張漢清　周芳

[摘 要]為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)航天器軌道理論的主動性，深化對軌道力學(xué)新概念的理解和掌握，文章基于軌道力學(xué)課程的領(lǐng)域特征與內(nèi)容特點(diǎn)，探究了科學(xué)計算軟件Mathematica對該課程學(xué)習(xí)的巨大助力。Mathematica軟件以其先進(jìn)的可視化和交互功能，為學(xué)生學(xué)習(xí)航天領(lǐng)域課程開辟了新的途徑。將Mathematica融入教學(xué)步驟，可以培養(yǎng)學(xué)生主動探究、積極動手、問題導(dǎo)向、潛心鉆研的學(xué)習(xí)習(xí)慣，并保證教學(xué)過程的每一步都及時進(jìn)行實(shí)例仿真和動態(tài)演示，使學(xué)生在加深課堂印象的同時，建立對新概念的正確直覺，形成對知識真正的個性化理解，獲得對該學(xué)科的積極體驗(yàn)與情感。

[關(guān)鍵詞]Mathematica； 軌道力學(xué)；數(shù)值仿真；交互體驗(yàn)

[中圖分類號] G642 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 2095-3437（2019）05-0107-03

航天器軌道力學(xué)是我校航天學(xué)院本科生的一門重要專業(yè)基礎(chǔ)課，也是航天測控、航天器應(yīng)用等領(lǐng)域需要了解與掌握的基礎(chǔ)課程。該課程主要講授二體問題的運(yùn)動方程、軌道根數(shù)及其關(guān)系、星地空間幾何轉(zhuǎn)換、受攝運(yùn)動、軌道控制和星座設(shè)計等內(nèi)容。在當(dāng)前軌道力學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，一個主流的趨勢便是采用虛擬仿真和可視化的方法去研究、分析復(fù)雜的軌道力學(xué)問題，獲得對關(guān)鍵問題的深刻見解，催生極具創(chuàng)新性的全新思路。因此在本學(xué)科專業(yè)的教學(xué)實(shí)踐中，仿真實(shí)驗(yàn)、實(shí)際操作的地位更加重要，脫離了這些教學(xué)條件，便會嚴(yán)重制約學(xué)生對當(dāng)今航天技術(shù)知識的掌握程度。為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性，筆者所在課程組嘗試了以 Mathematica 環(huán)境為教學(xué)平臺，對已有教材中的所選內(nèi)容進(jìn)行深度加工和處理，加大可操作性實(shí)例的比例，增加情境感較強(qiáng)的典型例題。同時，注重知識點(diǎn)的可應(yīng)用性和知識范圍的廣度。在以上背景下，我們充分利用Mathematica科學(xué)計算軟件所集成的多種現(xiàn)代化科學(xué)技術(shù)手段，探索和實(shí)踐可視化教學(xué)方法在航天器軌道力學(xué)專業(yè)教學(xué)中的嶄新應(yīng)用，構(gòu)建航天器軌道理論的仿真教學(xué)環(huán)境和交互式CAI課件，以更加立體直觀的方式呈現(xiàn)課程的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新思維能力。

一、Mathematica簡介

Mathematica是目前世界上應(yīng)用廣泛的軟件計算系統(tǒng)。該軟件博采眾長，擁有一套完整、簡單易學(xué)的交互式可視化操作方式。作為把計算機(jī)、數(shù)學(xué)建模、數(shù)值計算、數(shù)據(jù)處理和實(shí)際問題有機(jī)結(jié)合的一種高效工具，它開辟了聯(lián)系實(shí)際問題進(jìn)行科學(xué)計算的途徑。目前不少大學(xué)將Mathematica作為理工科學(xué)生入校必修的計算機(jī)課程之一，同時，Mathematica也是數(shù)學(xué)建模和仿真實(shí)驗(yàn)課程最常用最經(jīng)典的工具。Mathematica給幾乎所有的科學(xué)研究專業(yè)領(lǐng)域提供了強(qiáng)有力的支持，因此當(dāng)前迫切需要緊跟前沿趨勢。在本科生中開設(shè)以Mathematica作為仿真與實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)的課程，不僅對學(xué)生專業(yè)課程的學(xué)習(xí)提供巨大助益，對學(xué)生將來從事科學(xué)研究工作也具有重要意義。

