滕曉艷,毛炳坤,江旭東
(1. 哈爾濱工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,哈爾濱 150001;2. 哈爾濱理工大學(xué)機(jī)械動(dòng)力工程學(xué)院,哈爾濱 150080)
結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)通過(guò)尋求在滿足性能最優(yōu)條件下,結(jié)構(gòu)材料在設(shè)計(jì)空間中沿最佳傳力路徑布局的拓?fù)湫问?。近三十年?lái),形成了許多基于梯度或啟發(fā)式的拓?fù)鋬?yōu)化方法,主要包括變密度法、均勻化法、變邊界法(水平集法和相場(chǎng)法)以及漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法(evolutionary structural optimization, ESO)等[1-3]。
ESO法最初由Xie和Steven提出,基于生物進(jìn)化思想,利用單元靈敏度信息逐漸刪除低效單元,從而得到優(yōu)化的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)[4]。雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法(bi-directional evolutionary structural optimization, BESO)繼承了ESO法的進(jìn)化思想,不但可以刪除結(jié)構(gòu)的低效單元,還可以在結(jié)構(gòu)中需要的部位添加高效單元,BESO方法在結(jié)構(gòu)應(yīng)力、靜剛度、頻率、屈曲以及依附性載荷問(wèn)題方面得到了廣泛的應(yīng)用[5]。但是,Zhou等[6]指出ESO法的進(jìn)化準(zhǔn)則導(dǎo)致方法存在單元過(guò)刪除問(wèn)題,通過(guò)端部彈性支撐的懸臂梁結(jié)構(gòu)的優(yōu)化問(wèn)題的求解失效驗(yàn)證了方法存在的理論缺陷。盡管Huang等[7]通過(guò)細(xì)密網(wǎng)格和設(shè)置較低進(jìn)化率解決了上述測(cè)試模型的優(yōu)化問(wèn)題,但是由此也表明 ESO法或 BESO法的進(jìn)化準(zhǔn)則存在網(wǎng)格的強(qiáng)依賴性問(wèn)題,可能導(dǎo)致優(yōu)化失敗或非最優(yōu)解。賀丹等[8]認(rèn)為單元相對(duì)密度較大的進(jìn)化步長(zhǎng)可能引起較大的靈敏度誤差,導(dǎo)致進(jìn)化準(zhǔn)則的失效??锉萚9]根據(jù)靈敏度信息評(píng)價(jià)單元對(duì)結(jié)構(gòu)性能的影響,建立單元相對(duì)密度進(jìn)化步長(zhǎng)的控制模型以調(diào)諧單元的刪除率和添加率,以避免由于誤刪單元導(dǎo)致優(yōu)化失敗。Valerio等[10-12]提出了一種基于軟殺策略的光滑漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化(smooth evolutionary structural optimization,SESO)方法,根據(jù)單元對(duì)結(jié)構(gòu)性能的貢獻(xiàn)調(diào)整單元?jiǎng)偠?,控制低效單元在結(jié)構(gòu)進(jìn)化過(guò)程中逐漸被刪除,有效解決了結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、靜剛度以及多約束優(yōu)化問(wèn)題。
結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化包括 2類設(shè)計(jì)問(wèn)題:結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性(固有頻率)優(yōu)化和結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)(振動(dòng)激勵(lì)下結(jié)構(gòu)的位移、速度、加速度、應(yīng)力和應(yīng)變能等)優(yōu)化。動(dòng)力特性拓?fù)鋬?yōu)化主要是通過(guò)提高結(jié)構(gòu)的低階固有頻率來(lái)避開外部激勵(lì)頻率,其最終目的仍然是為了實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)優(yōu)化。結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化涉及靈敏度計(jì)算、動(dòng)響應(yīng)分析以及約束函數(shù)處理等方面的問(wèn)題,優(yōu)化算法需要反復(fù)計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)對(duì)設(shè)計(jì)變量的偏導(dǎo)數(shù),對(duì)于大規(guī)模與多變量結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)優(yōu)化問(wèn)題,所消耗的計(jì)算資源往往是難以承受的[13-16]。