☉江蘇省通州高級(jí)中學(xué) 嚴(yán)振君

解析幾何是高中數(shù)學(xué)課程的核心內(nèi)容，是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，是諸多數(shù)學(xué)思想方法的交匯點(diǎn)．解析幾何的教學(xué)承載著發(fā)展學(xué)生直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的功能．如何提升學(xué)生解析幾何的思維能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是一線教師應(yīng)該思考與研究的問題．筆者以一道解析幾何模考題的多視角探求的課堂教學(xué)為例，談?wù)勗诮馕鰩缀蔚慕忸}教學(xué)上的些許思考．

一、原題呈現(xiàn)

圖1

（1）若QF＝2FP，求直線l的方程；

（2）設(shè)直線AP，BQ的斜率分別為k1，k2．是否存在常數(shù)λ，使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

二、基本情況

第（2）問的作答情況不太理想，主要體現(xiàn)在：審題欠深入，未能深刻挖掘題意；思路受局限，處理手段相對(duì)匱乏；計(jì)算能力差，解題半途而廢．

筆者執(zhí)教的是四星級(jí)重點(diǎn)高中物生組合班，學(xué)生基礎(chǔ)較好，運(yùn)算求解、邏輯推理等能力均具備一定水平．在日常教學(xué)中，筆者較好地貫徹了當(dāng)?shù)亟逃块T所倡導(dǎo)的“限時(shí)講授、踴躍展示、交流合作”12字課堂教學(xué)指導(dǎo)方針，并且讓學(xué)生能夠積極展開小組交流，踴躍展示研究成果，課堂氣氛十分活躍．

考慮到受考試時(shí)間等多重因素的影響，學(xué)生未能對(duì)第（2）問展開深入思考，故課前再留給學(xué)生一定的獨(dú)立思考的時(shí)間，并結(jié)合批閱情況，對(duì)本題實(shí)施“一題一課”的教學(xué)嘗試．

三、教學(xué)過程

1.解法探討，思維在交流中提升

視角1 直譯題意 順勢(shì)而下

師：本節(jié)課我們重點(diǎn)研究第（2）問，請(qǐng)生1闡述對(duì)題意的理解，并展示解題過程．（學(xué)生投影解題過程，同時(shí)講解，本文摘錄其部分解答過程.）

生1：假設(shè)存在常數(shù)λ，使得k1＝λk2，利用題設(shè)中已知直線AP的斜率為k1，設(shè)直線AP的方程與橢圓方程聯(lián)立，求得由假設(shè)k1＝λk2，得，又因點(diǎn)P，F(xiàn)，Q三點(diǎn)共線，故kPF=kQF，即，整理得

即（4λk22+3）（3λ-1）=0，則

師：生1書寫清晰工整，過程詳細(xì)規(guī)范，值得大家學(xué)習(xí)．那么是否存在思維或表達(dá)不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡胤剑?/p>

生3：實(shí)際需對(duì)直線l斜率不存在的情形予以驗(yàn)證．生1對(duì)（4λk22+3）（3λ-1）=0的處理過于草率，應(yīng)理解成：對(duì)任意直線BQ，即k2恒成立．

師：解題時(shí)要注意思維的嚴(yán)謹(jǐn)性．是否有同學(xué)就此解法提出不同的處理方式？

視角2 設(shè)而不求 各顯神通

師：上述解法均是借助題設(shè)中已有直線的斜率k1，k2進(jìn)行解題.生4指出本題目的實(shí)為尋求斜率k1和k2的關(guān)系，因而直接構(gòu)建k1，k2的等式.還有不同的想法嗎？

師：你是怎么想到的？從哪里得到啟發(fā)？

生5：首先，根據(jù)“過右焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)”的表述，感覺可以從直線l入手；其次，解析幾何中“設(shè)而不求”是常規(guī)套路，理應(yīng)嘗試；再次，生1的解法的思維路線圖為：，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，可從③切入，逆向而行.

