黃文穎，羅水華，吳應(yīng)雄

(1.福建江夏學(xué)院 工程學(xué)院, 福建 福州 350108； 2.福州大學(xué) 土木工程學(xué)院， 福建 福州 350116)

20世紀(jì)70年代初，土木工程領(lǐng)域開(kāi)始運(yùn)用現(xiàn)代控制理論[1]。其中，調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(TMD)技術(shù)目前比較成熟，在工程中廣泛使用[2]。但調(diào)諧質(zhì)量阻尼器仍存在明顯的缺陷，例如對(duì)外界激勵(lì)頻率的變化過(guò)于敏感，頻率稍許漂移，TMD減振效果迅速下降[3]；質(zhì)量塊的重量巨大，安裝較為不便。

2013年，Zhang等[4]首次提出碰撞調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(Pounding Tuned Mass Damper，P-TMD)。P-TMD在TMD的基礎(chǔ)上增加了碰撞耗能機(jī)制，從而增強(qiáng)了能量耗散能力。Zhang等[4]對(duì)安裝了P-TMD的輸電塔結(jié)構(gòu)進(jìn)行了數(shù)值模擬，結(jié)果表明，在地震激勵(lì)下P-TMD的性能優(yōu)于傳統(tǒng)TMD。Li等[5]通過(guò)研究附加P-TMD輸電塔結(jié)構(gòu)的風(fēng)致響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)P-TMD對(duì)風(fēng)致響應(yīng)的控制效果十分顯著，并且隨著風(fēng)激勵(lì)強(qiáng)度增加，其減振效果不斷增強(qiáng)。Song等[6]研究附加P-TMD的跨接管結(jié)構(gòu)在自由振動(dòng)、受迫振動(dòng)兩種情況下的響應(yīng)，結(jié)果表明當(dāng)固有頻率失諧，P-TMD仍可以有效地抑制結(jié)構(gòu)振動(dòng)且魯棒性良好。Zhang等[7]通過(guò)對(duì)附加P-TMD的海底跨接管結(jié)構(gòu)進(jìn)行參數(shù)研究，發(fā)現(xiàn)P-TMD對(duì)碰撞剛度、質(zhì)量塊與限位裝置之間間距的變化不敏感；當(dāng)主結(jié)構(gòu)具有較低的阻尼比時(shí)，P-TMD更有效。薛啟超等[8]研究了地震作用下P-TMD對(duì)高層鋼結(jié)構(gòu)的減振效果，并采用數(shù)值仿真對(duì)P-TMD進(jìn)行了參數(shù)研究，結(jié)果表明影響P-TMD的減振能力的兩個(gè)重要參數(shù)是預(yù)留間距及碰撞材料。李英娜等[9]研究了地震作用下P-TMD對(duì)JZ20-2MUQ型海洋平臺(tái)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制問(wèn)題，結(jié)果表明間隙比、附加阻尼能夠較大影響P-TMD在JZ20-2MUQ型海洋平臺(tái)結(jié)構(gòu)中的減振效果。

目前國(guó)內(nèi)外關(guān)于P-TMD的研究還較少，特別是P-TMD在人行天橋上的減振研究還未見(jiàn)報(bào)道。因此本文嘗試將P-TMD用于人行天橋，考察其減振效果，并研究碰撞剛度、預(yù)留間距、質(zhì)量比等參數(shù)對(duì)P-TMD減振效果的影響。

1 P-TMD減振原理

1.1 P-TMD模型

碰撞調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(P-TMD)是傳統(tǒng)調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(TMD)的一種改進(jìn)，P-TMD在質(zhì)量塊附近安裝限位裝置，裝置內(nèi)側(cè)附有黏彈性材料[4]。當(dāng)質(zhì)量塊的沖程較小，P-TMD質(zhì)量塊不與限位裝置發(fā)生碰撞，P-TMD變成普通的TMD。當(dāng)質(zhì)量塊的沖程大于其與限位裝置間的預(yù)留間距，碰撞到附有黏彈性材料的擋板，主結(jié)構(gòu)的能量轉(zhuǎn)化為P-TMD的動(dòng)能、勢(shì)能，同時(shí)黏彈性材料在碰撞過(guò)程中發(fā)生變形吸收部分能量，降低主體結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)[7]。圖1展示了P-TMD模型。

