姜俊峰， 李偉， 趙維， 周曉軍

(1.浙江大學(xué) 流體動(dòng)力與機(jī)電系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 浙江 杭州 310027；2.浙江大學(xué) 浙江省先進(jìn)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 浙江 杭州 310027； 3.西北機(jī)電工程研究所， 陜西 咸陽(yáng) 712099)

0 引言

船載轉(zhuǎn)塔裝置(STE)是一種常見(jiàn)的船載裝置，可執(zhí)行登陸火力支援、中近程防空、打擊海面集結(jié)方力量等任務(wù)，對(duì)來(lái)襲導(dǎo)彈、射程內(nèi)的飛行目標(biāo)和處于潛望深度的潛艇，可以進(jìn)行有效的干擾和毀傷。隨動(dòng)系統(tǒng)是STE的重要組成部分，可根據(jù)火控系統(tǒng)計(jì)算的射擊諸元實(shí)時(shí)跟蹤目標(biāo)[1]。艦船受到風(fēng)、浪、流等各種因素的綜合作用，搖擺幅度大，結(jié)構(gòu)參數(shù)時(shí)變性強(qiáng)，工況十分惡劣[2-3]。為了消除艦船搖擺和目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的影響，隨動(dòng)系統(tǒng)必須連續(xù)不斷地調(diào)整瞄準(zhǔn)線(xiàn)的方向角和俯仰角[4]，導(dǎo)致隨動(dòng)系統(tǒng)輸出力矩變化劇烈，給隨動(dòng)系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)帶來(lái)了困難。因此建立STE隨動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)影響隨動(dòng)系統(tǒng)輸出力矩(下文簡(jiǎn)稱(chēng)“隨動(dòng)力矩”)變化的因素做定量分析，是十分必要的。

國(guó)內(nèi)外對(duì)機(jī)載[5]、車(chē)載[6-8]、重型車(chē)輛[9]等隨動(dòng)系統(tǒng)的研究較為深入，建立了隨動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型，對(duì)兩軸穩(wěn)定的交叉耦合力矩、耦合引起的角速度和穩(wěn)定精度進(jìn)行了研究和探討[10-13]。但是STE的動(dòng)力學(xué)研究?jī)H停留在物理建模和簡(jiǎn)單的方程組數(shù)學(xué)建模階段[4,14]，在簡(jiǎn)化問(wèn)題的同時(shí)降低了動(dòng)力學(xué)分析的精確度，而關(guān)于STE隨動(dòng)系統(tǒng)完整的動(dòng)力學(xué)建模與隨動(dòng)力矩分析文獻(xiàn)則尚未查到。

本文根據(jù)STE的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),建立了隨動(dòng)系統(tǒng)的拉格朗日動(dòng)力學(xué)模型,并在此基礎(chǔ)上對(duì)隨動(dòng)力矩進(jìn)行了仿真分析，仿真結(jié)果對(duì)STE隨動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。

1 坐標(biāo)系定義

本文研究的STE隨動(dòng)系統(tǒng)是兩軸穩(wěn)定方案，由方位軸和俯仰軸構(gòu)成。STE隨動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及坐標(biāo)示意圖如圖1所示。為了分析方便，建立如圖1所示4個(gè)坐標(biāo)系：

1)大地坐標(biāo)系Onxnynzn. 原點(diǎn)On位于船體重心，Onxn軸平行于水平面指向正北方，Onyn軸平行于水平面指向正東方，Onzn軸垂直于水平面指向下方。

2)船體坐標(biāo)系Obxbybzb. 原點(diǎn)Ob與船體重心重合，Obxb軸平行于夾板面指向船首，Obyb軸平行于夾板面指向右舷，Obzb軸垂直于夾板面指向下方。

3)方位坐標(biāo)系Ohxhyhzh. 原點(diǎn)Oh位于轉(zhuǎn)塔重心，為了分析問(wèn)題方便并不失一般性，設(shè)轉(zhuǎn)塔重心位于轉(zhuǎn)塔方位軸上；Ohxh軸平行于轉(zhuǎn)塔回轉(zhuǎn)平面，并與發(fā)射管軸線(xiàn)在一個(gè)平面內(nèi)，Ohyh軸平行于轉(zhuǎn)塔回轉(zhuǎn)平面指向船首位置，Ohzh軸垂直于轉(zhuǎn)塔回轉(zhuǎn)平面指向下方。

