☉四川省德陽外國語學校 顧有良

一、問題的提出

美國數(shù)學家哈爾莫斯說過：“問題是數(shù)學的心臟.”而思維源于問題，數(shù)學教學是一個數(shù)學思維活動的切入、分析、歸納與總結(jié)的過程，集中體現(xiàn)為提出問題、分析問題與解決問題的過程.因此數(shù)學教學必須從問題開始，以問題為載體，以問題的解決為中心，引發(fā)和指導學生的思維活動，真正調(diào)動起學生的全面思維，激發(fā)學生的深度思維，使其充分參與并揭示相關(guān)知識的發(fā)生過程、方法的形成過程以及問題的解決過程.這樣的數(shù)學教學一定能充分體驗到數(shù)學知識的美妙，培養(yǎng)出數(shù)學素養(yǎng)，步入數(shù)學幽境，真正使學生在數(shù)學教學的過程中優(yōu)學、好學、樂學.

在數(shù)學教學過程中，針對數(shù)學課本、配套練習、課后練習、模擬試題、各類考試試題以及歷年高考真題等眾多的數(shù)學習題，以及各層面各類型的考試及其對應(yīng)的試題，教師講不過來，學生也做不過來，那么在課堂上優(yōu)選問題并展開討論，從而達到深度思維才是有效的課堂.

二、問題的分析

如何優(yōu)選數(shù)學問題作為數(shù)學教學的媒介，是教師必須考慮的重點問題，特別是在高三復習階段，如何在較短的時間內(nèi)進行有效復習與全面提升？優(yōu)選問題就顯得更為重要.優(yōu)選問題可以有效地節(jié)約時間，有針對性地進行講解與訓練，還可以在一定程度上保障深度思維的展開，從而得以真正有效地掌握知識，提升能力.

當然，作為數(shù)學教學過程中優(yōu)選出來的典型問題，必須要具備典型性、代表性、知識性以及拓展性等相關(guān)的性質(zhì)，通過講評優(yōu)選出來的問題，既可以講清所要掌握的知識點，又可以與已有的知識加以有效聯(lián)系與復習，在一定程度上還可以進一步拓展與提升，從而真正達到深度思維，形成學生固定的知識體系與思維習慣，這才是最終的目的.

那么如何有選擇性地選取相應(yīng)的數(shù)學問題，并進行針對性的數(shù)學教學，深化數(shù)學知識，拓展深度思維呢？

三、問題的解決

其實，可以進行有效的深度思維并優(yōu)選出相應(yīng)的數(shù)學問題主要存在于三個地方：課本中的例題與習題、各地有代表性的模擬題、歷年的高考真題等.當然，在具體的教學過程中，要有意識地加以積累，并有針對性地加以總結(jié)、歸類、反思、更新.

1.細選課本例題（習題）

數(shù)學教材中各部分的例（習）題具有典型性、代表性、示范性、遷移性與拓展性等特點，是幾代數(shù)學專家、學者集體智慧的結(jié)晶，歷經(jīng)考驗.課本上一些例（習）題，看似平淡無奇，但都隱藏著深遠的背景，閃爍著智慧的光芒，有著意想不到的功能.因此通過細選這部分數(shù)學問題，在充分講解并深刻理解的基礎(chǔ)上，還要進一步拓展與提升，才能真正做到深化思維.

普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學·選修2-3·A版》（人民教育出版社，2009年4月第3版）第35頁探究與發(fā)現(xiàn)：“楊輝三角”中的一些秘密.

問題1：對于“楊輝三角”，探究與發(fā)現(xiàn)中給出4點規(guī)律.

圖1

通過進一步拓展與探究，還能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？這才是深度思維的進一步拓展與應(yīng)用.

通過分析可以進一步歸納出眾多的規(guī)律，比如：（1）在楊輝三角中，第2n-1（n∈N）行的整行均為奇數(shù)；（2）在楊輝三角中，若第p行（n∈N）除1外，p整除其余的所有整數(shù)，則行數(shù)p是質(zhì)數(shù)（素數(shù)）；（3）在楊輝三角中，同一行中存在相鄰的三個數(shù)成等差數(shù)列所滿足的條件是：且k≥3）等等.