1.2 碰撞力模型

Jankowski在Hertz模型基礎(chǔ)上進(jìn)行研究，提出了非線(xiàn)性黏彈性模型[10]。Jankowski推導(dǎo)得出模型中的阻尼常數(shù)表達(dá)式，并利用數(shù)值模擬驗(yàn)證了表達(dá)式的有效性。由于Jankowski的非線(xiàn)性模型考慮了碰撞的能量損失問(wèn)題，因此本文采用Jankowski非線(xiàn)性模型來(lái)模擬碰撞力：

圖1P-TMD模型

(1)

(2)

(3)

(4)

恢復(fù)系數(shù)可以通過(guò)鋼球與平板碰撞后反彈試驗(yàn)測(cè)得[4]。

(5)

式中：h0為初始高度；hf為碰撞后的反彈高度。完全非彈性碰撞的恢復(fù)系數(shù)為0，完全彈性碰撞的恢復(fù)系數(shù)為1。

1.3 碰撞調(diào)諧質(zhì)量阻尼器系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程建立

系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程可以寫(xiě)成：

(6)

(7)

式中：Ms、Cs和Ks分別是結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣；md、cd和kd分別是P-TMD的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣；Ccouple和Kcouple是阻尼矩陣和剛度矩陣的耦合矩陣。將Ccouple和Ccouple定義為:

Ccouple=[0，…，0，-cd，0，…，0]t

(8)

Kcouple=[0，…，0，-kd，0，…，0]t

(9)

方程(6)，Γ表示碰撞力的位置矩陣，H則表示碰撞力的方向。

(10)

式中：xd、xt分別表示阻尼器、目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的位移；gp表示質(zhì)量塊和黏彈性材料層之間的距離。

2 數(shù)值分析

通過(guò)ANSYS建立人行天橋模型，得出結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣，將所得矩陣導(dǎo)入MATLAB，根據(jù)式(1)—式(10)進(jìn)行編程，求得人行天橋的動(dòng)力響應(yīng)。

2.1 工程概況

本文以某人行天橋?yàn)楣こ瘫尘斑M(jìn)行分析。該橋主梁跨徑42.5 m，主橋采用等高度單箱雙室鋼箱梁，主梁高1.3 m，主橋橋?qū)挒?.0 m，凈寬為3.8 m。鋼箱梁頂板厚20 mm，底板厚20 mm，腹板厚20 mm。根據(jù)某規(guī)劃設(shè)計(jì)研究院提供的設(shè)計(jì)資料，天橋設(shè)計(jì)荷載主要為人群荷載。

為了便于分析研究，對(duì)人行天橋進(jìn)行簡(jiǎn)化處理。主梁用Beam 188模擬，每個(gè)節(jié)點(diǎn)上設(shè)置6個(gè)自由度。梁兩端采用簡(jiǎn)支約束條件，邊界條件見(jiàn)表1。因采用雙柱支撐，所以視為梁端在側(cè)向的轉(zhuǎn)角自由度也約束。其中x為順橋向，y為側(cè)向，z為豎向(見(jiàn)圖2)。

通過(guò)模態(tài)分析得到人行橋的一階頻率為2.305 Hz，與行人步行的頻率十分接近，很可能引起共振。二階頻率為6.372 Hz與人行荷載作用產(chǎn)生共振的可能性較小(見(jiàn)表2)。本文僅分析一階振型的動(dòng)力響應(yīng)。

圖2 人行天橋ANSYS模型

注：×代表該自由度約束，+代表該自由度放松。

表2 結(jié)構(gòu)前3階自振頻率

2.2 豎向人群激勵(lì)荷載

我國(guó)規(guī)范未對(duì)人群行走進(jìn)行相應(yīng)的規(guī)定。英國(guó)規(guī)范BSI的規(guī)定是把人行天橋上的人群荷載等效為集中簡(jiǎn)諧力，直接作用在跨中計(jì)算天橋的共振響應(yīng)[11]。本文采用Matsumoto等提出的多人模型計(jì)算公式如下[12-14]：

(11)

式中：n為橋上行人人數(shù)；fp1為行人荷載的第一階諧波頻率值；294是折減系數(shù)。

本文取人群密度1.0 人/m2[14-15]，計(jì)算橋上行人人數(shù)n為162人。將人行荷載模型作為集中力加在天橋跨中，取人行荷載頻率fp1為2.43 Hz。軟件計(jì)算得出人行天橋跨中的最大加速度為0.87 m/s2，不滿(mǎn)足舒適度標(biāo)準(zhǔn)。