4)俯仰坐標(biāo)系Opxpypzp. 原點(diǎn)Op由Oh在3個(gè)坐標(biāo)軸上各平移一定距離得到。Opxp軸與發(fā)射管軸線(xiàn)重合、指向射出方向，Opyp軸與俯仰軸重合、指向船首方向，Opzp軸垂直于Opxp、Opyp構(gòu)成的平面向下。需要注意的是，在射擊過(guò)程中，隨著火箭彈數(shù)目的變化，發(fā)射管的重心會(huì)發(fā)生變化。

圖1 STE隨動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及坐標(biāo)示意圖Fig.1 Structure and coordinate of STE servo system

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

2.1 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

2.1.1 從大地坐標(biāo)系到船體坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

由船體縱滾、橫搖、航向引起的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣分別為

(1)

式中：φ、θ、ψ分別為船體在大地坐標(biāo)系下的縱滾角、橫搖角、偏航角。

在海中航行的艦船搖擺大致有隨意搖擺、先縱滾后橫搖、先橫搖后縱滾3種。由于隨意搖擺分析復(fù)雜，縱滾比橫搖周期長(zhǎng)、振幅短，為了分析簡(jiǎn)單且接近實(shí)際，采用先縱滾后橫搖變換[15]。則從大地坐標(biāo)系到船體坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣Rn→b為

2.1.2 從船體坐標(biāo)系到俯仰坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

船體坐標(biāo)系經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)方位角βb并平移(Δxβ,Δyβ,Δzβ)后，得到方位坐標(biāo)系，因此齊次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣[16]為

(2)

方位坐標(biāo)系經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)俯仰角εb并平移(Δxε,Δyε,Δzε)后，得到俯仰坐標(biāo)系，因此齊次坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣為

(3)

由于Rb→h和Rh→p中的平移量對(duì)后面的運(yùn)算沒(méi)有影響，可以忽略。

2.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系

2.2.1 方位角與俯仰角

大地坐標(biāo)系下目標(biāo)的球坐標(biāo)為(D,εn,βn)，其中D為目標(biāo)距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，εn和βn分別為目標(biāo)的俯仰角和方位角，轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)為

(4)

則船體坐標(biāo)系下的目標(biāo)點(diǎn)坐標(biāo)為

(5)

得到的隨動(dòng)方位角βb、俯仰角εb(二者都是目標(biāo)在船體坐標(biāo)系中的角度)分別為

(6)

(7)

由(5)式～(7)式可知， STE隨動(dòng)系統(tǒng)的方位角、俯仰角與目標(biāo)點(diǎn)和發(fā)射點(diǎn)距離無(wú)關(guān)，這與文獻(xiàn)[17]的結(jié)論一致。

2.2.2 角速度及其微分

轉(zhuǎn)塔在大地坐標(biāo)系下的角速度為

(8)

角速度的微分為

(9)

(10)

發(fā)射管在大地坐標(biāo)系下的角速度為

(11)

角速度的微分為

(12)

(13)

2.2.3 平動(dòng)速度及其微分

方位坐標(biāo)系原點(diǎn)在大地坐標(biāo)系下的速度為

(14)

轉(zhuǎn)塔質(zhì)心在大地坐標(biāo)系下的速度為

(15)

式中：u、v、w為船體在大地坐標(biāo)系下的平動(dòng)速度分量；xbh、ybh、zbh為方位坐標(biāo)系原點(diǎn)在船體坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分量；vhm為轉(zhuǎn)塔質(zhì)心在大地系下的速度；xhm、yhm、zhm為轉(zhuǎn)塔質(zhì)心在方位坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分量。

同理，大地坐標(biāo)系下發(fā)射管質(zhì)心的速度為

3 動(dòng)力學(xué)建模

根據(jù)拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程[18-19]得

(16)