其實，借助“楊輝三角”，通過三角形數(shù)表形式，還可以拓展到其他類型的數(shù)表形式，其實質(zhì)都是二項式定理、數(shù)列、函數(shù)、推理與證明等相關(guān)的數(shù)學知識的綜合與應(yīng)用，充分體現(xiàn)了高考大綱對數(shù)學文化的展示以及創(chuàng)新應(yīng)用，從而起到擴大知識面，提升能力，深化思維的目的.

2.優(yōu)選高考模擬題

高考模擬題是一線教師與一線數(shù)學教研員們在一線教學過程中的體會、反思與總結(jié)，其中包括對課本知識的領(lǐng)會、高考大綱的理解、高考命題的剖析以及學生情況的反饋等眾多方面，具有極高的應(yīng)用性.當然對高考模擬題要有針對性地選取，應(yīng)選取相應(yīng)教學時段所對應(yīng)的問題，并加以合理應(yīng)用與深化思維.

問題2：（2019屆江蘇省靖江高級中學高三12月月考）已知圓O：x2+y2=1，定點A（3，0），過A點的直線l與圓O相交于B，C兩點，B，C兩點均在x軸上方，如圖2，若OC平分∠AOB，則直線l的斜率為______.

圖2

本題以解析幾何中的圓為問題背景，通過直線與圓的位置關(guān)系的建立，結(jié)合角平分線條件的介入，最終落到直線斜率的求解上.巧妙地把解析幾何、平面幾何加以交匯，把圓的方程、直線的方程、直線的斜率、角平分線等相關(guān)知識加以鏈接，進而達到知識交匯與能力拓展的目的.

常規(guī)思維方式——（交點法）結(jié)合角平分線定理的轉(zhuǎn)化得到|AC|=3|BC|，過點C作CD∥BO交x軸于點D，結(jié)合平行性質(zhì)得到點C所在的圓并結(jié)合點C在圓x2+y2=1上確定點C的坐標，再利用直線的斜率公式求解即可.

解析：由于OC平分∠AOB，所以由角平分線定理可得，則知|AC|=3|BC|.

圖3

通過深度思維，可以與三角形面積加以結(jié)合，利用三角形面積轉(zhuǎn)化法來處理；也可以與角平分線定理加以結(jié)合，利用角平分線定理轉(zhuǎn)化法來處理；還可以直接回歸到坐標法，結(jié)合平面向量等相關(guān)知識來處理；又可以通過題目條件進行深度分析，并借助三角參數(shù)，利用三角參數(shù)法來巧妙解決.

優(yōu)選高考模擬題，從一個簡單的基本問題入手，把解析幾何問題與平面幾何、平面向量、三角函數(shù)等相關(guān)知識加以有效整合，既拓廣了思維以及應(yīng)用，又提升了能力，培養(yǎng)了素養(yǎng).

四、感悟與反思

我們關(guān)注數(shù)學教學中的深度思維，本質(zhì)上就是關(guān)注學生數(shù)學知識的構(gòu)建效率與效度，這與數(shù)學課程標準這一根本目的完全吻合，也充分體現(xiàn)了數(shù)學核心素養(yǎng).

因此，打造數(shù)學教學的深度思維，需要清晰明確的學習目的、起點與終點，通過數(shù)學問題的驅(qū)動，架起新舊知識間的橋梁，使得數(shù)學思維真正走上“高速公路”，達到深度思維，往廣處、深處等各個方面滲透、拓展.堅持這樣的數(shù)學教學，有意識滲透深度思維，那么有深度的數(shù)學課堂與數(shù)學教學就有可能實現(xiàn)，學生的數(shù)學知識有可能得以掌握，學生的數(shù)學核心素養(yǎng)有可能得以養(yǎng)成.