為了有效減小結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化過(guò)程的求解規(guī)模,Park等[17]提出等效靜載荷法(equivalent static loads, ESL)將動(dòng)力學(xué)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜力學(xué)多工況優(yōu)化問(wèn)題,利用結(jié)構(gòu)線性優(yōu)化技術(shù)求解動(dòng)態(tài)線性優(yōu)化問(wèn)題。Stolpe[18]通過(guò)數(shù)學(xué)規(guī)劃法證明了ESL法滿足KKT優(yōu)化準(zhǔn)則,從數(shù)學(xué)上驗(yàn)證了優(yōu)化方法的有效性。Jang等[19]基于ESL法,以降低結(jié)構(gòu)峰值響應(yīng)為目標(biāo),研究了不同載荷特征以及動(dòng)態(tài)多工況問(wèn)題的動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化方法。Kim等[20-21]為了縮減結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化規(guī)模,將自由度縮聚方法或模型降階技術(shù)與結(jié)構(gòu)線性靜態(tài)優(yōu)化技術(shù)相融合,研究了基于系統(tǒng)縮減方法的ESL動(dòng)力響應(yīng)優(yōu)化問(wèn)題。陳濤等[22-23]針對(duì)ESL法求解結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)非線性優(yōu)化問(wèn)題收斂效率低的問(wèn)題,結(jié)合靜態(tài)線性優(yōu)化方法與最速下降法提出了ESL梯度優(yōu)化方法,解決了汽車正面碰撞關(guān)鍵結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。高云凱等[24-26]將ESL與變密度法相融合,求解了結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題;但是,低密度單元的局部偽模態(tài)和網(wǎng)格畸變使優(yōu)化過(guò)程難于收斂。
綜上,SESO的光滑漸進(jìn)優(yōu)化策略能夠有效抑制低效單元的過(guò)刪除問(wèn)題,同時(shí)采用的軟殺策略亦可避免低密度單元的局部偽模態(tài)和網(wǎng)格畸變等奇異性問(wèn)題。由此,本文以SESO靜力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化為基礎(chǔ),提出光滑雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法(smooth bi-directional evolutionary structural optimization, SBESO),求解連續(xù)結(jié)構(gòu)的頻率和動(dòng)剛度動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題。以結(jié)構(gòu)固有頻率最大化為目標(biāo),構(gòu)建基于SBESO法的頻率優(yōu)化模型。研究SBESO算法參數(shù)對(duì)收斂性及優(yōu)化解的影響。以結(jié)構(gòu)動(dòng)剛度最大化為目標(biāo),融合等效靜載荷法(ESL)與光滑雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法(SBESO),提出動(dòng)載荷作用下的結(jié)構(gòu)動(dòng)剛度優(yōu)化方法。
基于漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法,結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化的數(shù)學(xué)模型表述如下
對(duì)于傳統(tǒng)的BESO方法,通過(guò)式(1)的梯度信息評(píng)價(jià)添加/刪除單元對(duì)目標(biāo)函數(shù)變化量的影響,根據(jù)濾波后的靈敏度信息和體積約束確定當(dāng)前設(shè)計(jì)域中同時(shí)添加的單元集和刪除的單元集,相應(yīng)的漸進(jìn)優(yōu)化準(zhǔn)則為