式中：Ek為系統(tǒng)動(dòng)能；q為廣義坐標(biāo)；Q為廣義主動(dòng)力；j為廣義坐標(biāo)序號(hào)。

在STE隨動(dòng)系統(tǒng)中，廣義坐標(biāo)有兩個(gè)，分別為βb和εb，廣義主動(dòng)力有重力G、運(yùn)動(dòng)阻力和作用于轉(zhuǎn)塔和發(fā)射管的轉(zhuǎn)矩，即

(17)

將(17)式代入(16)式中，得到STE隨動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型為

(18)

式中：Ek=Ekhr+Ekht+Ekpr+Ekpt，Ekhr和Ekht分別為轉(zhuǎn)塔的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和平動(dòng)動(dòng)能，Ekpr和Ekpt分別為發(fā)射管的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能和平動(dòng)動(dòng)能；Tβ和Tε分別為轉(zhuǎn)塔軸和發(fā)射管軸輸入總力矩。

由(18)式可以看出，STE隨動(dòng)系統(tǒng)工作過(guò)程中受到回轉(zhuǎn)部分、俯仰部分的重力勢(shì)能、動(dòng)能和不平衡力矩(?Ep/?βb、?Ep/?εb)等因素影響。隨動(dòng)控制過(guò)程復(fù)雜，干擾量眾多。STE隨動(dòng)系統(tǒng)各個(gè)部分的重力勢(shì)能、動(dòng)能和不平衡力矩將在下文給出。

3.1 轉(zhuǎn)塔動(dòng)能及不平衡力矩計(jì)算

3.1.1 轉(zhuǎn)塔動(dòng)能

轉(zhuǎn)塔平動(dòng)動(dòng)能、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能分別為

(19)

3.1.2 轉(zhuǎn)塔不平衡力矩

轉(zhuǎn)塔重心在大地坐標(biāo)系的坐標(biāo)為

(20)

由(20)式得轉(zhuǎn)塔重心高度為

zh=(-cosβbsinθ+sinβbsinφcosθ)xhm+ sinβbsinθyhm+cosβbsinφcosθyhm+ cosφcosθzhm+z0,

(21)

式中：z0為與β、ε無(wú)關(guān)的變量。

選大地坐標(biāo)系下水平面為零勢(shì)能面，得轉(zhuǎn)塔重力勢(shì)能為

Eph=mhgzh，

(22)

進(jìn)一步推導(dǎo)得轉(zhuǎn)塔關(guān)于兩個(gè)廣義坐標(biāo)的不平衡力矩為

(23)

3.2 發(fā)射管動(dòng)能及不平衡力矩計(jì)算

3.2.1 發(fā)射管動(dòng)能

發(fā)射管平動(dòng)動(dòng)能、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能分別為

(24)

3.2.2 發(fā)射管不平衡力矩

發(fā)射管重心在大地坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

(25)

由(25)式可得發(fā)射管重心高度：

zp=sinβbsinφbcosθb(xhp+cosεbxpm+sinεbzpm)- cosβbsinθb(xhp+cosεbxpm+sinεbzpm)+

(sinβbsinθb+cosβbsinφbcosθb)(yhp+ypm)+ cosφbcosθb(zhp-sinεbxpm+cosεbzpm)+z1，

式中：z1為與β、ε無(wú)關(guān)的變量。選大地坐標(biāo)系下水平面為零勢(shì)能面，得發(fā)射管重力勢(shì)能為

Epp=mpgzp，

(26)

進(jìn)一步推導(dǎo)得發(fā)射管關(guān)于兩個(gè)廣義坐標(biāo)的不平衡力矩為

(27)

4 仿真分析

根據(jù)建立的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行數(shù)值仿真分析，研究搖擺角和目標(biāo)運(yùn)動(dòng)對(duì)隨動(dòng)過(guò)程中方位和俯仰力矩的影響。設(shè)STE隨動(dòng)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)軸與慣性主軸一致，則其慣量陣為對(duì)角陣。為了研究方便，將搖擺角近似為正弦規(guī)律變化。

STE隨動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械參數(shù)為：Ihxx=4 000 kg·m2,Ihyy=3 400 kg·m2,Ihzz=5 000 kg·m2,Ipxx=180 kg·m2,Ipyy=860 kg·m2,Ipzz=750 kg·m2；mh=4 000 kg,mp=1 500 kg；xbh=ybh=0,zbh=1.0 m；xhp=yhp=0 m,zhp=1.0 m；xpm=0.5 m,ypm=zpm=0.5 m.

