☉湖北省武漢市左嶺第一初級中學 王曉霞

波利亞在《數學的發(fā)現》序言中說：“中學數學教學的首要任務就是加強解題訓練.”他還有一句膾炙人口的名言：“掌握數學就意味著善于解題.”解題教學在中學數學教學中占有極其重要的地位，一題多解是培養(yǎng)學生思維靈活性與創(chuàng)造性的重要途徑.筆者對武漢市2017年元月調考第21題進行研究，有些心得，現整理如下：

一、原題呈現

（2017年武漢市元月調考第21題）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD是∠ABC的角平分線，以點D為圓心，DA為半徑的⊙D與AC相交于點E．

（1）求證：BC是⊙D的切線；

（2）若AB=5，BC=13，求CE的長．

圖1

二、試題總體評析

該題涉及的主要知識點有：角平分線的性質、直線與圓的位置關系、切線的判斷方法、切線長定理、勾股定理、比例的計算等；涉及的基本方法有：線段、角之間的關系的轉化，列表達式進行計算，考查學生對基礎幾何問題的邏輯推理、規(guī)范書寫及簡單計算的能力.本題的定位雖然是一道基礎幾何題，涉及的知識點也并不復雜，但是從最后的閱卷報告中發(fā)現，滿分為8分的試題，實際平均分才4.82分，得分率僅為60.25%，滿分率也只有44.57%.由此可見，學生對于此類幾何邏輯推理題的掌握并不理想，部分學生的書寫缺乏規(guī)范性，與此同時，也涌現出了不同的解題思路.

三、典型錯誤及成因分析

該題要求學生正確、完整地寫出解答過程，考查學生的幾何推理能力、簡單計算能力及規(guī)范書寫能力.筆者將典型錯誤歸類如下：

1.第（1）題的典型錯誤及分析

錯證1：如圖2，過點D作DF⊥BC于點F，直接將∠ABC當成60°，然后DF=BD，同時ADBD，得到DF=AD，然后得到結論BC是⊙D的切線.

圖2

【分析】這種錯誤主要是沒有認真審題，僅依靠自己的主觀感受，盲目判斷造成的.題目中并未給出∠ABC=60°這個條件，出現這種錯誤的考生相當于把題目中的條件特殊化了，這種做法是不符合嚴格推理要求的.

錯證2：如圖2，過點D作DF⊥BC于點F，使DF=AD，得到結論BC是⊙D的切線.

【分析】這種錯誤屬于人為造條件，過點D作DF⊥BC于點F，即線段DF的長度已經確定了，如何使DF=AD？這種錯誤就屬于隨意制造條件.

2.第（2）題的典型錯誤及分析

錯解1：利用勾股定理進行計算時，解錯方程，得到錯誤的結論.

錯解2：利用相似處理時，三角形的對應頂點沒有寫對，導致對應邊錯位，得到錯誤的結論.

【分析】第（2）題的錯解1是由于學生的計算功底不扎實，或者還沒有熟練掌握初中階段應該掌握的各種類型方程的解法，基本技能不過關.第（2）題的錯解2是由于答題時缺乏規(guī)范性，導致得不到正確解而失分.這兩種錯誤都屬于比較低級的錯誤，但是在實際的考試中學生經常犯這樣的錯誤，所以一定要抓好“雙基”的落實，嚴格要求學生解題時要規(guī)范.

四、多種思路及其分析

筆者重點對第（2）題的求解進行分析.

思路1：如圖2，設圓的半徑為r，根據第（1）題的輔助線，在Rt△DFC中，CD=12-r，DF=r，CF=13-5=8，利用勾股定理建立方程82+r2=（12-r）2，解得r=，則CE=12-2r=

【分析】思路1是命題者在命制試題時的意圖，也是學生解題時的自然思路.設未知數，利用勾股定理建立等量關系，解方程，這種解法是學生比較熟悉的方法，大部分學生都用到了該思路.

思路4：如圖3，過點C作圓的切線與BA的延長線交于點H，連接DH，過點D作DG⊥CH于點G，則點G為切點.

圖3

【分析】思路2～4都利用了等積法，但是思路4較思路2和3稍顯復雜，需要作的線太多，而且作了一條不經常用的輔助線，即作切線，暫且不論繁簡程度，若推理過程嚴謹，也不失為一種好的解法，體現了殊途同歸的解題思維本真.

圖4

圖5

圖6

圖7

【分析】思路5、6、8均需添加輔助線，構造相似，利用相似得到比例線段，從而求出關鍵線段，達到解決問題的目的.思路7利用平行線分線段成比例定理計算圓的半徑，從而解決問題.其中涉及四點共圓、同弧所對的圓周角相等、切線長定理、證兩三角形相似的方法、平行線分線段成比例等基礎知識儲備.

圖8

【分析】思路9需要一定的知識儲備，即要熟悉三角形的角平分線定理，對比前幾種思路，不易想到.但仔細想來，仍然是作平行線構造相似，得到比例線段的關系.聯(lián)系平時的教學，教師在教學中如能讓學生多掌握一種思路，就能拓寬學生的思維，從而使學生能夠高屋建瓴地理解問題、解決問題.

五、反思

一題多解的探尋可以拓寬學生的思維寬度，使學生思考問題的角度更多，發(fā)散學生的思維，同時激發(fā)學生的學習熱情.本題作為一個比較基礎的題目，仍然涉及轉化、數形結合、方程、建模等思想，通過數學思想的培養(yǎng)，數學能力才會有大幅度的提高.掌握數學思想，就是掌握數學的精髓，促進學生思維的可持續(xù)發(fā)展.W