☉江蘇省宜興市陽(yáng)羨高級(jí)中學(xué) 孫 玲

基本不等式在高考中屬于C級(jí)要求，即要求學(xué)生熟練掌握，并能靈活應(yīng)用.而在新授課時(shí)，如何靈活運(yùn)用基本不等式解決有關(guān)問(wèn)題，一直是學(xué)生的弱點(diǎn)與難點(diǎn).因此，在基本不等式的復(fù)習(xí)課上，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生克服弱點(diǎn)與難點(diǎn)，并溫故知新.為此，筆者設(shè)計(jì)了基本不等式復(fù)習(xí)課三步曲，供參考與斧正.

一、引導(dǎo)學(xué)生梳理知識(shí)，并完成基礎(chǔ)訓(xùn)練

作為復(fù)習(xí)課，這一步必不可少，既起到“溫故”的作用，又起到承上啟下的作用.

（一）知識(shí)梳理

1.幾個(gè)特殊的平均值

2.基本不等式

3.不等式的幾個(gè)變形

4.利用基本不等式求最值問(wèn)題

已知x＞0，y＞0，（1）如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，x+y有最小值是；（簡(jiǎn)記：積定和最?。?）如果和x+y是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，xy有最大值是（簡(jiǎn)記：和定積最大）

應(yīng)用注意點(diǎn)：一正，兩個(gè)未知數(shù)為正數(shù)；二定，兩個(gè)未知數(shù)的積定或和定；三相等，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)未知數(shù)（或整體）相等時(shí)取等號(hào)，注意定義域.

5.證明基本不等式的方法有分析法、綜合法和比較法

點(diǎn)評(píng)：復(fù)習(xí)課必須圍繞課題梳理知識(shí)點(diǎn)，梳理應(yīng)做到全面且重要，應(yīng)提取課本精華并加以深化.如果用不等式鏈來(lái)高度概括a+b，ab，a2+b2三個(gè)量之間的不等關(guān)系會(huì)更加簡(jiǎn)潔明了.

（二）基礎(chǔ)訓(xùn)練

1.已知a，b∈R，a+b=1，則a2+b2的最小值為_(kāi)_____.

4.用長(zhǎng)為4a鐵絲圍成一個(gè)矩形，則矩形的面積最大值是______.

5.下列函數(shù)中，最小值是4的有______個(gè).

點(diǎn)評(píng)：以上題目涵蓋了基本不等式的簡(jiǎn)單運(yùn)用、實(shí)際應(yīng)用和運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)的條件，達(dá)到了夯實(shí)基本概念和基本知識(shí)的目的，而且大部分學(xué)生都能順利解決.

二、通過(guò)例題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步明確并掌握基本不等式的應(yīng)用

例題講解一直是復(fù)習(xí)課的主旋律，因此例題的選擇十分重要，因?yàn)樗且龑?dǎo)學(xué)生掌握知識(shí)并形成能力的載體，所以例題的選擇必須典型，同時(shí)要注意進(jìn)行適當(dāng)變式，以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.

1.證明不等式

例1（1）已知a，b，c均為實(shí)數(shù)，求證：a2+b2+c2≥ab+bc+ac；

變式1：已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證

變式2：已知a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證：lg

變式3：已知a＞b＞c，求證

點(diǎn)評(píng)：學(xué)會(huì)從不等式的特征分析，巧用基本不等式進(jìn)行不等式的證明.注意輪換對(duì)稱式的識(shí)別，并應(yīng)用疊加或疊乘法解決問(wèn)題，同時(shí)學(xué)會(huì)拆、湊等技巧來(lái)構(gòu)建基本不等式.

2.求最值或取值范圍

例2 已知正實(shí)數(shù)a，b滿足ab=a+b+3，

（1）求a+b的最小值；（2）求ab的最小值；（3）求2a+b的取值范圍.

變式4：已知實(shí)數(shù)x，y滿足4x2+y2+xy=1，求2x+y的最大值.

點(diǎn)評(píng)：解決雙元代數(shù)式最值的兩條解題途徑：一是把a(bǔ)+b和ab看作兩個(gè)量，利用基本不等式及其變形構(gòu)建不等式，通過(guò)等式消元，解不等式即可求解；二是把a(bǔ)、b看作兩個(gè)量，通過(guò)等式消元，構(gòu)建函數(shù)關(guān)系，再利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性解決問(wèn)題，同時(shí)注意消元的等價(jià)性.

3.在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

某村計(jì)劃建造一個(gè)室內(nèi)面積為800m2的矩形蔬菜溫室.在溫室內(nèi)，沿左、右兩側(cè)與后側(cè)內(nèi)墻各保留1m寬的通道，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m寬的空地.當(dāng)矩形溫室的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，蔬菜的種植面積最大？最大種植面積是多少？

點(diǎn)評(píng)：學(xué)會(huì)根據(jù)題意列出相應(yīng)的等量關(guān)系，并通過(guò)消元或構(gòu)建不等式求最值.

圖1

三、引導(dǎo)學(xué)生了解基本不等式的高考動(dòng)態(tài)

學(xué)習(xí)的目的雖然不是為了高考，但對(duì)于每一位學(xué)生來(lái)說(shuō)，高考不可回避.在復(fù)習(xí)課上，教師讓學(xué)生了解基本不等式的高考命題趨勢(shì)，或高考真題回顧，能激發(fā)學(xué)生的求知欲，并能讓學(xué)生從“溫故”走向“知新”.

1.最新考綱

（1）了解基本不等式的證明過(guò)程；

（2）會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（小）值問(wèn)題.

2.高考命題趨勢(shì)

在高考中，對(duì)基本不等式的考查一般不以知識(shí)點(diǎn)的形式出現(xiàn)，而是考查它的“工具性”，即利用基本不等式解決有關(guān)最值問(wèn)題與不等式問(wèn)題，其常與其他知識(shí)綜合在同一考題中，以此來(lái)考查不等式應(yīng)用的綜合性與靈活性.

3.高考真題

例3（2018年天津高考）已知a，b∈R，且a-3b+6=0，則的最小值為_(kāi)_____.

解析：由a，b∈R，且a-3b+6=0得，3b=a+6，

上述解法采用了代入消元法，把兩元最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元最值問(wèn)題，然后再利用基本不等式求最值，這是求多元最值問(wèn)題最基本的方法之一.

變式5：（2018年江蘇卷）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD=1，則4a+c的最小值為_(kāi)_____.

解析：如圖2，因?yàn)椤螦BC=120°，且BD為∠ABC的平分線，

所以∠ABD=∠CBD=60°.

又因?yàn)榻茿，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且BD=1，

由S△ABC=S△BDC+S△ABD得，

圖2

故答案為：9.

點(diǎn)評(píng)：高考真題體現(xiàn)了高考命題的方向，不僅可以讓學(xué)生感受基本不等式的高考要求，又能感受基本不等式應(yīng)用中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而從高考的角度去理解基本不等式.

常言道：學(xué)無(wú)定法，教無(wú)定法.但有規(guī)律可循.筆者認(rèn)為復(fù)習(xí)課也應(yīng)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，尤其是在高考的一