王俊花

(大同大學 渾源師范分校, 山西 渾源 037400)

1 行列式計算方法簡介及基本說明

行列式多用于線性方程組的求解，是一種速記的表達式，現(xiàn)在已成為線性代數(shù)中一種十分有用的工具。行列式計算有一定法則，對于線性方程組而言，應用行列式計算，它可以將線性方程組的不同解表示成一個公式，即行列式也可以表示為一個數(shù)，因此行列式是解線性方程組的重要工具[1]。隨著線性代數(shù)研究的深入完善，行列式計算已逐漸獨立在線性方程組之外，并發(fā)展成為一門獨立學科理論，其中最經(jīng)典的著作是英國著名數(shù)學家卡羅爾的《行列式———計算數(shù)值的簡易方法》，因此，行列式不僅僅是一種計算方法，更是一種知識理論體系，因此，對于行列式計算方法研究很有必要。

行列式的計算方法類型多樣，有較強的技巧。當然，任何一個n階行列式都可以根據(jù)行列式的定義去計算數(shù)值，但是，由定義可知，n階行列式展開后有n！項，計算量大，通常情況下不用該方法，除非行列式中有多個零元素。對于行列式的計算方法，通常用到的是化三角形法與按行、列展開法，其主要依據(jù)行列式性質應用。由于行列式計算化三角法特殊性的特點，行列式計算必然沒有那么簡單，不易掌握。為了有效解決實際問題中行列式計算相關方面問題，使其在工程領域計算中變得簡單，本文運用相關理論知識[2]給出幾種計算行列式的方法，并希望可以其有效推廣，使教學環(huán)節(jié)變得容易，開拓學生視野，使課堂教學應用更為簡便。

2 行列式幾種特殊計算方法解析

2.1 運用變向化三角形法計算行列式

化三角形法是將行列式化為下(或上)三角形行列式或對角形行列式計算的一種方法，同時，這也是行列式計算基本方法。一般情況下，每個行列式都可以運用行列式性質化成三角形行列式計算。但是，對于某些階數(shù)較高的行列式，計算十分繁瑣，所以，有些情況下，先是根據(jù)行列式性質將其變形，然后再對其化簡成三角行列式，減少計算量。例如：

例1 計算行列式

解析：很顯然，如果將該行列式直接去化三角形行列式，計算繁瑣，無規(guī)律可言，這里本文重點運用行列式性質。注意到，該行列式從第一列開始，每一列與該列中n-1個數(shù)字相差1，根據(jù)行列式性質，首先從n-1列開始每個數(shù)均乘以-1加到第n列，第n-2列乘以-1加到第n-1列，以此類推，直到第1列乘以-1加到第2列[3]。其次，將第一行乘以-1加到每行上去，這樣再將行列式化為三角形行列式，計算簡化。

其中:ci—行列式第i列;

ri—行列式第i行。

問題推廣：該例中，明顯1,2,…,n-1,n,這n個數(shù)字在循環(huán)，如果n個無規(guī)律的數(shù)字在循環(huán)，這樣的行列式又該如何計算呢？將這樣的行列式稱為“循環(huán)行列式”，因此，這樣的行列式可以推廣到一般情形[4]。例如：

的值

在這里un=1，用到u=un+1，其中f(u)=a0u+a1u2+…+an-1un。

因此，1,w,w2,…，wn-1互異且都是單位根，記：

由上述可知：Awj=f(wj)·wj，所以

Aw=(Aw0,Aw1,…,Awn-1)

=(f(w0)·w0,f(w1)·w1,…,f(wn-1)·wn-1)

顯然w=

因為|w|≠0,因此|Aw|=|w|·f(1)·f(w)·…·f(wn-1)=|A||w|，所以，

|A|=f(1)·f(w)·…·f(wn-1)

從而有：

由此可見，該結論與例1答案吻合，該問題可以推廣到一般情形。

2.2 運用降階法計算行列式

一般情形下，行列式按行(或列)展開并不能減小計算量，只有當該行列式中某一列(或某一行)元素零多時，才可以真正發(fā)揮作用。因此，行列式應用按行(或列)展開時，首先根據(jù)性質將某一列(或行)化為較多零元素，再開始展開[5]。例如：

例3 計算行列式

解析：該式中沒有一個零元素，如果直接展開逐步降階直到化為2階行列式計算，需要20！×20-1次乘法加法運算，根本無法完成。若果運用行列式性質將其化成有多個零元素，則可以很快計算出結果。值得注意的是，該式中相鄰兩行(或列)對應元素僅相差1，可按如下方法進行計算。

解：

2.3 運用加邊法計算行列式

有些行列式，為計算簡便需要在原基礎上加上一列一行，這種方法稱為加邊法。需注意，加邊后行列式值不變，得到高階行列式計算容易，根據(jù)行列式特點選取所加行和列，首要是觀察每一行或每列是否有相同的因子[6-7]。例如：

例4 計算行列式

解析：該行列式若主對角線元素都減去1，可以明顯看出第一行元素x1與x1,x2,…,xn相乘，第二行為x2與x1,x2,…,xn相乘，……,第n行為xn與x1,x2,…,xn相乘，這樣就可以知道行列式中每行都含有相同因子x1,x2,…,xn，所以可以運用加邊法進行計算。

說明：加邊法最大的特點是需要找出行列式中每行(或列)中相同的因子，這樣，在升階后即可根據(jù)行列式性質把大部分元素化為零，再化三角形行列式，達到簡化計算的目的。

2.4 運用乘法定理計算行列式

對行列式計算時，某些情況可以應用乘法定理，即可以將行列式表示成兩個便于計算或者已有結論的行列式的乘積，這樣可以較快計算出所給行列式的值。也有些情況，可以不用直接計算，恰當選取一個與已知行列式同階數(shù)的行列式，并計算兩行列式乘積，這樣也可以計算出所給行列式值，使計算簡化。例如：

例5 計算行列式

解：由題目可知：該行列式可以表示為如下兩行列式乘積，記為A。

由此可見：當n>2時，A=0;當n=2時，A2=(a2-a1)(b2-b1);

當n=1時，A1=1+a1b1。

3 結 論

行列式計算是線性代數(shù)中一個重要知識點，也是一個難點，且行列式計算在實際問題解決中應用廣泛，因此，目前對于行列式計算方法研究，越來越受到關注，是一個值得研究的課題。對于行列計算，還有許多特殊且很實用的計算方法，如極限法、導數(shù)法、差分法、換元法、積分法等，但這些方法用處不多，所以不加以介紹。對于常見的最基本方法，如定義法等，本文也未涉及，本文結合所學知識主要從四個不同角度分別給出四種不同的計算方法，有一定局限性，對于相同類實際問題可以有效解決，但對于某些問題，可能起不到好的作用，希望在后續(xù)研究中繼續(xù)挖掘，繼續(xù)探討。