師：理解題意不能僅停留在文字表述層面上，應(yīng)深刻挖掘題意.利用思維路線圖探尋思路是解題的常規(guī)策略.但選擇此法的同學(xué)遇到了一個(gè)“棘手”的問題.

師：對(duì)該目標(biāo)式應(yīng)如何處理？

生7：為什么不可以？我就是這么做的！

生7的突然質(zhì)疑打斷了其他同學(xué)的思緒，并且迫不及待地展示出解題過程：不妨取我在解題過程中保留了這個(gè)整體，計(jì)算過程并不復(fù)雜.

此時(shí)其他同學(xué)報(bào)以熱烈的掌聲，無(wú)一不被生7“敢算”的信念和“會(huì)算”的技巧所折服.

師：此法“簡(jiǎn)單粗暴”但作用明顯.我們還得冷靜思考，“暴力求解”的做法與“設(shè)而不求”的初衷似乎有所背離，可以“設(shè)而不求”嗎？對(duì)于兩根“不對(duì)稱”的情形，是否可以轉(zhuǎn)化為兩根“對(duì)稱”的情形呢？

學(xué)生又一次陷入沉思，大概兩分鐘之后，有學(xué)生提出自己的想法.

師：對(duì)于該目標(biāo)式，同學(xué)們嘗試過其他處理方法嗎？

學(xué)生面露難色，或演算，或思考，一籌莫展，筆者適時(shí)予以提示.

師：剛才利用的是點(diǎn)P、Q都在直線l上統(tǒng)一同一點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，有無(wú)其他統(tǒng)一橫、縱坐標(biāo)的辦法？

生10洋洋得意，其他同學(xué)投來(lái)羨慕的目光.與此同時(shí)生10也不忘總結(jié)：應(yīng)充分關(guān)注交點(diǎn)P，Q的雙重身份，在拋物線中不是經(jīng)常利用點(diǎn)在拋物線上嗎？鑒于橢圓方程中x、y是雙隱性的，因此對(duì)目標(biāo)平方就變得理所當(dāng)然和勢(shì)在必行.其他同學(xué)恍然大悟，此時(shí)生11躍躍欲試.

生11：由題意，直線l的斜率不為0，設(shè)直線l：x=my+1，代入橢圓方程，得（4+3m2）y2+6my-9=0，則y1+y2=兩式相比得

生11：直線l過焦點(diǎn)F（1，0），設(shè)l為x＝my＋1的形式，一則避免了討論斜率不存在的情形，二則運(yùn)算得以簡(jiǎn)化，三則思路變得更為順暢，相對(duì)于設(shè)直線l：y=k（x-1）的形式優(yōu)勢(shì)明顯．

面對(duì)如此簡(jiǎn)潔明了的解題過程，同學(xué)們表示驚嘆．隨著課堂教學(xué)的不斷深入，同學(xué)們思如泉涌，爭(zhēng)先恐后，意欲展示自己的想法．

視角3 打破平衡 設(shè)點(diǎn)求點(diǎn)

解析幾何的課堂教學(xué)永遠(yuǎn)是“累”的，除了要構(gòu)思出合理的解題路徑外，復(fù)雜繁瑣的計(jì)算也必不可少．課時(shí)已過大半，學(xué)生看我絲毫沒有結(jié)束此題講解的意思，都提起了精神．

師：生11提醒我們方法的選擇和計(jì)算的繁簡(jiǎn)也是密切相關(guān)的．剛才我們集中精力在如何求證k1∶k2為定值上，那么我們繼續(xù)思考，還有其他突破口嗎？也可以將自己不成熟的想法提出來(lái)，大家共同探討．

