楊 濤

（四川工商學院數(shù)理教研室，四川 成都 611745）

1 引言

不等式的證明是高等數(shù)學中重點和難點之一，其常用證明方法有：比較法、綜合法和數(shù)學歸納法、利用導數(shù)的定義、函數(shù)的單調性、最值性(極值性)和中值定理等［1，2，3，4，5］。然而許多學生在證明不等式時總是感到束手無策、無從下手。一方面是因為不等式證明的題目類型比較多，證明方法因問題的不同而變化多端；另一方面是在學習的過程中對不等式證明方法沒有進行歸納和總結。因此，為幫助學生較好理解和掌握不等式證明問題、熟練運用所學知識證明不等式，下面對不等式證明常見方法進行了歸納和總結，幫助學生較好地理解和掌握不等式證明問題。

1.1 借助函數(shù)圖形分析不等式

函數(shù)圖形不但能夠清晰直觀地呈現(xiàn)函數(shù)增減變化、對稱性、最值等問題，而且是分析不等式成立的最基本和最常見的方法之一。比如，要證明f（x）＞g（x)，可借助計算機分別畫出函數(shù)f（x）與g（x)的函數(shù)圖形，對畫出的函數(shù)圖形進行分析和探討，得出不等式成立的相關信息，并根據(jù)得到的不等式成立相關信息梳理不等式證明思路，同時以相對簡潔且符合邏輯的數(shù)學語言對待證不等式進行描述。

例1 證明：當x＞0 時，x＞ln（1+x）.

分析1 不妨記f（x）=x，g（x)=ln（1+x），要證明，x＞ln（1+x）在x＞0 時成立，即f（x）＞g（x)證明。函數(shù)圖形能夠清晰直觀地幫助我們證明不等式問題，因此函數(shù)f（x）與g（x)的函數(shù)圖形如圖1所示。圖1表明，當x＞0 時，恒有f（x）＞g（x），即x＞ln（1+x）。

分析2 要證明x＞ln（1+x）在x＞0 時成立，即證明ex＞1+x。不妨記f（x）=ex，g（x）=1+x，函數(shù)f（x）與g（x）的函數(shù)圖形如圖2所示。圖2表明，當x＞0 時，恒有f（x）＞g（x），即ex＞1+x，等式左右兩邊同時取對數(shù)可得：當x＞0 時，不等式x＞ln（1+x）成立。

圖1 函數(shù)f（x）=x 與g（x)=ln（1+x）圖像

圖2 函數(shù)f（x）=ex 與g（x）=1+x 圖像

上述分析1、分析2 表明，當x＞0 時，不等式x＞ln（1+x）恒成立，亦即解析式f（x）=x-ln（1+x）在x＞0時嚴格單調遞增。因此，實例1 可利用單調性證明。

1.2 利用單調性證明不等式

函數(shù)單調性的判定不但是求最值、研究函數(shù)在定義域內變化形態(tài)的有效方法，而且也是證明不等式成立的基本方法，其利用單調性證明不等式要點如下：若f ′（x）≥0（或f ′（x）＞0），則x1＜x2時，有f（x1）≤f（x2） （或f（x1）＜f（x2））。實例1 利用單調性證明方法如下：

證 記f（x）=x-ln（1+x），知D（f）=｛x|x＞-1｝。由題意可知x＞0，于是f（x）的定義域D（f）=｛x|x＞0｝。

因對任意x，x+Δx∈D（f）且Δx→0 時，有

所以函數(shù)f（x）在其定義域D（f）內連續(xù)。又因極限存在，即函數(shù)f（x）在其定義域D（f）內可導。

圖3 函數(shù)f（x）=x-ln（1+x）圖像

上述方法首先利用定義證明了函數(shù)f（x）在其定義域內連續(xù)可導，根據(jù)函數(shù)f ′（x）恒大于0，即函數(shù)f（x）在其定義域內嚴格單調遞增。若不等式f（x）的最小值min f（x）≥0（x＞0），則x＞ln（1+x）。

1.3 利用求極值的方法證明不等式

極值方法證明不等式要點： 若需證明f （x）≥g（x)不等式成立，則證明的最小值都大于零。利用求極值方法證明實例1 過程如下：

證 記f（x）=x-ln（1+x）（當x＞0 時）。因F（0）=0，所以只要證明

因f（x）在D（f）=｛x|x＞0｝內連續(xù)可導，即實例1也符合拉格朗日中值定理條件，因此該例也可運用拉格朗日中值定理證明。

1.4 利用拉格朗日中值定理證明不等式

本節(jié)利用文獻［1］回顧拉格朗日中值定理有關概念。若函數(shù)f（x）滿足：(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；(2)在開區(qū)間（a，b）內可導，則至少存在一點ε∈（a，b）內，使得

