邵珠利

【摘 要】畫長方形解決問題雖然不像畫線段圖那樣常用，但它確實能為解決特定數學問題提供有益幫助，能夠提升學生分析和解決問題的策略與能力，為學生后續(xù)發(fā)展起到積極促進作用。通過對人教版教材中有關畫長方形解決問題內容進行梳理，開發(fā)設計了一節(jié)畫長方形解決問題的拓展課，試圖為學生打開解決問題策略的另一扇窗，同時根據課堂實際情況，提出一些關于長方形面積教學及畫長方形解決問題教學的思考。

【關鍵詞】幾何直觀；長方形；解決問題

通過畫長方形解決問題的學習為學生打開解決問題策略的一扇窗。于是筆者想到在四年級上學期教學了單價×數量=總價、速度×時間=路程這兩個數量關系式后，設計“畫長方形解決問題”，將不具有“長方形元素1”的實際問題中的數量關系與長方形面積建立關聯，進而通過畫長方形，借助幾何直觀，助推意義理解，幫助學生有效分析、解決問題。

一、課例回放：圍繞主題情境，自主構建生成

（一）課前互動，營造氛圍

介紹 ×× 小學及區(qū)藝術節(jié)舉行的情況。

【設計意圖】區(qū)藝術節(jié)是本節(jié)課的主情境，本節(jié)課主要圍繞在區(qū)藝術節(jié)中遇到的實際問題而展開研究。教師介紹既能讓學生快速了解 ×× 學校，又為本課學習渲染了氛圍。

（二）對比關聯，初步感知

1.畫圖分析，列式解答

2.對比分析，感知模型

（1）四圖對比，建立關聯

師：這幾位學生雖然畫的圖形不一樣，但算式都相同，都是75÷5=15（排），20×15=300（人）。

師：在這幾幅圖中，你更喜歡哪一幅，為什么？小組內交流想法。

生：我們組喜歡第④幅圖。因為它比較簡潔、比較清楚。

生：我們組也喜歡第④幅圖。大家看，雖然第①幅圖比較簡潔，但是不能完整表示所有信息；第②幅圖雖然比較具體，但太麻煩了；第③幅圖雖然比前兩幅圖清楚，但還是有點麻煩；只有第④幅圖比較具體，能表示出所有信息，而且比較簡潔。所以我們組也喜歡第④幅圖。

師：這四幅圖之間有什么聯系呢？

生：第①幅圖表示的就是第②③④幅圖中一排的情況。

生：第②幅圖和第③幅圖的想法其實是一樣的，都是先表示出每排的人數，再表示排數，因為不知道具體的排數，所以兩位同學都加上了省略號。最后都在剛才的基礎上表示出每排增加5人，就增加75人。

生：第②幅圖、第③幅圖簡化后就是第④幅圖。每排的人數就是長方形的長；排數就是長方形的寬；總人數就是長方形的面積。

師：你們這個發(fā)現太棒了，我要把它畫出來并記錄下來。（師在黑板上畫長方形，并進一步規(guī)范畫法，明確要在圖中既表示出“已知信息”，還要表示出“所求問題”）

（2）拓展聯想，感知模型

師：我們知道長方形的面積是長與寬的積。通過剛才的分析，我們發(fā)現，長方形的面積還可以表示誰與誰的積？

生：每排人數與排數的積。

師：想一想，長方形的面積還可以表示誰與誰的積？

生：長方形的面積還可以表示數量與單價的積。

師：你的意思就是長表示單價、寬表示數量，面積就表示總價。

生：長方形的面積還可以表示速度、時間的積。

師：你的意思就是長表示速度、寬表示時間，面積就表示路程……

師：觀察這些數量關系，你有什么發(fā)現？

生：它們都表示兩個數的積。

師：是的，一般情況下，當表示兩個量之積的數量關系時，畫長方形更直觀，更便于幫助我們分析解答問題。但在畫長方形時，我們一定要明確長表示什么、寬表示什么。（隨著學生的回答，適時生成板書內容，見右圖）

