錢守旺

本專輯的主題是“在概念教學(xué)中滲透對(duì)學(xué)生抽象思維的培養(yǎng)”，首先我們搞清楚什么是數(shù)學(xué)概念，什么是數(shù)學(xué)思維，什么是抽象思維。

一、關(guān)于數(shù)學(xué)概念

數(shù)學(xué)概念是客觀現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人們頭腦中的反映。數(shù)學(xué)概念一般由內(nèi)涵和外延兩部分組成。數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵是概念“質(zhì)”的反映，外延則是“量”的反映，兩者相互依存，共同構(gòu)成數(shù)學(xué)概念統(tǒng)一而不可分割的兩個(gè)方面。

小學(xué)數(shù)學(xué)概念是小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，也是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點(diǎn)之一，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的基本單位，是理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的起點(diǎn)，是構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)框架的基石。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念是掌握其他知識(shí)內(nèi)容的基礎(chǔ)。例如，分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)，就是今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)加減法、分?jǐn)?shù)應(yīng)用問(wèn)題、比、百分?jǐn)?shù)的重要基礎(chǔ)。

兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，一般有兩種方式，即概念形成和概念同化。這兩種方式也是相互聯(lián)系的，一般認(rèn)為初級(jí)階段采用概念形成，高級(jí)階段使用概念同化。形成是指?jìng)€(gè)體在接觸具體事物中通過(guò)辨別、抽象、分化、提出假設(shè)與檢驗(yàn)假設(shè)、概括等過(guò)程獲得了一類事物的關(guān)鍵屬性。同化是事物的關(guān)鍵屬性以定義的方式出現(xiàn)或體現(xiàn)在上下文中。例如，學(xué)生學(xué)習(xí)“平行四邊形”這一概念，教材給出的定義是“平行四邊形是兩組對(duì)邊平行且相等的四邊形”。學(xué)生首先接受新概念（平行四邊形），并與自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的知識(shí)（四邊形）聯(lián)系起來(lái)，把新概念作為原有概念的下位概念而納入概念體系;其次，他們必須精確分化新概念和原有的有關(guān)概念（如梯形、四邊形等）;最后，他們還需要使一般四邊形、平行四邊形、梯形等有關(guān)概念融合，形成一個(gè)概念體系，以便于記憶和運(yùn)用。

二、關(guān)于數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)思維在小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要作用。沒(méi)有數(shù)學(xué)思維，就沒(méi)有真正的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。小學(xué)生思維是一種心理活動(dòng)的歷程。數(shù)學(xué)思考貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程之中，數(shù)學(xué)教師應(yīng)該使學(xué)生能夠認(rèn)識(shí)并掌握數(shù)學(xué)思考的基本方法，如歸納、類比、猜想與論證等;使學(xué)生根據(jù)已有事實(shí)進(jìn)行數(shù)學(xué)推測(cè)、論斷和解釋，逐步養(yǎng)成“推理有據(jù)”的習(xí)慣，能夠反思自己的思考過(guò)程;使他們能夠理解他人的思考方式和推理過(guò)程，并能與他人進(jìn)行溝通。

抽象概括是形成概念的思維過(guò)程和科學(xué)方法。通過(guò)抽象概括，使兒童對(duì)事物的感性認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)化為理性認(rèn)識(shí)，沒(méi)有抽象概括，就不能實(shí)現(xiàn)這個(gè)轉(zhuǎn)化，因此抽象概括也是思維過(guò)程的核心。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，無(wú)論是概念學(xué)習(xí)、規(guī)則學(xué)習(xí)還是解決問(wèn)題學(xué)習(xí)，必須進(jìn)行一系列的抽象概括活動(dòng)，因此數(shù)學(xué)抽象概括能力是數(shù)學(xué)能力的主要構(gòu)成因素。抽象概括能力強(qiáng)的學(xué)生，對(duì)數(shù)學(xué)材料概括迅速、全面而深刻，能正確地揭示數(shù)學(xué)材料的本質(zhì)屬性。而抽象概括能力差的學(xué)生，學(xué)習(xí)中概括不全面、不深刻，不能抓住數(shù)學(xué)材料的本質(zhì)屬性，往往易受非本質(zhì)屬性的干擾，甚至把非本質(zhì)屬性代替本質(zhì)屬性。

