杜鵬昊

（中央財(cái)經(jīng)大學(xué)，北京 100081）

1 亞里士多德的三段論系統(tǒng)簡介

亞里士多德的三段論證明體系中，用現(xiàn)代邏輯理論來理解，是把第一格的四個(gè)式：AAA、EAE、AII、EIO作為他的證明系統(tǒng)中的公理。在亞里士多德最后的闡釋中，又把第一格的AII和EIO化歸為第一格的AII和EIO，所以亞里士多德的三段論證明系統(tǒng)中，最核心的公理只有第一格的AAA和EAE（盧卡西維茨，2009）。亞里士多德證明其他格的有效式主要用到了化歸法、歸謬法，僅在證明第三格AAI式OAO式時(shí)提及可用顯示法證明，而且能用顯示法證明的式也可以用其他的方法證明（張家龍，2004）。所以看似顯示法的作用并沒有多么廣泛，但是顯示法所運(yùn)用的思想是非常巧妙的，而且顯示法也可以擴(kuò)展應(yīng)用到其他三段論式的證明中。

區(qū)別于傳統(tǒng)形式邏輯所認(rèn)可的四個(gè)格，亞里士多德只把三段論系統(tǒng)分為三個(gè)格，根據(jù)張家龍先生（2004）的說法，亞里士多德把第四格的三個(gè)式劃歸為第一格的三個(gè)非標(biāo)準(zhǔn)式。之后，亞里士多德的學(xué)生德奧夫拉斯特把其數(shù)量擴(kuò)充為五個(gè)，這個(gè)補(bǔ)充就是現(xiàn)在所說的第四格的有效式。所以，亞里士多德的三段論系統(tǒng)是可以擴(kuò)充到第四格的，即使亞里士多德當(dāng)時(shí)未提及第四格，第四格也僅僅是在第一格AAA、EAE式兩條公理下所能推理出的定理（郝旭東，2015）。本文采用包含第四格的三段論理論來論述，三段論的四個(gè)格及其對(duì)應(yīng)的有效式如下：

第一格 第二格 第三格 第四格

M----P P----M M----P P----M

S----M S----M M----S M----S

S----P S----P S----P S----P

第一格的有效式為：AAA（核心公理），EAE（核心公理），AII（公理），EIO（公理），AAI，EAO

第二格的有效式為：AEE，EAE，AOO，EIO，AEO，EAO

第三格的有效式為：AAI，EAO，AII，EIO，IAI，OAO

第四格的有效式為：AAI，EAO，AEE，EIO，IAI，AEO

2 顯示法的運(yùn)用

亞里士多德在《前分析篇》中提及可以運(yùn)用顯示法證明的為第三格的AAI和OAO的證明。我運(yùn)用了命題邏輯的方法對(duì)這兩例的具體如何運(yùn)用顯示法證明進(jìn)行了說明。

圖1 SOP表示的P、S、N的關(guān)系圖

圖2 0SIP關(guān)系圖

圖3 SAP關(guān)系圖

2.1 運(yùn)用顯示法證明第三格AAI

（2）選取顯示詞項(xiàng)N，從S中選出N，N滿足所有N是P，所有N是R

（3）所以有SAP→NAP，SAR→NAR

（4）通過換位法NAR→RIN

2.2 運(yùn)用顯示法證明第三格OAO

（2）選取顯示詞項(xiàng)N，從S中選出N，使N滿足所有N不是P。

（3）所以有SOP→NEP，SAR→NAR

（4）通過換位法NAR→RIN

圖4 SEP關(guān)系圖

圖5 POS關(guān)系圖

第一個(gè)證明的意義不大，只是運(yùn)用了顯示法，但核心的思路還是與亞里士多德書中給出的化歸法證明方式相同。第二個(gè)證明凸顯出了顯示法的作用，它與亞里士多德給出的歸謬的方法是完全不同的思路。

