周君斌

抽象是一種重要的數(shù)學(xué)思維。在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中，學(xué)生要經(jīng)歷從具體到抽象再到具體的認(rèn)知過(guò)程，逐步達(dá)到對(duì)概念的真正理解。也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)概念的建立，離不開(kāi)抽象這一重要環(huán)節(jié)。那么，在數(shù)學(xué)概念感知與建構(gòu)的過(guò)程中，如何有效提升學(xué)生抽象思維水平呢？筆者認(rèn)為，可以從以下四個(gè)方面入手。

一、借助“表征”，為抽象提供直觀支持

抽象離不開(kāi)直觀的支持，因此，我們要給學(xué)生提供直觀材料。這個(gè)材料可以由教師自己提供，也可以由學(xué)生生成。例如，乘法是求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算，它可以用更抽象、更概括的“幾個(gè)幾”的方式進(jìn)行表達(dá)。相對(duì)于后面的“幾”（相同加數(shù)）而言，前面的“幾”（相同加數(shù)的個(gè)數(shù)）是看不見(jiàn)摸不著的，學(xué)生理解起來(lái)必須依靠直觀的支撐。因此，上課開(kāi)始，教師先是直接揭題，讓學(xué)生表達(dá)對(duì)于“乘法”的了解。然后讓學(xué)生依賴自身已有的經(jīng)驗(yàn)，畫圖表示自己所想的“3×4”的意思。結(jié)果，學(xué)生有用加法模型（只畫了1個(gè)3和1個(gè)4）表示的，有用聚集模型（等量組）表示的，有用矩形模型表示的。這樣，教師便可順勢(shì)介入，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)乘法的含義進(jìn)行抽象與概括。（圖1）

學(xué)生的反饋過(guò)程，重點(diǎn)交流了“3在哪里”與“4在哪里”，并通過(guò)圈一圈（“3”在哪里）、數(shù)一數(shù)（“4”在哪里）、說(shuō)一說(shuō)等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生逐步抽象出“幾個(gè)幾”。但需要注意的是，畫圖只是手段和途徑，乘法含義的抽象與表達(dá)才是真正的目的。

二、借助“比較”，舍棄非本質(zhì)特征

北京教育學(xué)院劉加霞教授指出，有相同之處與不同之處的學(xué)習(xí)素材，才能促進(jìn)學(xué)生真正的觀察、發(fā)現(xiàn)、抽象與概括。進(jìn)一步來(lái)說(shuō)，這樣的學(xué)習(xí)素材可以使學(xué)生在比較中舍去不同的、非本質(zhì)的特征，找到共同的、本質(zhì)的特征，異中求同，揭開(kāi)概念的本質(zhì)。例如，在教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”這一內(nèi)容時(shí)，筆者就通過(guò)讓學(xué)生用同樣圖形（長(zhǎng)方形）折出個(gè)，生成有相同之處與不同之處的學(xué)習(xí)素材。

【教學(xué)片段】用長(zhǎng)方形紙片折一折，表示出個(gè)

師：教學(xué)進(jìn)行至借助平分1個(gè)月餅認(rèn)知個(gè)后。我們知道生活中的月餅有的是圓形的，也有的是方形的?，F(xiàn)在就用長(zhǎng)方形紙片表示方形月餅，你能通過(guò)折一折、畫一畫，表示出個(gè)嗎？

在學(xué)生動(dòng)手操作后，教師展示學(xué)生作品。

師：他們都表示出了個(gè)月餅嗎？（是）

師：請(qǐng)每個(gè)同學(xué)仔細(xì)觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？

師：他們的分法不一樣，得到的形狀也都不一樣，但只要把它平均分成了2份，每人就能得到個(gè)。

上面的操作展示重點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)多樣化折法的背后隱藏著的相同點(diǎn)，即都是平均分成了2份，涂色的都是1份。這樣，學(xué)生在比較中自己揭示了現(xiàn)象的本質(zhì)——只要把一個(gè)月餅平均分成2份，其中1份的大小就是個(gè)。

三、借助“變化”，著眼于量性特征

從具體形象到抽象概括，需要引導(dǎo)學(xué)生具備“將豐富的感覺(jué)材料去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的改造制作功夫”，使學(xué)生真正完全舍棄事物的一切物理屬性，而僅僅著眼于它們的量性特征。例如，“倍”是由兩個(gè)數(shù)量相比較而產(chǎn)生的，是兩個(gè)量比較的結(jié)果。因而，它是看不見(jiàn)摸不著的，需要提供直觀的材料讓學(xué)生感悟與理解。在本課教學(xué)設(shè)計(jì)中，通過(guò)對(duì)“哪幅圖表示第二行是第一行的4倍”這一問(wèn)題的討論，教師可以設(shè)計(jì)兩類“變化”，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)素材的多次應(yīng)用，逐步實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維認(rèn)知由“表面”走向“深刻”。