【設計意圖】學生對畫圖并不陌生，并且也比較習慣畫實物圖、示意圖或線段圖來分析解決問題。此題信息中沒有“長方形元素”，自然不存在要求學生畫長方形的暗示；另外筆者之所以沒有強調要畫長方形，目的就是要充分暴露學生的原有認知。通過對四幅圖的對比分析，學生充分感知了長方形圖的特點及畫法，并初步感受到當表示兩量之積的數量關系時畫長方形更直觀、形象。畫長方形幫助分析解決問題水到渠成。但畫圖的時候一定要明確長表示什么、寬表示什么、面積表示什么。

（三）例1變式，對比畫法

師：同學們，剛才我們不知道排數，解決了這個問題?，F在每排的人數也不知道，但是知道信息：如果增加3排，就要增加60人。其他條件不變，你還會解答這個問題嗎？

師：這兩位同學畫的圖形不一樣，能看懂這兩幅圖表示的意思嗎？

生：第一個同學分開畫兩幅圖，分析起來比較方便；第二位同學合在一起只畫一幅圖，更加簡潔。

師：我們可以像第一位同學這樣分開畫兩幅圖，也可以合起來只畫一幅圖，都能很好地幫助我們分析問題。

師：觀察圖形，解答這個問題的關鍵是什么？如何列式？

生：關鍵就是要求出每排的人數和排數，即求出長方形的長和寬。根據學生的回答課件動態(tài)逐條呈現下圖內容。

[60÷3=20（人）——每排人數

75÷5=15（排）——排數

20×15=300（人）——總人數]

【設計意圖】例1是一個量變化，畫長方形圖進行分析；而例2是在例1的基礎上，兩個量都變化，畫長方形圖進行分析。當兩個量都變化時，可以只畫一幅圖，比較簡潔；也可以畫兩幅圖，分析起來比較清楚。但不論如何，關鍵就是要明確長表示什么，寬表示什么，面積表示什么。

（四）課堂小結，明確關鍵

師：通過這節(jié)課的學習，你有什么新的收獲？（根據學生概括適時生成板書）

師：你認為畫長方形解決問題的關鍵是什么？

生：關鍵是明確長、寬、面積所代表的量。

【設計意圖】通過對例1和例2的回顧梳理，進一步明確畫長方形解決問題的關鍵，掌握畫長方形圖的方法與技巧。

（五）圖形變式，綜合運用

師：接下來藝術節(jié)要進行合唱比賽，老師計劃給合唱隊的學生購買一批上衣。集團校長去詢問情況，兩位老師是這樣說的：

我去詢問情況，兩位老師又是這樣說的：

你們能幫校長和我解答這兩個問題嗎？

學生獨立解答完成后，反饋交流重點如下：

第1題強調長表示什么、寬表示什么、“降價”怎么畫。

第2題強調對比分析（見下圖）：將畫成“一增一減”（圖形符合題目要求）與“兩增”（圖形不符合題目要求）的圖形進行對比分析，為什么圖形不同，但得數相同？

【設計意圖】試一試1和試一試2的情境與例1和例2情境不同，研究的是單價、數量與總價的數量關系。另外，畫圖方法也不相同，試一試1是“一減”的情況、試一試2是“一增一減”的情況。

通過試一試1的練習，學生明確增加的時候向外畫，而減少的時候要向內畫。通過試一試2正確與錯誤的兩幅圖的對比分析，學生進一步明確在畫圖的時候要根據題目信息畫出正確的圖形。此題通過兩幅圖的分析所得到的算式都是正確的，其原因在于“每件降價5元，就能節(jié)省100元”和“每件漲價5元，就要多付100元”，雖然畫法不同，但是100÷5=20（元），表示的都是這件衣服的單價，所以即使圖形畫錯了，但結果還是正確的。

通過變換情境及畫圖方式，教師進一步培養(yǎng)學生據題畫圖并依圖析題的意識與能力。

（六）溝通模型，積累經驗

師：（同屏呈現）我們今天研究了一增、兩增、一減、一增一減四種情況，但不論是哪種情況我們都必須事先明確長表示什么，寬表示什么，面積表示什么。

【設計意圖】隨著講解與回顧，逐個呈現今天所研究的每種情況，最后同屏呈現這四種情況。通過同屏對比，對今天所研究的四種模型進行整體感知，同時尋求共性，即畫長方形解決問題的關鍵就是要明確長表示什么，寬表示什么，面積表示什么。（最后一張PPT呈現這個內容）同時使學生進一步感知對于研究兩量之積關系的題目畫長方形解決問題更直觀、形象，便于分析解決。