二、利用 Mathematica改進(jìn)課程教學(xué)方法

針對航天器軌道理論課程自身的特點(diǎn)，我們本著“重概念、重應(yīng)用、重演示、重交互”的課程建設(shè)原則， 從緊扣培養(yǎng)目標(biāo)、理順課程體系、突出直觀理解、傳授設(shè)計思想等幾個方面入手，摸索出一條以演示說明概念、以特點(diǎn)理解應(yīng)用、以實(shí)驗(yàn)加深理解的課程建設(shè)新路子。具體來說，主要有以下幾個方面。

（一）科學(xué)分析學(xué)生特質(zhì)及專業(yè)要求，進(jìn)一步推動教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方法的改革

我們將問卷調(diào)查和訪談作為主要的他說方式，對學(xué)生的專業(yè)知識結(jié)構(gòu)與學(xué)習(xí)需求進(jìn)行了認(rèn)真細(xì)致的調(diào)查和分析，進(jìn)一步深入了解和探索學(xué)生的知識儲備、年齡特征和學(xué)習(xí)訴求。在組織和整理相關(guān)教學(xué)內(nèi)容時，充分結(jié)合學(xué)生的個人特點(diǎn)以及專業(yè)技術(shù)前沿、實(shí)踐工程案例，借助Mathematica仿真技術(shù)，打造和構(gòu)建更加接近現(xiàn)實(shí)應(yīng)用環(huán)境的教學(xué)情境。在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，將各種先進(jìn)的多媒體工具進(jìn)行有機(jī)融合，進(jìn)一步提高教學(xué)效果。

（二）探索將航天器軌道力學(xué)抽象的知識直觀化、形象化的途徑，制訂具體的教學(xué)方案，輔助學(xué)生觀察和理解

從課程實(shí)際內(nèi)容來看，部分軌道力學(xué)的專業(yè)知識不僅抽象晦澀，并且存在復(fù)雜的空間邏輯和數(shù)學(xué)邏輯，如二體軌道6個根數(shù)的意義和攝動演化特征、慣性系與旋轉(zhuǎn)系下衛(wèi)星軌道的相互關(guān)系等，如果只依靠教師的語言描述和一些簡易的靜態(tài)圖形圖表就無法充分有效地表達(dá)知識點(diǎn)的內(nèi)在特性。然而借助Mathematica仿真技術(shù)，教師可以設(shè)計出高度逼真的虛擬情境，并將其應(yīng)用于課程教學(xué)之中，這樣不僅可以提供直觀、形象的知識對象，而且可以加深學(xué)生對重點(diǎn)知識的理解和掌握。

（三）探索將學(xué)生由學(xué)習(xí)被動者轉(zhuǎn)為學(xué)習(xí)主動者的多種途徑，提高學(xué)生的參與意識和實(shí)踐能力

基于Mathematica的可視化交互能力，我們設(shè)計了具備良好效果的交互界面和接口的仿真課件，使學(xué)生可以參與操作和演示，并且可以實(shí)時修改仿真參數(shù)，調(diào)節(jié)仿真過程并觀察運(yùn)行結(jié)果，針對重點(diǎn)、難點(diǎn)內(nèi)容可反復(fù)揣摩。與此同時，高年級的學(xué)生由于其本身已經(jīng)具備一定的科研能力與學(xué)習(xí)能力，因此，可以在課程教師的循循引導(dǎo)下自主成立興趣小組，以小組為單位嘗試進(jìn)行仿真課題的設(shè)計和研發(fā)等工作。筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)這種方式很受學(xué)生的歡迎，效果良好，于是進(jìn)一步優(yōu)化了興趣小組的高效教學(xué)與組織形式，推廣和發(fā)展了這種主動式學(xué)習(xí)途徑。

（四）踐行CAI課件的新型制作方法，培養(yǎng)活躍的課堂模式，以豐富的展示內(nèi)容激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性