一是借助標(biāo)準(zhǔn)量不變，比較量變化，拓展認(rèn)知“幾倍”。在解決“白蘿卜個(gè)數(shù)是胡蘿卜的2倍”這一基本倍數(shù)關(guān)系后，通過(guò)不斷增加白蘿卜的份數(shù)，引出3倍、4倍。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察比較三幅圖，進(jìn)一步抽象出“它們都是把2根胡蘿卜看作一份，作為標(biāo)準(zhǔn)，白蘿卜有這樣的幾份就是它的幾倍”。在這里，歸納與整理為抽象提供了幫助。

二是借助比較量不變，標(biāo)準(zhǔn)量變化，感受標(biāo)準(zhǔn)的重要性。當(dāng)學(xué)生理解“瓢蟲的只數(shù)是蝸牛的2倍”后，教師就追問(wèn)學(xué)生：“如果我不想把4只蝸?？醋饕环?，你覺(jué)得蝸牛還可以幾只為一份呢？”同時(shí)，讓學(xué)生用三角形代替蝸牛在練習(xí)紙上畫一畫、圈一圈，并說(shuō)一說(shuō)它們的倍數(shù)關(guān)系。教師在巡視指導(dǎo)過(guò)程中，如果發(fā)現(xiàn)沒(méi)有學(xué)生想到以8只（或1只）蝸牛為一份，便可以在反饋基本倍數(shù)關(guān)系后，追問(wèn)學(xué)生：“除了把2只蝸牛、4只蝸?？醋饕环萃?，還有不同的想法嗎？”引導(dǎo)個(gè)別思維活躍的學(xué)生說(shuō)出“以8只（或1只）蝸牛為一份”。教師通過(guò)學(xué)生對(duì)“幾只蝸牛為一份？瓢蟲也有這樣的幾份？它們的關(guān)系怎么說(shuō)？”等問(wèn)題的回答，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知特殊倍數(shù)關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步抽象出“如果我們把標(biāo)準(zhǔn)定好了，只要瓢蟲的只數(shù)有幾個(gè)這樣的標(biāo)準(zhǔn)，就是它的幾倍”，凸顯比的標(biāo)準(zhǔn)的重要性。

四、借助“辨析”，強(qiáng)化本質(zhì)的特征

教學(xué)中不能都只呈現(xiàn)正例，也需要提供反例，讓學(xué)生在正反辨析中深入地認(rèn)知概念的本質(zhì)特征。例如，“乘法的初步認(rèn)識(shí)”內(nèi)容的教學(xué)，筆者在引導(dǎo)學(xué)生理解“3×4”表示的含義之后，安排了一道對(duì)比判斷練習(xí)，讓學(xué)生判斷哪一幅圖不能用乘法表示，目的是讓學(xué)生在正反對(duì)比辨析中進(jìn)一步揭示出乘法的本質(zhì)。

【教學(xué)片段】哪一幅圖（圖2）不能用乘法表示

師：③為什么不可以？

生：因?yàn)樗鼈兌疾皇峭瑯拥摹?/p>

師：誰(shuí)聽(tīng)到了一個(gè)很重要的詞？對(duì)，乘法需要“同樣”的數(shù)。（板書：同樣的數(shù)）

師：（手指③）它有沒(méi)有？那②不就有同樣的數(shù)嗎？你看，幾？（9）幾？（9）為什么它不可以？

生：因?yàn)樗竺孢€有個(gè)6。

生：只要一個(gè)數(shù)跟前面的不一樣，就不能用乘法。

生：必須每個(gè)數(shù)都一樣，才能用乘法。

師：你們的意思是說(shuō)，同樣的數(shù)還要每個(gè)都一樣。（板書：每個(gè)）一個(gè)不一樣都不行。

師：（手指②）那把它怎么改就可以了？

生：把最后的6改成9。

生：還可以把前面的3個(gè)9，每個(gè)9都去掉3個(gè)。

師：可不可以？（可以）那你們看，現(xiàn)在都可以用乘法了嗎？（可以）

概念教學(xué)就是一個(gè)幫助學(xué)生逐漸學(xué)會(huì)抽象，最后領(lǐng)悟本質(zhì)的過(guò)程。教師不能采用直接告知的方式，而要設(shè)計(jì)幫助學(xué)生“舍棄”的過(guò)程，借助表征、比較、變化、辨析等手段，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地把不同的、非本質(zhì)的特征完全舍棄，得到共同的、本質(zhì)的特征，從本質(zhì)上完成對(duì)抽象概念的把握。

（作者單位：浙江省臺(tái)州市路橋小學(xué) 本專輯責(zé)任編輯：王彬）