4.1 搖擺角對(duì)隨動(dòng)力矩的影響

4.1.1 幅值對(duì)力矩的影響

圖2 不同幅值下的方位軸隨動(dòng)力矩Fig.2 Servo torques of azimuth axis at different swing angles

圖3 不同幅值下的俯仰軸隨動(dòng)力矩Fig.3 Servo torques of elevation axis at different swing angles

4.1.2 周期對(duì)力矩的影響

圖4 不同周期下的方位軸隨動(dòng)力矩Fig.4 Servo torques of azimuth axis at different swing frequencies

圖5 不同周期下的俯仰軸隨動(dòng)力矩Fig.5 Servol torques of elevation axis at different swing frequencies

4.1.3 相位間隔對(duì)力矩的影響

圖6 不同相位間隔下的方位軸隨動(dòng)力矩Fig.6 Servo torques of azimuth axis under different phase differences

圖7 不同相位間隔下的俯仰軸隨動(dòng)力矩Fig.7 Servo torques of elevation axis under different phase differences

綜合上述3組仿真結(jié)果可知，搖擺角周期對(duì)隨動(dòng)力矩的影響效果最明顯、幅值次之，相位間隔對(duì)隨動(dòng)影響最??；搖擺角變化對(duì)方位軸隨動(dòng)力矩的影響明顯大于俯仰軸隨動(dòng)力矩。

4.2 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)對(duì)隨動(dòng)力矩的影響

圖8 不同目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的方位軸隨動(dòng)力矩Fig.8 Servo torques of azimuth axis under different target moving states

圖9 不同目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的俯仰軸隨動(dòng)力矩Fig.9 Servo torques of elevation axis under different target moving states

由圖8和圖9可知：目標(biāo)以最大速度勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，方位軸隨動(dòng)力矩約增加60%，俯仰軸隨動(dòng)力矩約增加14%；目標(biāo)以最大加速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，方位軸隨動(dòng)力矩約增加300%，俯仰軸隨動(dòng)力矩約增加36%. 由此可得結(jié)論：目標(biāo)運(yùn)動(dòng)會(huì)引起隨動(dòng)力矩的增大，且相對(duì)于俯仰軸隨動(dòng)力矩，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)對(duì)方位軸隨動(dòng)力矩的影響更為明顯；相對(duì)于目標(biāo)速度，目標(biāo)加速度對(duì)隨動(dòng)力矩的影響效果更加明顯。

5 結(jié)論

本文對(duì)STE隨動(dòng)系統(tǒng)各部分進(jìn)行了坐標(biāo)系的定義，在此基礎(chǔ)上，建立了二軸隨動(dòng)系統(tǒng)的拉格朗日動(dòng)力學(xué)模型，并結(jié)合STE的結(jié)構(gòu)參數(shù)，對(duì)隨動(dòng)控制系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)數(shù)值仿真，定量研究了搖擺角和目標(biāo)運(yùn)動(dòng)對(duì)方位軸和俯仰軸隨動(dòng)力矩的影響。根據(jù)仿真結(jié)果得出以下主要結(jié)論：

1)搖擺角周期對(duì)方位軸和俯仰軸隨動(dòng)力矩的影響最為明顯，幅值次之，相位間隔對(duì)隨動(dòng)影響最小。搖擺角幅值增大或周期的減小，會(huì)引起方位軸和俯仰軸隨動(dòng)力矩同時(shí)增大。

2)搖擺角相位間隔對(duì)隨動(dòng)力矩影響比較復(fù)雜，在不同區(qū)間內(nèi)，相位間隔變化對(duì)隨動(dòng)力矩的影響效果不同。

3)相對(duì)于速度，目標(biāo)的加速度對(duì)隨動(dòng)力矩的影響更為明顯。

4) 本文所建模型和仿真結(jié)果為STE隨動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和分析提供了理論基礎(chǔ)，對(duì)其他隨動(dòng)系統(tǒng)的研究也具有重要意義。