Mathematica具有強(qiáng)大的圖形表現(xiàn)力，使得仿真課件可集實(shí)時仿真計算、聲音視頻等多媒體特點(diǎn)于一身，為學(xué)生創(chuàng)造了圖文并茂、翔實(shí)有趣的虛擬仿真環(huán)境，充分體現(xiàn)課程內(nèi)容的趣味性和直觀性，能夠調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和增強(qiáng)學(xué)生的課堂主人翁意識，從而避免了以往教學(xué)中由知識晦澀難懂所造成的課堂沉悶等現(xiàn)象。

三、Mathematica仿真課件應(yīng)用實(shí)例

我們充分結(jié)合教學(xué)內(nèi)容設(shè)計實(shí)驗(yàn)仿真課件，以學(xué)生為主體，以問題為載體，以Mathematica為工具，通過實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生自己探索并發(fā)現(xiàn)軌道動力學(xué)規(guī)律，證明結(jié)論，并進(jìn)行推廣和模擬檢驗(yàn)，使學(xué)生能加深對抽象的數(shù)學(xué)概念的理解。

（一）基于Mathematica的航天器軌道機(jī)動的互動實(shí)驗(yàn)教學(xué)

軌道機(jī)動是使航天器從一個軌道轉(zhuǎn)移到另一個軌道上的基礎(chǔ)動作，需要在軌道變動時進(jìn)行發(fā)動機(jī)點(diǎn)火，為航天器提供動力。由于軌道機(jī)動涉及變軌前后多種三維空間軌道，學(xué)生必須對這種軌道構(gòu)型有充分的認(rèn)識才能掌握軌道機(jī)動的關(guān)鍵約束，我們基于Mathematica在二體軌道可視化的基礎(chǔ)上，通過在某一點(diǎn)實(shí)施三維速度矢量的改變來實(shí)現(xiàn)變軌的可視化，如下圖所示。

以不同顏色和不同線形代表機(jī)動前和機(jī)動后的軌道，箭頭指示航天器機(jī)動方向，通過該互動仿真界面，可以對時間、軌道根數(shù)、機(jī)動等參數(shù)分別進(jìn)行調(diào)整，并實(shí)時計算和顯示出軌道仿真結(jié)果，學(xué)生可以親自動手體會軌道機(jī)動的實(shí)施效果，通過鼠標(biāo)隨意調(diào)整三維觀察的視角。通過這種易于上手的交互實(shí)驗(yàn)，學(xué)生能夠迅速獲得軌道機(jī)動的直覺體驗(yàn)，總結(jié)出優(yōu)化的軌道機(jī)動策略。

（二）航天器在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的動力學(xué)

圓限制性三體問題（CRTBP）動力學(xué)模型是深空探測領(lǐng)域的重要基礎(chǔ)性理論框架，對其進(jìn)行研究、分析，不但能使動力學(xué)模型由非自治系統(tǒng)簡化為自治系統(tǒng)，而且能使原問題中的許多重要特征變得清晰明了。由于旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系是一種典型的非慣性坐標(biāo)系，在這種坐標(biāo)系下研究航天器運(yùn)動規(guī)律會出現(xiàn)許多與人們?nèi)粘＝?jīng)驗(yàn)相違背的現(xiàn)象。學(xué)生初次學(xué)習(xí)時能夠明確辨別旋轉(zhuǎn)系與慣性系的異同和聯(lián)系，這對于幫助學(xué)生正確建立旋轉(zhuǎn)系下新的理解和直覺模式具有十分重要的意義。我們通過Mathematica互動實(shí)驗(yàn)的途徑引導(dǎo)學(xué)生正確理解旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下航天器所遵循的動力學(xué)原理，并嘗試澄清由慣性坐標(biāo)系的定式思維所帶來的一些錯誤認(rèn)識，為后續(xù)學(xué)習(xí)拉格朗日點(diǎn)、運(yùn)動禁止區(qū)、月球及深空探測軌道等打下基礎(chǔ)。

下圖展示了我們設(shè)計的系列課件，采用化整為零、消化分析的方法幫助學(xué)生理解旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下動力學(xué)方程中各項(xiàng)的物理內(nèi)涵。