生12：我的出發(fā)點(diǎn)也是生1的思維路線圖．我打破此路線圖的平衡，抓住了點(diǎn)P、Q的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從直線PF入手，設(shè)點(diǎn)求點(diǎn)．在解題時(shí)，往往會(huì)形成初步的思維路線圖，再嘗試從圖中的不同環(huán)節(jié)尋求突破口，評(píng)估優(yōu)劣后，擇優(yōu)而從．此法具有一定的通性，盡管初用時(shí)計(jì)算較繁瑣，但熟練掌握后五分鐘之內(nèi)便可完成．

視角4 定值問題 先猜后證

生13：本題初看是“存在性”問題，實(shí)則是“定值”問題，因此嘗試“先猜后證”的策略．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，可得．由題意可知，λ若存在則必為，下恒成立即可．設(shè)直線l：x＝my＋1由（見生11解題過程），可得于任意m恒成立．

視角5 善用結(jié)論 巧妙擊破

當(dāng)筆者欲對(duì)本題進(jìn)行總結(jié)，留時(shí)間給學(xué)生整理思路和方法，并讓學(xué)生重新計(jì)算時(shí)，生14提出了新的想法．

生14：與生5的想法一樣，但“非對(duì)稱”的目標(biāo)難處理，如何轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．聯(lián)想到橢圓的第三定義：已知kPA·kPB為定值，要求是定值，即求kPB·kQB為定值.因?yàn)閗2kPB=

教室里響起了熱烈的掌聲，同學(xué)們向生14投來(lái)贊許的目光．

看著同學(xué)們沉浸在從多個(gè)視角探求到各種解法的喜悅中，筆者抓緊追問：本節(jié)課我們從5個(gè)視角探求了本題的若干個(gè)解法．請(qǐng)同學(xué)們思考，本題的多種解法是偶然還是必然？通過對(duì)解法的探求有哪些收獲？能否將本題結(jié)論拓展至更一般的情形？

2.拓展延伸，素養(yǎng)在探究中發(fā)展

為了使同學(xué)們能夠互通有無(wú)，加深對(duì)題目的不同視角、不同方法的理解，筆者照常組織學(xué)生進(jìn)行小組活動(dòng)，并匯報(bào)探究成果．

小組1：要深刻理解題意，提取題設(shè)中的關(guān)鍵信息，善于從不同視角思考和解決問題．思維路線圖在尋求解題思路時(shí)起著舉足輕重的作用．從思維路線圖的不同環(huán)節(jié)切入，解題的可行性和復(fù)雜性以及計(jì)算的難易程度會(huì)相去甚遠(yuǎn)．

小組2：生14的解法揭示了本題的本質(zhì)，由于kPA·kPB均為定值，可確保是定值．

師：課后請(qǐng)同學(xué)們對(duì)本題不同視角的各種解法繼續(xù)梳理，融會(huì)貫通，并將計(jì)算進(jìn)行到底．對(duì)小組3提出的一般性結(jié)論予以完善并證明．

四、教后反思

解析幾何教學(xué)中，要著力激發(fā)學(xué)生積極思考，引導(dǎo)學(xué)生將問題拓展，融會(huì)貫通，提升思維 能力，提高思維品質(zhì)，增強(qiáng)解題效率，從而促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展．

現(xiàn)如今師生在課堂中通過互動(dòng)生成知識(shí)的比重日益提升，如何實(shí)現(xiàn)師生多向且高效的互動(dòng)是新的研究話題．新課標(biāo)指出“教師要把教學(xué)活動(dòng)的重心放在促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)上，積極探索有利于促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的多樣化教學(xué)方式”“．一題一課”具備自主、探究、開放、多元等特征，“限時(shí)講授、踴躍展示、交流合作”的課堂教學(xué)模式，讓學(xué)生變?yōu)橹黧w，教師成為組織者、引導(dǎo)者、參與者，從典型的核心問題出發(fā)，“借題發(fā)揮”，通過鋪墊、類比、聯(lián)想、變式、延伸等途徑，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，并自主探究問題規(guī)律，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，遞進(jìn)思維層次，提升思維能力，達(dá)到“研一題，懂一類，通一片”的教學(xué)效果，實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)的本真高效．