3 顯示法的原理及運(yùn)用條件

顯示法在三段論的證明體系中，本質(zhì)也是化歸的方法，更像是一種與換位法類似的證明途徑，為了更好的將要證明的式化歸為第一格的四條公理。顯示法的核心是選取適宜的顯示詞項(xiàng)，顯示詞項(xiàng)在原詞項(xiàng)范圍中，將原詞項(xiàng)的范圍縮小，從而可以具有更加明顯地與其他詞項(xiàng)的關(guān)系。

例如，在證明2中，從S中選出N，N滿足所有N不是P，因?yàn)樵胶x是有的S不是P，用歐拉圖表示P、S、N的關(guān)系如圖1。

SOP所表示的P與S的關(guān)系共包含以上三種可能，在這三種可能下均可以選出顯示詞項(xiàng)N滿足所有N不是P的。所以有SOP→NEP。

為了運(yùn)用顯示法證明其他各式的有效式，需要總結(jié)出各類三段論命題運(yùn)用顯示法后所能得出的結(jié)果。

（1）0SOP：SOP表示有的S不是P。如上所述SOP→NEP。同時(shí)，在上圖所述的三種情況下，也可使選出的N滿足有的N不是P，即SOP→NOP。

（2）0SIP：SIP表示有的S是P，從S中選出N，使N滿足所有N是P，用歐拉圖表示三者的關(guān)系如圖2。

圖6 PIS關(guān)系圖

圖7 PAS關(guān)系圖

在SIP所包含的S與P的三種可能情況下，均可以選出N滿足所有N是P，所以有SIP→NAP

同時(shí)，在上圖中，也可以使N均滿足有的N是P，所以SIP→NIP。

（3）SAP：SAP表示所有S是P，從S中選出N，用歐拉圖表示所有可能的情況如圖3所示。

從圖中可以看出，無論N如何選擇，N均滿足所有N是P，所以SAP→NAP。

（4）SEP：SEP表示所有S不是P，從S中選出N，用歐拉圖表示三者可能的情況如圖4。

從圖中可以看出無論N如何選擇，均滿足所有N不是P，所以有SEP→NEP。

（5）POS：POS表示有的P不是S，從S中選出N，用歐拉圖表示三者之間關(guān)系如圖5所示。

無論N如何選擇，均滿足有的P不是N，所以POS→PON。

（6）PIS：PIS表示有的P是S，從S中選出N，使N滿足有的P是N，用歐拉圖表示P、S、從S中選出的顯示詞項(xiàng)N這三者之間的關(guān)系如圖6。

在P和S這三種關(guān)系的情況下，可以使N滿足有的P是N，所以有PIS→PIN。

（7）PAS：PAS表示所有P是S，從S中選出顯示詞項(xiàng)N，使N滿足有的P是N，如圖7所示。

所以可以選出符合條件的N，所以PAS→PIN。

同時(shí)也可以使N滿足所有P是N，如圖8。

圖8 PIN關(guān)系圖

圖9 PES關(guān)系圖

圖10 弱顯示式

所以可以選出符合條件的N，所以PAS→PAN。

（8）PES：PES表示所有P不是S，從S中選擇出顯示詞項(xiàng)N，這三者之間的關(guān)系如圖9所示。

根據(jù)圖像可以看出，無論N如何選擇，均有PES→PEN。

這8類三段論命題運(yùn)用顯示法所能得到的蘊(yùn)含式有：SOP→NEP、SOP→NOP、SIP→NAP、SIP→NIP、SAP→NAP、SEP→NEP、POS→PON、PIS→PIN、PAS→PIN、PAS→PAN、PES→PEN這11個(gè)。

其中，SAP→NAP、SEP→NEP、POS→PON、PES→PEN這四個(gè)蘊(yùn)含式是無論N在S中如何選擇均成立的，我先將其定義為“強(qiáng)顯示式”。