2.3 參數(shù)研究

計(jì)算人行天橋結(jié)構(gòu)的減振率公式如下：

(12)

(13)

式中：Dctrl表示受控狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的位移；D0表示結(jié)構(gòu)不受控制狀態(tài)下的位移。Acc0表示受控狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的加速度；Accctrl表示結(jié)構(gòu)不受控制狀態(tài)下的加速度。

人行天橋的主振型位移最大處在中間節(jié)點(diǎn)，為了發(fā)揮阻尼器最大的控制效果，將阻尼器安裝在人行天橋的中間節(jié)點(diǎn)處。

2.3.1 碰撞剛度對(duì)P-TMD減振效果的影響

材料特性和碰撞體的幾何形狀決定碰撞剛度的大小。黏彈性材料種類(lèi)多，材料特性各不同，使得碰撞剛度的大小各不相同。碰撞剛度是碰撞力模型的重要參數(shù)，影響碰撞力的大小，從而影響P-TMD的減振效果。在疲勞試驗(yàn)中，碰撞剛度的范圍一般在15 000 N/m3/2～30 000 N/m3/2之間[5]。圖3為不同β值下P-TMD碰撞力對(duì)比圖；圖4、圖5分別為不同β取值下人行天橋結(jié)構(gòu)的位移時(shí)程曲線(xiàn)和加速度時(shí)程曲線(xiàn)。由圖3可知，隨著碰撞剛度β從5 000增加到30 000，碰撞力增加了4倍。由圖4、圖5可知，碰撞剛度變化對(duì)P-TMD減振效果的影響不大。碰撞剛度β減小5倍，P-TMD加速度、位移減振率僅提高不到10%?？梢?jiàn)，碰撞剛度β不是影響P-TMD控制效果的重要參數(shù)。然而，碰撞力峰值受碰撞剛度影響較大。

圖3 不同β取值下P-TMD碰撞力對(duì)比圖

圖4人行天橋結(jié)構(gòu)的位移時(shí)程曲線(xiàn)

2.3.2 質(zhì)量塊與黏彈性材料層的間距對(duì)P-TMD減振效果的影響

P-TMD從主結(jié)構(gòu)中吸收能量再通過(guò)碰撞耗散能量。質(zhì)量塊和黏彈性材料的間距不僅影響P-TMD吸收結(jié)構(gòu)能量，而且影響P-TMD的能量耗散能力[4]。當(dāng)P-TMD和結(jié)構(gòu)振動(dòng)劇烈，質(zhì)量塊運(yùn)動(dòng)需要更大的間距。但預(yù)留間距過(guò)大，又可能導(dǎo)致質(zhì)量塊和限位裝置不發(fā)生碰撞，退化成傳統(tǒng)TMD。因此，每種情況都存在最合理的距離。

圖5人行天橋結(jié)構(gòu)的加速度時(shí)程曲線(xiàn)

圖6、圖7為不同間距、不同質(zhì)量比情況下P-TMD對(duì)人行天橋的減振率。隨著質(zhì)量比的增加，質(zhì)量塊振幅減小，導(dǎo)致最優(yōu)距離隨之減小。當(dāng)質(zhì)量比為2%，質(zhì)量塊和黏彈性材料之間的最優(yōu)距離大于0.007 m，而質(zhì)量比為3%，質(zhì)量塊和黏彈性材料之間的最優(yōu)距離小于0.002 m。P-TMD的減振效果和預(yù)留間距、質(zhì)量比有密切關(guān)系，需要根據(jù)實(shí)際情況，針對(duì)不同的質(zhì)量比，預(yù)留適合的間距。

圖6 不同距離、質(zhì)量比時(shí)位移減振率

圖7不同距離、質(zhì)量比時(shí)加速度減振率

2.3.3 質(zhì)量比對(duì)P-TMD減振效果的影響

隨著質(zhì)量比的增加，P-TMD減振效果提升。但質(zhì)量塊重量過(guò)大，造價(jià)昂貴、安裝不便，同時(shí)會(huì)對(duì)主結(jié)構(gòu)產(chǎn)生威脅，因此有必要研究經(jīng)濟(jì)質(zhì)量比。

如圖8，當(dāng)質(zhì)量比從0.5%增加到2.0%，減振效果顯著提高，減振率提高了40%。但之后，質(zhì)量比繼續(xù)增加，減振率增長(zhǎng)逐漸變緩。質(zhì)量比從2.5%增加到4%，減振率僅提高了3%。因此，質(zhì)量比選擇1.5%～2.5%要比3%～4%更加合理。