傳統(tǒng) BESO方法中,較大的單元相對(duì)密度的進(jìn)化步長(zhǎng),導(dǎo)致利用目標(biāo)函數(shù)梯度信息確定結(jié)構(gòu)低效單元可能引起較大的系統(tǒng)誤差,引起非低效單元的誤刪除問(wèn)題,最終將造成優(yōu)化失敗或得不到最優(yōu)解。由此,將式(2)中的單元靈敏度按升序排列,中刪除率q的單元集將被刪除,中1-q的單元集將返回設(shè)計(jì)域。此外,ΓGS中的單元特性-質(zhì)量矩陣和剛度矩陣通過(guò)權(quán)重函數(shù)更新返回設(shè)計(jì)域(如圖 1 所示)。光滑雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化準(zhǔn)則及流程圖見圖1和圖2。上述方法即為光滑雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化(smooth bi-directional evolutionary structural optimization, SBESO)方法,相應(yīng)的光滑漸進(jìn)優(yōu)化準(zhǔn)則為
圖1 光滑雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法的漸進(jìn)優(yōu)化準(zhǔn)則Fig.1 Evolutionary optimization criterion of smooth bi-directional evolutionary structural optimization method
對(duì)于SBESO方法,根據(jù)式(3),結(jié)構(gòu)在第i次優(yōu)化迭代中設(shè)計(jì)域中單元j的質(zhì)量與剛度矩陣分別為
由式(4)與式(5)可以看出,權(quán)重函數(shù)根據(jù)單元對(duì)結(jié)構(gòu)性能的貢獻(xiàn)調(diào)節(jié)單元質(zhì)量與剛度矩陣,能夠保證低效單元的質(zhì)量與剛度在優(yōu)化迭代中逐漸趨向于0,進(jìn)而從結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域中漸進(jìn)刪除。因此,SBESO方法通過(guò)引進(jìn)權(quán)重函數(shù)和控制單元?jiǎng)h除率可以有效抑制單元過(guò)刪除問(wèn)題,提高漸進(jìn)優(yōu)化方法的尋優(yōu)能力。
圖2 SBESO方法優(yōu)化流程Fig.2 Optimal procedure of SBESO
根據(jù) SBESO法的漸進(jìn)優(yōu)化準(zhǔn)則,如果刪除率q=100%,則SBESO方法退化為傳統(tǒng)的BESO方法,由此式(4)、式(5)退化為
基于經(jīng)典有限元理論,結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)控制方程為
將式(6)與式(7)代入式(8)中,得到優(yōu)化結(jié)構(gòu)當(dāng)前設(shè)計(jì)域的動(dòng)力學(xué)控制方程為
結(jié)構(gòu)進(jìn)化過(guò)程中在達(dá)到體積約束后,目標(biāo)函數(shù)仍需滿足如下收斂準(zhǔn)則
式中 error為綜合目標(biāo)函數(shù)的誤差,k為當(dāng)前迭代數(shù),ε1為收斂容差,N′為整數(shù),在第迭代步的值。圖2闡明了基于光滑雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法的優(yōu)化流程。
由圖2可知,則SBESO優(yōu)化步驟如下所述:1)設(shè)置SBESO的刪除率q、進(jìn)化率ER、目標(biāo)體積V*、單元靈敏度過(guò)濾半徑 rmin、權(quán)重函數(shù)等算法參數(shù),利用有限元網(wǎng)格離散初始設(shè)計(jì)域;2)定義位移邊界約束條件和載荷,對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元分析,計(jì)算所有單元的靈敏度;3)按照靈敏度的大小設(shè)置閥值,按照閥值把所有單元?jiǎng)澐譃?個(gè)區(qū)域Γi,ΓGS,ΓLS;4)向當(dāng)前設(shè)計(jì)域中添加Γi區(qū)域中的單元,完全移除ΓLS區(qū)域中的單元,按照權(quán)重函數(shù)η()修改Γ 區(qū)域內(nèi)的單元質(zhì)量與剛度矩陣;5)重復(fù)GS步驟 2)~4),直至在結(jié)構(gòu)同時(shí)達(dá)到目標(biāo)體積和滿足收斂準(zhǔn)則時(shí)終止優(yōu)化過(guò)程。
以結(jié)構(gòu)l階固有頻率最大為目標(biāo),則基于SBESO方法的結(jié)構(gòu)頻率優(yōu)化模型表述為
式中ωl為結(jié)構(gòu)l階固有頻率,φl(shuí)為結(jié)構(gòu)l階歸一化振型。