成立。在了解和掌握拉格朗日中值定理相關概念后，可知上述實例（例1）滿足拉格朗日中值定理條件，即運用拉格朗日中值定理證明實例1 過程如下：

證 令f（x）=x-ln（1+x），因為f（x）在[0,+∞]上連續(xù)可導.即

則f（x）在區(qū)間[0，x]上滿足拉格朗日中值定理條件，所以在區(qū)間[0，x]中至少存在一點ε（ε∈[0，x]），使得f（x）-f（0）=f ′（ε）（x-0），而

由于ε＞0，知f ′（ε）＞0.又f（0），故當x＞0 時，f（x）=xf ′（ε）＞0，于是，有x-ln（1+x）＞0，即x＞ln（1+x）。

因f（x）在D（f）=｛x|x＞0｝內n 階連續(xù)可導，即實例1 也可用Taylor 公式證明，其證明方法如下：

1.5 利用泰勒（Taylor）公式證明不等式

為能較好的理解、 掌握和應用Taylor 公式證明不等式，本小節(jié)利用參考文獻［1］對Taylor 公式基本要點做簡要回顧。若f（x）在[a，b]上有連續(xù)n 階導數(shù)，且滿足

f（n）（x）＞0（當x∈（a，b 時），則

利用此原理，可證例1。

證 原式等價于f（x）≡x-ln（1+x）＞0，因f（0）=f ′（0）=0。

1.2～1.5 節(jié)對同一問題不同證明方法進行了粗略的歸納和總結，學生若在學習過程中能較好理解和掌握上述不等式證明理論基礎，并熟練運用到不等式證明中，不但能培養(yǎng)學生不等式證明的發(fā)散思維，而且也為今后提出新穎的不等式證明方法打下夯實的基礎。下面介紹幾種積分不等式的證明方法。

積分不等式是指兩個以上的定積分不等式。關于積分不等式，這里僅介紹微分學方法證明不等式和不等式兩端取變限積分證明不等式的證明方法。

1.6 利用微分學的方法證明不等式

在介紹微分學方法證明不等式前，首先需掌握和理解不定積分與求導數(shù)或微分互為逆運算的相關性質：（1）

例2 設f（x）在[0，1]上可微，且當x∈（0，1）時，0＜f′（x）＜1，f （0）=0，試證：

證 方法一：問題在于證

已知f（0）=0，0＜f ′（x）＜1（當x∈（0，1）），故x∈（0，1）時f （x）＞0。下證（1）式大于0.記則r（0）=0，

1.7 不等式兩端取變限積分證明新的不等式

不等式兩端取變限積分證明不等式時，首先需掌握積分基本公式：

證 已知x＞0 時，cos x≤1，（當x=2nπ 時等號成立）。對不等式cos x＜1 兩端同時取[0，x]上的積分，得

再次對不等式sin x＜1 取[0，x]上的積分，得

即

圖4 函數(shù)f（x）=sin x 與g（x）=x圖像

圖5 函數(shù)f（x）=1-cos x 與

圖6 函數(shù)f（x）=1-cos x 與圖像

圖7 函數(shù)、g（x）=sin x 與圖像

上述過程介紹了通過對不等式兩端同時取積分的方式證明不等式，并給出了積分后新的不等式的函數(shù)圖形，進一步驗證證明過程的正確性。

2 結束語

以上討論了不等式證明的幾種方法，但是不等式證明問題是多種多樣、錯綜復雜的，不是幾種類型的不等式證明方法所能概括的，但只有熟練的掌握一些最基本、最常用的不等式證明方法，才能幫助我們能夠更好的解決不等式證明問題，才能從這些最基本、最常用的不等式證明方法中獲得啟發(fā)，進而給出新穎的不等式證明方法。從文中介紹的不等式證明方法中可以看到，熟練的掌握函數(shù)單調性、極值求解方法、微分、中值定理、Taylor 公式等是有效的解決不同形式的不等式證明問題基本方法和手段，也是有效的啟發(fā)自己對不等式證明思維訓練、不等式應用背景理解和對不等式證明方法的進行一步的延拓的基礎。