造成學(xué)生抽象概括能力差異的原因主要有：①對(duì)數(shù)學(xué)材料的觀察能力較差，沒(méi)有足夠的感性材料作為抽象概括的基礎(chǔ)，影響了抽象概括能力的發(fā)展。②不善于對(duì)數(shù)學(xué)材料進(jìn)行比較，就不能區(qū)別數(shù)學(xué)材料的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性，也就不能抽象。③缺少概括的動(dòng)機(jī)，一些學(xué)生只滿足于知識(shí)的結(jié)論，不愿通過(guò)自己的積極思維，抽象概括出學(xué)習(xí)材料的本質(zhì)屬性。

三、概念教學(xué)中如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

概念學(xué)習(xí)過(guò)程，就是對(duì)客觀事物的本質(zhì)屬性進(jìn)行抽象概括的過(guò)程，也是舍棄事物非本質(zhì)屬性的過(guò)程。特別是一些較難的數(shù)學(xué)概念，教學(xué)時(shí)需要一個(gè)深入細(xì)致的探究過(guò)程。根據(jù)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)和兒童的認(rèn)知特點(diǎn)，教學(xué)時(shí)要注意以下幾點(diǎn)。

1. 遵循兒童的認(rèn)知規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生抽象、概括出所學(xué)概念的本質(zhì)特征。數(shù)學(xué)內(nèi)容是一個(gè)有著密切聯(lián)系的整體，新學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容總是建立在已學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容基礎(chǔ)上的。學(xué)生在新學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)學(xué)概念時(shí)，很可能用到原有的知識(shí)，教學(xué)時(shí)可以先回顧這些相關(guān)知識(shí)，再引入新學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，自主地“發(fā)現(xiàn)”概念是掌握概念、理解數(shù)學(xué)概念間相關(guān)性的一種有效途徑。把概念教學(xué)設(shè)計(jì)成學(xué)生在教師指導(dǎo)下的發(fā)現(xiàn)活動(dòng)，對(duì)學(xué)生思維、能力的發(fā)展具有極為重要的意義。

2. 注意正確地理解所學(xué)的概念。教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，學(xué)生對(duì)某一概念的理解常常顯示出不同的水平，盡管他們都參加同樣的活動(dòng)如操作、比較、抽象和概括等。有些學(xué)生甚至可能完全沒(méi)有理解概念的本質(zhì)特征。這就需要檢查所有的學(xué)生是否理解所學(xué)的概念。

3. 掌握概念間的聯(lián)系和區(qū)別。學(xué)習(xí)概念，關(guān)鍵是要掌握它的內(nèi)涵和外延。比較所學(xué)的概念并弄清它們的區(qū)別，可以使學(xué)生深刻地理解這些概念，并消除彼此間的混淆。數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一是邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性，數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系十分緊密。尋找概念之間的縱向與橫向聯(lián)系，組成概念系統(tǒng)，有助于概念的理解和深化，便于提取和運(yùn)用。同時(shí)，建立概念的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，使數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，也有助于知識(shí)遷移，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

4. 重視概念的應(yīng)用。學(xué)習(xí)概念的應(yīng)用有助于學(xué)生進(jìn)一步加深理解所學(xué)的概念，把數(shù)學(xué)知識(shí)同實(shí)際聯(lián)系起來(lái)，并且發(fā)展學(xué)生的邏輯思維。學(xué)生在理解概念時(shí)，有時(shí)會(huì)出現(xiàn)一些對(duì)概念的誤解。教師應(yīng)該把這種情況看作是一種正常的現(xiàn)象，因?yàn)槊恳粋€(gè)新概念的建構(gòu)都必須經(jīng)過(guò)自我調(diào)整階段，所以幫助學(xué)生如何主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并主動(dòng)重新建構(gòu)新概念才是最重要的。