二、課例反思 ：借助幾何直觀，助推意義理解

（一）創(chuàng)設優(yōu)質情境，激活原有認知

在試教時，所創(chuàng)設的情境具有“長方形元素”，所以學生自然能想到用畫長方形圖進行分析，看似非常圓滿，但實際學生是在畫長方形解決長方形本身的問題，意義不大。思前想后，到底什么情境更有利于學生自主建構畫長方形解決問題的認知？筆者想到了隊列問題，這是學生非常熟悉的情境。隊列問題本身存在長方形的影子，但它又不同于長方形花壇、長方形魚池等情境，筆者稱其為不具有“長方形元素”的情境，這對學生來說具有挑戰(zhàn)性。學生最初畫的線段圖、圓圈圖、簡化圓圈圖等都是學生對于解答隊列問題積累的原有學習經驗的有效提取，通過對不同圖形的對比分析，不斷明晰畫長方形解決問題的優(yōu)越性，由此，用畫長方形解決兩量之積數量關系的問題也就達成了共識。

（二）巧設關聯問題，保持探究興趣

學生是否能夠進行自主學習、自主學習投入程度如何主要取決于教師設計的問題優(yōu)質與否。本課中圍繞藝術節(jié)參加隊列表演的人數、合唱隊購買服裝等實際問題展開探究，從例1變式到例2，從畫“一邊增加”“兩邊增加”的長方形圖到畫“一邊減少”“一邊增加、一邊減少”的長方形圖，學生始終保持較高的探究熱情。問題情境看似不變，但問題本身又著實發(fā)生了變化；圖形看似相同，但的確又不相同，但不相同之中又有相同之處。一切都給學生以魔力，探究其中，其樂無窮。

（三）加強對比分析， 感悟畫圖關鍵

“畫長方形解決問題”從“一增”“兩增”到“一減”“一增一減”，圖式在不斷發(fā)生變化。在解決這些問題時，學生不但要掌握長方形圖的畫法，更應明確畫長方形解決問題的關鍵就是要先確定長表示什么，寬表示什么，面積表示什么。因此筆者創(chuàng)設多次對比分析的學習活動，增強學生對這一關鍵問題的感悟，不斷積累學習活動經驗。

（四）滲透幾何直觀，積累活動經驗

毫無疑問，畫長方形是解決問題的一種有效策略。在解決平均數問題、分數乘法問題，尤其是解決一些稍復雜的兩量之積數量關系的問題時，畫長方形圖往往會使問題變得簡單易懂。

對于解決兩積數量關系的問題，畫長方形圖更加直觀、形象，有助于分析數量關系，促進學生對題意的有效理解，這彰顯了數形結合的魅力。形使數更直觀，解題更加有效，課堂更加精彩，在不斷畫圖分析的過程中，經驗積累也更加到位。

三、課例延展：著眼課程開發(fā)，有效實施教學

本課例作為一次解決問題策略教學的大膽嘗試雖然總體比較成功，但從課堂教學實際情況來看，學生對于長方形面積的深入理解，以及據題畫圖、依圖析題等方面仍有進一步探究的空間，下面也談一點不成熟的思考。

（一）對于“長×寬=面積”的理解不能僅停留在公式層面

如下圖所示，教材編排的內容是通過拼擺操作，發(fā)現規(guī)律，探索得出長方形面積的計算方法。但教材中所涉及的練習只是情境不同，其實都是已知長、寬比較簡單的計算長方形面積的內容，屬于對公式的直接運用層面。

1.推導長方形的面積要重點關注理解“幾個幾”