接下來，我們利用所設(shè)計的動態(tài)交互課件，綜合旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下動力學(xué)方程三項(xiàng)加速的共同作用，同時將航天器在慣性系和旋轉(zhuǎn)系下的軌跡動態(tài)顯示出來，并且在旋轉(zhuǎn)系隨時間旋轉(zhuǎn)的同時，該坐標(biāo)系下的軌跡也同步跟隨旋轉(zhuǎn)，學(xué)生可以認(rèn)真觀察和體會軌跡隨著時間的演化在兩種坐標(biāo)系中的形成過程，這種過程在傳統(tǒng)課堂上是無法向?qū)W生直觀展示的。借助于Mathematica強(qiáng)大的交互性能，學(xué)生可研究各種航天器軌道（如圓軌道、橢圓軌道、雙曲軌道以及混沌軌道）在旋轉(zhuǎn)系下的構(gòu)型和形成過程，隨意設(shè)置初始狀態(tài)、時間和旋轉(zhuǎn)角速度，即時觀察對軌道構(gòu)型的影響。

（三）航天器星下點(diǎn)軌跡的可視化

在軌道力學(xué)課程中，星下點(diǎn)軌跡作為展示航天器飛行路徑的有效方式，可以表示航天器飛行投影下的地面軌跡。所有星下點(diǎn)串連而成的曲線就是星下點(diǎn)軌跡。隨著航天器軌道設(shè)計的不同，其對應(yīng)的航天器的星下點(diǎn)軌跡會有所不同。如地球靜止軌道衛(wèi)星，它的星下點(diǎn)軌跡是一個點(diǎn)，但是地球同步軌道衛(wèi)星的星下點(diǎn)軌跡是一個“8”字形，這個“8”字的交叉點(diǎn)位于赤道之上。一般的課程教學(xué)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能達(dá)到讓學(xué)生加深理解的程度，當(dāng)航天器做更為復(fù)雜的飛行運(yùn)動時其所形成的星下點(diǎn)軌跡就更難理解了。使用Mathematica可以充分利用三維可視化技術(shù)，以更加生動活潑的方式顯示出航天器繞地球轉(zhuǎn)動的飛行情況，便于學(xué)生掌握航天器星下點(diǎn)軌跡的形成過程。下圖是我們實(shí)現(xiàn)的航天器星下點(diǎn)軌跡可視化仿真，它能更直觀地說明以上觀點(diǎn)。

四、結(jié)論

為了讓學(xué)生增強(qiáng)學(xué)習(xí)的主體意識，深化對軌道力學(xué)新概念的理解和掌握，我們根據(jù)課程的內(nèi)容特點(diǎn)，基于科學(xué)計算軟件Mathematica的先進(jìn)可視化和交互功能，采用啟發(fā)探究、演繹推導(dǎo)、分部剖析、綜合推廣等教學(xué)方法，著重培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力以及良好的學(xué)習(xí)品質(zhì)，并在教學(xué)過程的每一步都及時進(jìn)行實(shí)例仿真和動態(tài)演示。這樣能夠在加深學(xué)生印象的同時，使學(xué)生建立對新概念的正確直覺，使師生之間保持有效互動，幫助學(xué)生獲得對該學(xué)科的積極體驗(yàn)與情感。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 耿立華，吳寶軍.談數(shù)學(xué)軟件Mathematica的使用[J]. 中國校外教育（理論），2009（2）：164.

[2] 李雪賁. 數(shù)學(xué)軟件Mathematica在教學(xué)中的妙用[J].鎮(zhèn)江高專學(xué)報，2009（3）：107-110.

[3] 鄒永福，夏文杰. Mathematica軟件在數(shù)學(xué)模型課程教學(xué)中的應(yīng)用[J].河池學(xué)院學(xué)報，2009（S1）：93-95.

[4] 趙靜，但琦.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)[M].北京：高等教育出版社，2008.

[5] 李路，江開忠，張學(xué)山. 基于Mathematica的三維數(shù)據(jù)處理[J].上海工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報，2008（4）：339-343.

[6] 梁浩云. Mathematica軟件與數(shù)學(xué)教學(xué)[M].廣州：華南理工大學(xué)出版社，2001.

[7] 王高峽. 用Mathematica軟件繪制空間圖形的方法和技巧[J]. 重慶工學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2007（7）：17-20.

[8] 劉興元，何宜軍.Mathematica軟件的繪圖功能在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用示例[J].邵陽學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）， 2008（4）：41-44.

[責(zé)任編輯：龐丹丹]