四、APOS理論下的概念教學(xué)模式

20世紀(jì)末，美國(guó)數(shù)學(xué)教育學(xué)家杜賓斯基等人在數(shù)學(xué)教育研究的實(shí)踐過(guò)程中提出了APOS理論。該理論起源于作者試圖對(duì)皮亞杰的“反思性抽象”理論進(jìn)行拓展，這是一種關(guān)于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的理論，也是一種建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論。APOS理論指出在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過(guò)程中，一般要經(jīng)歷四個(gè)階段。

第一階段——操作階段。概念不能由教師簡(jiǎn)單地傳授給學(xué)生，而要靠學(xué)生依據(jù)已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)主動(dòng)地建構(gòu)，因此概念的引入情境就顯得非常重要。設(shè)置問(wèn)題情境要注意以下四個(gè)方面：①能有助于概念的現(xiàn)實(shí)背景和形成過(guò)程的揭示;②適合學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，使學(xué)習(xí)活動(dòng)能順利展開(kāi);③適當(dāng)?shù)膯?wèn)題數(shù)量，使學(xué)生能獲得充足的活動(dòng)體驗(yàn);④要有趣味性，可以用多種多樣的形式引起全體學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。操作階段一定離不開(kāi)具體形象的學(xué)習(xí)材料及學(xué)生參與的動(dòng)手、動(dòng)腦活動(dòng)。

第二階段——過(guò)程階段。如果說(shuō)操作活動(dòng)是讓學(xué)生尋找學(xué)習(xí)的大門(mén)，那么對(duì)操作活動(dòng)進(jìn)行思考則是找到打開(kāi)學(xué)習(xí)大門(mén)的鑰匙。在這一階段，教師可引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中對(duì)前面的操作活動(dòng)進(jìn)行描述和反思，建立與概念的聯(lián)系，初步經(jīng)歷關(guān)于概念的思維內(nèi)化、壓縮過(guò)程，逐步抽象出操作活動(dòng)所特有的性質(zhì)。教師要給予適當(dāng)?shù)奶崾尽⒔ㄗh，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)思維運(yùn)算、反省和抽象，對(duì)概念所具有的直觀背景和形式定義進(jìn)行必要的綜合，從而比較順利地完成由“操作”到“過(guò)程”的轉(zhuǎn)型。

第三階段——對(duì)象階段。對(duì)象階段是對(duì)前面“操作”與“過(guò)程”的抽象，認(rèn)識(shí)到了概念的本質(zhì)，對(duì)其賦予形式化的定義，使其達(dá)到精致化，成為一個(gè)具體的對(duì)象，在以后的學(xué)習(xí)中以此為對(duì)象去進(jìn)行新的活動(dòng)。教師一定要意識(shí)到一點(diǎn)：一個(gè)數(shù)學(xué)概念由“過(guò)程”到“對(duì)象”的建立大多數(shù)時(shí)候是既困難又漫長(zhǎng)的，“過(guò)程”到“對(duì)象”的抽象需要經(jīng)過(guò)多次反復(fù)、循序漸進(jìn)、螺旋上升，直至學(xué)生真正理解概念。所以，除了關(guān)于概念意義的簡(jiǎn)潔表述外，還要增加一些學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)的例子，使學(xué)生在頭腦中建立起的概念不但精致而且更具直觀結(jié)構(gòu)形象。