另外，SOP→NEP、SOP→NOP、SIP→NAP、SIP→NIP、PIS→PIN、PAS→PIN、PAS→PAN這七個(gè)蘊(yùn)含式是在不同的P與S的關(guān)系情況下選擇符合條件的N成立的，我將其定義為“弱顯示式”。

在第二部分的第一個(gè)例子中SAP→NAP，SAR→NAR這兩個(gè)是強(qiáng)顯示式，本質(zhì)與換位法證明沒有區(qū)別。第二個(gè)例子中SOP→NEP是弱顯示式，SAR→NAR是強(qiáng)顯示式，在這個(gè)例子中顯示法的證明是一種與書中的歸謬法完全不同的證明方法。從這兩個(gè)例子可以看出，有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的證明方法是第二個(gè)例子。第二個(gè)證明之所以有價(jià)值，主要是因?yàn)镾OP→NEP這個(gè)弱顯示式的應(yīng)用。而第一個(gè)證明沒有太多證明的實(shí)際意義主要是因?yàn)镾AP→NAP，SAR→NAR這兩個(gè)式子只是把前提中的S替換成了N，命題類別沒有變化，向三段論第一格四條公理的化歸沒有幫助。所以，真正使顯示法有實(shí)際價(jià)值的是SOP→NEP、SIP→NAP、PAS→PIN這三個(gè)改變命題形式的弱顯示式。

但是，需要注意的是運(yùn)用顯示法進(jìn)行證明時(shí)，不能兩個(gè)蘊(yùn)涵式都是弱顯示式。這是因?yàn)樯婕八膫€(gè)詞項(xiàng)時(shí)，選出的顯示詞項(xiàng)不一定能同時(shí)保證滿足兩個(gè)條件。例如：SOP→NEP、SOM→NOM這兩式都是弱顯示式，如圖10所示。

S是P和M的總體，在這種情況下，從S中選擇的顯示詞項(xiàng)N，若滿足NEP就不能滿足NOM，若滿足NOM就不能滿足NEP。

4 顯示法的擴(kuò)展應(yīng)用

在清楚顯示法的應(yīng)用原理以及適用的條件之后，具體的將顯示法應(yīng)用于三段論的其他一些亞里士多德沒有提及可以用顯示法證明的有效式。

4.1 第一格AAI式

（2）從S中選出顯示詞項(xiàng)N，使N滿足有的R是N

（3）有SAP→NAP（強(qiáng)顯示式）、RAS→RIN（弱顯示式）

4.2 第一格EAO式

（2）從S中選出顯示詞項(xiàng)N，使N滿足有的R是N

（3）有SEP→NEP（強(qiáng)顯示式）、RAS→RIN（弱顯示式）

4.3 第二格EAO式

（2）從S中選出顯示詞項(xiàng)N，使N滿足有的R是N

（3）所以有PES→PEN（強(qiáng)顯示式）、RAS→RIN（弱顯示式）

（4）PEN→NEP（換位法）

4.4 第四格AAI式

（2）從S中選出顯示詞項(xiàng)N，使N滿足有的P是N

（3）所以PAS→PIN（弱顯示式）、SAR→NAR（強(qiáng)顯示式）

（4）RIP→PIR且PIR→RIP（換位法）

以上四個(gè)式是顯示法的典型運(yùn)用，其實(shí)在三段論系統(tǒng)中的其他很多式也可以使用顯示法證明的。但是其他式就形似于第三格AAI式的證明，顯示法不是證明中的關(guān)鍵方法。從上文可以看出，三段論的有效式中有大部分都可以運(yùn)用顯示法進(jìn)行證明，其中有五個(gè)式（第三格OAO式加以上四個(gè)式）是顯示法的典型證明。所以，顯示法在三段論證明系統(tǒng)中并不是一個(gè)不重要的方法，而是因?yàn)榛瘹w法和歸謬法的廣泛運(yùn)用而被忽視的重要方法。