對(duì)于無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng),優(yōu)化結(jié)構(gòu)的固有頻率可表示為Rayleigh商形式,則有
通過(guò)式(12)計(jì)算目標(biāo)頻率對(duì)設(shè)計(jì)變量的偏導(dǎo)數(shù),得到單元的靈敏度,表示為
由此,聯(lián)立式(13)、式(4)和式(5),解算結(jié)構(gòu)頻率靈敏度。結(jié)合頻率梯度信息,根據(jù)單元進(jìn)化準(zhǔn)則,對(duì)低效單元進(jìn)行刪除。
以兩端簡(jiǎn)支薄板結(jié)構(gòu)的一階固有頻率最大化為優(yōu)化目標(biāo),目標(biāo)體積為總體積的 50%。薄板結(jié)構(gòu)初始設(shè)計(jì)域的幾何尺寸為240 mm×30 mm(如圖3所示),材料的楊氏模量為 E=10 GPa,泊松比為 μ=0.3,材料的密度ρ=1×103kg/m3。利用 4節(jié)點(diǎn)雙線性平面應(yīng)力單元將結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域劃分為240×30個(gè)單元,采用的權(quán)重函數(shù)為線性函數(shù),SBESO算法參數(shù)為:刪除率q=40%~100%,ε1=0.02,靈敏度過(guò)濾半徑rmin=5 mm,懲罰因子p=3。
圖3 兩端簡(jiǎn)支薄板結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3 Schematic diagram of plate simply supported along both ends
BESO方法與SBESO方法優(yōu)化后的頻率幾乎相等,2種方法的頻率值均隨迭代過(guò)程單調(diào)增加(除躍變點(diǎn)外),漸進(jìn)收斂到最優(yōu)值(如圖4所示)。對(duì)于BESO方法,單元過(guò)刪除(刪除率q=100%)引起優(yōu)化過(guò)程中的結(jié)構(gòu)拓?fù)涞牟贿B續(xù),進(jìn)而形成頻率值在迭代過(guò)程中躍變?yōu)榱泐l率的現(xiàn)象。對(duì)于SBESO方法,隨著刪除率的降低(刪除率 q=70%~40%),誤刪除的低效單元逐漸減少,致使迭代過(guò)程中頻率值的躍變現(xiàn)象隨著單元?jiǎng)h除率的減少逐漸得到抑制;同時(shí),結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)形與也隨單元?jiǎng)h除率的減少逐漸逼近于同一構(gòu)形。
圖4 刪除率q對(duì)頻率優(yōu)化拓?fù)渑c收斂過(guò)程的影響Fig.4 Effect of deletion rate q on optimal topology of frequency and corresponding process
對(duì)比分析權(quán)重函數(shù)(常函數(shù)、線性函數(shù)和正弦函)的光滑性對(duì) SBESO結(jié)構(gòu)優(yōu)化拓?fù)錁?gòu)形及收斂過(guò)程的影響。由于常函數(shù)權(quán)重函數(shù)的光滑性最差,致使單元過(guò)刪除的抑制效果不顯著和頻率值躍變現(xiàn)象的存在,SBESO優(yōu)化拓?fù)錁?gòu)形(圖5b所示)接近于BESO方法的優(yōu)化結(jié)果(圖4a所示)。但是,線性和正弦權(quán)重函數(shù)的光滑性顯著增強(qiáng),有效抑制了單元過(guò)刪除問(wèn)題,致使低效單元逐漸被刪除和迭代過(guò)程更光滑,均收斂于同一最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)(圖4d和5a所示)。由此,采用線性和正弦權(quán)重函數(shù)更有利于獲得結(jié)構(gòu)最優(yōu)拓?fù)浣狻?/p>
圖5 不同權(quán)重函數(shù)對(duì)優(yōu)化拓?fù)渑c收斂過(guò)程的影響(q=40%)Fig.5 Effect of weight function on optimal topology and corresponding process (q=40%)
動(dòng)剛度優(yōu)化作為結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)優(yōu)化問(wèn)題,旨在降低結(jié)構(gòu)在振動(dòng)激勵(lì)下的應(yīng)變能來(lái)實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力性能優(yōu)化。由于結(jié)構(gòu)動(dòng)柔度(即應(yīng)變能)是全局剛度的逆測(cè)度,因此,動(dòng)載荷作用下結(jié)構(gòu)動(dòng)剛度優(yōu)化數(shù)學(xué)模型表述如下[25]
