯(lián)系，就要創(chuàng)造機(jī)會，由數(shù)聯(lián)想到形，由形溝通到數(shù)，在數(shù)與形中游刃有余。

【案例3】轉(zhuǎn)承案例2

師：其實(shí)在小學(xué)階段，對于數(shù)形結(jié)合我們并不陌生，讓我們一起去看看?？吹竭@幅圖，你會想到什么？

生：求平均數(shù)時，取一個基準(zhǔn)數(shù)。

師：那是以誰為基準(zhǔn)？

生：以93為基準(zhǔn)。

師：你能用圖中的方法求出平均數(shù)嗎？

生列出算式：93+（2+1）÷8=93.375（分）。

師：現(xiàn)在老師呈現(xiàn)一個算式（1+5）×5÷2=15，你能想起什么？

生：梯形面積計算。

生：等差數(shù)列求和。

師：結(jié)合他們說的，你想到了什么圖形？

根據(jù)學(xué)生的回答，教師出示生活中堆木頭的圖（見下圖）。

師：你還能想起什么？

在學(xué)生的已有知識被激活的時候，教師呈現(xiàn)一些學(xué)生曾經(jīng)接觸過的或者未來要遇見的數(shù)與形結(jié)合的內(nèi)容，讓學(xué)生感受數(shù)形相融。

通過回顧與展望，總結(jié)與反思，教師讓學(xué)生嘗試抓住知識本質(zhì)，溝通知識，尋求共性，以達(dá)到融會貫通的目的。在享受數(shù)學(xué)奧秘的過程中，拓寬學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的素養(yǎng)。

總之，“數(shù)與形”精準(zhǔn)教學(xué)的重構(gòu)與優(yōu)化，是教師基于學(xué)情、教材并融合前測量的一種精準(zhǔn)化教學(xué)的探索，有利于教師在緊扣學(xué)情的前提下，整合科學(xué)、合理的教學(xué)方法，提高學(xué)生的參與興趣，提升課堂教學(xué)質(zhì)量。同時，這也是檢驗(yàn)教師從始至終的教學(xué)擔(dān)當(dāng)與敬業(yè)態(tài)度的標(biāo)準(zhǔn)。每一個課例都有其獨(dú)特的魅力，是我們探索精準(zhǔn)課堂教學(xué)的有效途徑。當(dāng)教師走進(jìn)課例研究的深處，研讀教材、診斷學(xué)情、精準(zhǔn)實(shí)施課堂教學(xué)，那么其對教育教學(xué)的理解就有了質(zhì)的飛躍，課堂教學(xué)之路就豁然開朗。

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（浙江省杭州市富陽永興小學(xué) 311400）