圖8不同質(zhì)量比下P-TMD減振率

2.3.4 荷載對(duì)P-TMD減振效果的影響

保持其他參數(shù)不變，按比例縮放豎向人群荷載，圖9為不同人群荷載強(qiáng)度下的P-TMD減振率曲線(xiàn)。由圖9可見(jiàn)，隨著人群荷載強(qiáng)度的增加，減振率先升后降。這說(shuō)明，較低強(qiáng)度的人群荷載作用下，質(zhì)量塊和主結(jié)構(gòu)響應(yīng)較小，碰撞不完全，P-TMD的減振效果減弱。人群荷載強(qiáng)度變大，結(jié)構(gòu)響應(yīng)加劇，碰撞增多，一定程度的碰撞增加會(huì)提升P-TMD的耗能作用。但太過(guò)激烈的碰撞，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力特性會(huì)受到影響，有時(shí)反而引起副效應(yīng)，降低P-TMD的減振效果。

圖9不同人群荷載強(qiáng)度下的P-TMD減振率

2.4 P-TMD與TMD減振效果對(duì)比

作為對(duì)比，計(jì)算同質(zhì)量比的TMD減振效果，TMD的頻率比和阻尼比按最優(yōu)公式進(jìn)行設(shè)計(jì)[14]。

fTMD=f1×αopt

(14)

(15)

(16)

kTMD=ωTMD2×mTMD

(17)

c=2×ωTMD×mTMD×ξopt

(18)

式中：αopt為最優(yōu)頻率比；ξopt為再調(diào)節(jié)參數(shù)；μ為阻尼器質(zhì)量與主質(zhì)量之比；fTMD為T(mén)MD設(shè)計(jì)頻率；f1為目標(biāo)減振頻率；kTMD為設(shè)計(jì)彈簧剛度；c為設(shè)計(jì)阻尼系數(shù)。

附加TMD、P-TMD的人行天橋結(jié)構(gòu)響應(yīng)如圖10、圖11所示。無(wú)論是位移還是加速度，同質(zhì)量比下P-TMD的減振效果均優(yōu)于TMD。P-TMD位移和加速度減振率分別是TMD的1.14倍和1.17倍(見(jiàn)表3)。0～2 s內(nèi)，由于還未發(fā)生碰撞或碰撞力較小，P-TMD還未發(fā)揮自己的優(yōu)勢(shì)，2 s之后隨著碰撞力逐漸增大，P-TMD的耗能優(yōu)勢(shì)逐漸顯現(xiàn)。

圖10 人行天橋位移時(shí)程曲線(xiàn)

圖11人行天橋加速度時(shí)程曲線(xiàn)

3 結(jié) 論

本文以某人行天橋?yàn)楸尘埃芯苛巳巳汉奢d作用下P-TMD對(duì)人行天橋結(jié)構(gòu)的減振問(wèn)題，得出如下結(jié)論：

(1) 碰撞剛度對(duì)P-TMD減振效果影響較小，不是P-TMD控制的重要參數(shù)。質(zhì)量塊和粘彈性材料的間距、質(zhì)量比是影響P-TMD減振效果的兩個(gè)關(guān)鍵參數(shù)。不同質(zhì)量比的最優(yōu)間距不同，需要根據(jù)不同質(zhì)量比設(shè)置合理間距。

表3 人行橋中間節(jié)點(diǎn)響應(yīng)峰值及減振率

(2) 當(dāng)質(zhì)量比從0.5%增加到2%，減振率提高40%。而后質(zhì)量比從2.5%增加到4%，減振率僅提高了3%，再擴(kuò)大質(zhì)量比沒(méi)有實(shí)際意義且不經(jīng)濟(jì)。

(3) 較低強(qiáng)度的人群荷載作用下，質(zhì)量塊和主結(jié)構(gòu)響應(yīng)較小，碰撞不完全，P-TMD的減振效果減弱。人群荷載強(qiáng)度變大，碰撞增多，一定程度的碰撞增加會(huì)提升P-TMD的耗能作用。但太過(guò)激烈的碰撞，有時(shí)反而降低P-TMD的減振效果。

(4) 無(wú)論從位移還是加速度角度分析，P-TMD都能大幅度減小人行天橋的響應(yīng)，且P-TMD的減振效果優(yōu)于同質(zhì)量比的TMD，位移減振率提高8.60%，加速度減振率提高9.96%。