式中常數(shù)m表示總時(shí)間步。對(duì)于式(14)表述的大規(guī)模的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題,傳統(tǒng)的基于梯度的優(yōu)化算法需要反復(fù)計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)響應(yīng)和約束函數(shù)對(duì)設(shè)計(jì)變量的偏導(dǎo)數(shù),而啟發(fā)式優(yōu)化算法不需要目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的梯度信息,但需要計(jì)算函數(shù)值,從而不可避免地進(jìn)行大規(guī)模結(jié)構(gòu)分析,上述2種方法使得計(jì)算資源的消耗是難以承受的。
等效靜載荷法的優(yōu)化過(guò)程由分析域(外層循環(huán))和設(shè)計(jì)域(內(nèi)層循環(huán))組成(如圖 6所示)。分析域進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析,得到結(jié)構(gòu)各時(shí)間步的位移場(chǎng);設(shè)計(jì)域根據(jù)位移響應(yīng)計(jì)算等效靜載荷,按時(shí)間步將等效靜載荷處理為多載荷工況,實(shí)施線性靜態(tài)優(yōu)化,然后更新設(shè)計(jì)變量返回到設(shè)計(jì)域重新計(jì)算。
圖6 等效靜載荷法的基本思想Fig.6 Fundamental principle of equivalent static loads method
在內(nèi)層循環(huán)的第一次迭代中,結(jié)構(gòu)初始靜態(tài)位移場(chǎng)與動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析的位移場(chǎng)是完全相同的。通過(guò)式(9),可以確定任一時(shí)間步的動(dòng)態(tài)位移場(chǎng) ()t*u ,則基于位移場(chǎng)等效原理獲得等效靜載荷eq()t*f
對(duì)于無(wú)阻尼振動(dòng)系統(tǒng),系統(tǒng)的特征方程表示為
盡管式(17)可精確計(jì)算結(jié)構(gòu)的等效靜載荷,但是,它需要完成模態(tài)分析和非常昂貴的瞬態(tài)分析以及代數(shù)方程組計(jì)算。因此,為了減少動(dòng)響應(yīng)問(wèn)題的計(jì)算規(guī)模,通過(guò)一種等效靜載荷的近似計(jì)算方法,將等效靜載荷僅施加于實(shí)際動(dòng)載荷作用的附近區(qū)域節(jié)點(diǎn),即假設(shè)等效靜載荷存在如下l個(gè)非零分量,則有
將式(18)代入式(17),則有
因此,基于等效靜載荷法,則式(14)描述的結(jié)構(gòu)動(dòng)剛度優(yōu)化模型轉(zhuǎn)化為靜態(tài)線性多工況剛度優(yōu)化模型,則有
基于SBESO方法,結(jié)合靜態(tài)線性多工況剛度優(yōu)化模型的靈敏度計(jì)算,得到式(20)的靈敏度計(jì)算公式,表示為
為了保證單元相對(duì)密度在優(yōu)化過(guò)程中的收斂性,定義單元相對(duì)密度的收斂準(zhǔn)則
結(jié)合 ESL方法和 SBESO方法,提出連續(xù)體結(jié)構(gòu)動(dòng)剛度優(yōu)化算法。主要優(yōu)化流程如下:1)設(shè)置優(yōu)化算法參數(shù)與初始設(shè)計(jì)變量,定義結(jié)構(gòu)初始設(shè)計(jì)域的幾何形式、外載荷與位移邊界條件,建立結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)分析有限元模型;2)基于位移場(chǎng)等效原理,利用式(15)解算結(jié)構(gòu)在外部激振力作用下的等效靜載荷,按時(shí)間步將等效靜載荷處理為多工步外載荷,根據(jù)式(21)計(jì)算單元靈敏度,進(jìn)行靜態(tài)線性多工況剛度優(yōu)化;3)根據(jù)靜態(tài)線性優(yōu)化結(jié)果更新設(shè)計(jì)變量,按照式(4)和式(5)返回單元質(zhì)量與剛度矩陣。重復(fù)上述步驟,直到最后剩余單元同時(shí)滿足體積約束以及式(10)和式(22)的收斂準(zhǔn)則。
以一端固定薄板結(jié)構(gòu)的動(dòng)剛度最大化為優(yōu)化目標(biāo),目標(biāo)體積為總體積的 50%。薄板結(jié)構(gòu)初始設(shè)計(jì)域的幾何尺寸為120 mm×30 mm,右端承受簡(jiǎn)諧載荷 ()ft~ 的作用(如圖7所示)。材料的楊氏模量為E=2 GPa,泊松比為μ=0.3,材料的密度ρ=4.8×103kg/m3。利用4節(jié)點(diǎn)雙線性平面應(yīng)力單元將結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域劃分為120×30個(gè)單元,采用的權(quán)重函數(shù)為線性函數(shù),SBESO算法參數(shù)為:刪除率q=60%~100%,error=0.02,靈敏度過(guò)濾半徑rmin=3 mm,懲罰因子p=3。