第四階段——概型階段。概型階段是概念學(xué)習(xí)的最高層面。概型的形成要經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)活動(dòng)來(lái)完善，起初的概型包含反映概念的特例、抽象過(guò)程、定義及符號(hào)，經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)建立起與其他概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系，最后在頭腦中形成關(guān)于這個(gè)概念的綜合的心理圖式。概念教學(xué)的高級(jí)目標(biāo)就是讓學(xué)生在頭腦中形成關(guān)于概念的綜合心理圖式，使概念以個(gè)性化的方式存在于不同學(xué)生的頭腦中，并在學(xué)生原有知識(shí)結(jié)構(gòu)中擁有豐富的知識(shí)的“場(chǎng)”。

以上四個(gè)學(xué)習(xí)階段反映了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過(guò)程中真實(shí)的思維活動(dòng)，應(yīng)當(dāng)循序漸進(jìn)，一般不能逾越，也不能只停留在具體、直觀、視覺(jué)化的階段，必須逐級(jí)地反省、抽象，最后完成數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)。

歸納概念是建立概念的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，也是訓(xùn)練學(xué)生思維的重要環(huán)節(jié)。教師應(yīng)放手讓學(xué)生自己歸納概念的意義。盡管學(xué)生的歸納可能不全面、不確切或者表達(dá)不清，但畢竟是學(xué)生自己開(kāi)動(dòng)腦筋積極思考的結(jié)果。教師可以針對(duì)學(xué)生表達(dá)不準(zhǔn)確的地方進(jìn)行補(bǔ)充。這樣既可使學(xué)生看到自己思考?xì)w納的成果，又可以看到自己的不足，從中逐步提高歸納和概括的能力。

教師在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中還應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題。第一，無(wú)論是從實(shí)際引入，還是從已知引入，學(xué)生獲得概念都必須經(jīng)過(guò)從具體形象到抽象過(guò)渡這一過(guò)程。教師應(yīng)該設(shè)計(jì)多樣化的活動(dòng)，讓學(xué)生主動(dòng)積極地參與到學(xué)習(xí)活動(dòng)中去。第二，概念本質(zhì)屬性只有一個(gè)，但可以有不同的表達(dá)。當(dāng)學(xué)生初步建立概念后，教師應(yīng)注意讓學(xué)生把概念用自己的語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，加深對(duì)概念的理解。教師也可以采用不同的方式敘述概念。如果學(xué)生對(duì)各種不同形式的敘述和表達(dá)都能理解和掌握，那么學(xué)生的思維能力、數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力也會(huì)得到發(fā)展。但也要注意，由于學(xué)習(xí)活動(dòng)必須經(jīng)歷一個(gè)由淺入深，由易到難的認(rèn)知過(guò)程，如果過(guò)早地采用這種“變式”教學(xué)，學(xué)生因缺乏相應(yīng)的感性經(jīng)驗(yàn)作支柱，反而會(huì)增加學(xué)生學(xué)習(xí)中的困難。

總之，小學(xué)生數(shù)學(xué)概念的建立是學(xué)生主體進(jìn)行思維的一個(gè)復(fù)雜活動(dòng)。教學(xué)中，要依據(jù)小學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，從直觀引入，從感知表象再進(jìn)行抽象（概念的形成），從已知到未知（概念的同化），逐步建立概念。教師要通過(guò)點(diǎn)撥、引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生，組織學(xué)生通過(guò)嘗試、自學(xué)、操作、討論、質(zhì)疑、交流等學(xué)習(xí)途徑，由學(xué)生自己總結(jié)，表達(dá)新知識(shí)，教師再作進(jìn)一步的補(bǔ)充與完善。教師要運(yùn)用靈活、多樣的教學(xué)方法，從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，幫助學(xué)生理解概念。同時(shí)注意要從抽象回到具體，在實(shí)際運(yùn)用中鞏固和深化概念，組成概念的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而使學(xué)生能在掌握數(shù)學(xué)概念的同時(shí)，發(fā)展數(shù)學(xué)能力。

（作者單位：北京市朝陽(yáng)區(qū)教育研究中心）