在學生拼擺推導的時候，要重點引導學生理解“每行擺5個，擺了3行”，即3個5；或者“每列3個，擺了5列”，即5個3。只有學生頭腦中建立了長方形的面積就是“幾個幾”的認知，學生才容易理解：如果長表示單價30元，寬就可以表示數量5件，即5個30元，面積就是總價150元；或者長表示每排20人，寬就可以表示有15排，即15個20，面積就是總人數300人。只有這樣，學生才能真正將數量關系與長方形面積建立關聯，理解才能更加到位。

2.要拓展對于兩數求積算式意義理解的認知

學生在三下年級學習了“長方形面積”之后，教師可以有意設計“看式說事”練習。以25×12為例說明操作方法。

（1）看到這個算式，你能想到哪個圖形？請你試著把它畫出來。（學生畫了一個長25厘米、寬12厘米的長方形）

（2）如果沿著長擺邊長為“1”的小正方形，可以擺多少個？可以擺幾排？（重點促進學生對“幾個幾”的理解）

（3）25×12這個算式，可能還講了一件什么事？

生：每排25位學生，12排一共有多少位學生？

生：每個書包25元，買12個書包要多少錢？

……

（4）教師課件演示用小正方形換學生、用小正方形換25元這樣的操作。從而拓展了學生對25×12這個算式實際意義的理解，也拓展了學生對長方形面積的深入理解。

（5）變式算式為25×（10+2），看了這個算式你能想到哪個圖形？試著畫一畫。

如果學生能畫出右圖這樣的圖形，說明學生對于長方形的面積與算式之間真正建立起了關聯，此時教師再引導學生理解算式的實際意義，就會進一步深化學生對于長方形面積的理解。

（二）可以將畫長方形解決問題作為補充課程分段實施教學

根據本次課例嘗試情況，筆者建議分三段實施教學，安排如下。

1.安排在三下學習了長方形面積之后

當學生學習了長方形面積計算，并能夠比較熟練地解決已知長、寬、面積的任何兩個量求第三個量的問題的基礎上，設計第一次學習。本次學習主要是畫長方形圖解決長方形本身的問題。可設計這樣的問題：一個長方形花壇，長8米。如果長增加2米，面積就增加6平方米。原來這個花壇的面積是多少平方米？

通過畫長方形解答這樣的問題，教師強調在畫圖時要表示出“已知信息”與“所求問題”，幫助學生初步積累據題畫圖以及依圖析題的經驗。

2.安排在四上學習了單價×數量=總價、速度×時間=路程兩個數量關系之后

這個內容的編排類似于本課例所講的內容。即重點研究不具有“長方形元素”的內容如何通過畫長方形圖解答的問題。因為有了第一段的畫圖經驗，所以在第二段的學習中重點解決遇到一個表示兩量之積的問題時，首先要明確長表示什么，寬表示什么，面積表示什么。然后再利用在第一段學習到的畫圖經驗據題畫圖、依圖析題。進而將不具有“長方形元素”的內容與長方形面積之間建立關聯，促進學生對長方形面積的深入理解。

3.安排在五下“分數的加法和減法”單元的“喝牛奶問題”之后

五下的“喝牛奶問題”雖然也是通過畫長方形圖分析解答的，但該內容其實并不是筆者所要研究的畫長方形解決問題的范疇，因為它不涉及要明確長、寬、面積所表示的量，就是用長方形表示這杯牛奶。

之所以安排在這個內容之后，就是使學生感覺到畫長方形能解決像“喝牛奶”這樣的稍復雜問題，同時希望在此基礎上進一步拓寬學生的視野，因此所涉及的問題要比第二段的再略微復雜和多樣一些，讓學生進一步感受畫長方形解決稍復雜問題的優(yōu)越性。比如計算676×678-675×679，具體分析說明如下。

如下圖，用長方形ABCD表示676×678的積。長AB表示678，寬AD表示676。長增加1，寬減少1，可得長方形AEFG，即AE=679，AG=675。從圖中可看出676×678-675×679的差其實就是長方形ABCD與長方形AEFG的面積差，因為它們有公共的長方形ABHG，因此，差就是長方形GHCD與長方形BEFH的面積差。所以676×678-675×679=678×1

-675×1=3。

參考文獻：

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[3]陳麗.對高效課堂與課堂高效的理解與實踐[J].文學教育，2010（6）.

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