圖7 薄板結(jié)構(gòu)的動(dòng)剛度拓?fù)鋬?yōu)化Fig.7 Topology optimization of dynamic stiffness of thin plate
BESO方法與SBESO方法優(yōu)化后的動(dòng)柔順度幾乎相等,2種方法均漸進(jìn)收斂到最優(yōu)值(如圖8所示)。
對(duì)于BESO方法,單元過(guò)刪除(刪除率q=100%)問(wèn)題致使部分非低效單元在迭代過(guò)程中誤刪除,并且無(wú)法有效控制低效單元在優(yōu)化過(guò)程中逐漸被刪除,拓?fù)錁?gòu)形可能陷入某一低效最優(yōu)解,優(yōu)化構(gòu)形的邊界比較粗糙;而對(duì)于SBESO方法,能夠控制低效單元在優(yōu)化過(guò)程中質(zhì)量與剛度逐漸趨向于0,進(jìn)而從設(shè)計(jì)域中逐漸刪除,同時(shí)使得迭代過(guò)程中結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)形隨單元?jiǎng)h除率的減少其結(jié)構(gòu)邊界逐漸光滑,而且逼近于同一構(gòu)形。
圖8 刪除率q對(duì)動(dòng)剛度優(yōu)化拓?fù)渑c收斂過(guò)程的影響Fig.8 Effect of deletion rate q on optimal topology of dynamic stiffness and corresponding process
針對(duì) BESO方法的單元過(guò)刪除問(wèn)題,提出一種低效單元的光滑刪除策略,求解了結(jié)構(gòu)頻率優(yōu)化和動(dòng)剛度優(yōu)化問(wèn)題,獲得了如下研究結(jié)論:
1)研究了一種基于光滑雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化(smooth bi-directional evolutionary structural optimization, SBESO)方法的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化方法。與雙向漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化(bi-directional evolutionary structural optimization, BESO)方法相比,SBESO方法可以調(diào)節(jié)單元?jiǎng)h除率和權(quán)重函數(shù),控制低效單元在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)域中逐漸被刪除,有效抑制了單元的過(guò)刪除問(wèn)題,其優(yōu)化算法具有一定的魯棒性和適應(yīng)性。
2)提出了一種基于 SBESO方法的頻率優(yōu)化方法。SBESO方法與BESO方法優(yōu)化后的頻率幾乎相等,但是前者隨著單元?jiǎng)h除率的減少使結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)形逐漸逼近于同一構(gòu)形。對(duì)比分析了權(quán)重函數(shù)(常函數(shù)、線性函數(shù)和正弦函)的光滑性對(duì)結(jié)構(gòu)優(yōu)化的影響,線性函數(shù)和正弦函數(shù)的光滑性強(qiáng)于常函數(shù),致使迭代過(guò)程更加光滑,均收斂于同一最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。由此,采用線性和正弦權(quán)重函數(shù)更有利于獲得結(jié)構(gòu)最優(yōu)拓?fù)浣狻?/p>
3)將等效靜載荷方法與 SBESO方法相融合,提出動(dòng)載荷作用下結(jié)構(gòu)的動(dòng)剛度優(yōu)化方法。能夠控制低效單元在優(yōu)化過(guò)程中質(zhì)量與剛度逐漸趨向于零,進(jìn)而從設(shè)計(jì)域中逐漸被刪除,同時(shí)使得迭代過(guò)程中結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化構(gòu)形隨單元?jiǎng)h除率的減少其結(jié)構(gòu)邊界逐漸光滑,而且逼近于同一構(gòu)形。
因此,本文提出的SBESO方法抑制了BESO方法的過(guò)刪除問(wèn)題,進(jìn)一步完善了 BESO方法的優(yōu)化準(zhǔn)則,對(duì)于解決連續(xù)體結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題具有較為重要的理論意義。