于瑋

摘 ?要：文章跳出“強(qiáng)化方程的形式化特征，淡化方程概念的內(nèi)在本質(zhì)”的傳統(tǒng)設(shè)計(jì)。針對(duì)五年級(jí)學(xué)生思維認(rèn)知水平，設(shè)計(jì)“天平中的故事”和“故事中的天平”兩個(gè)教學(xué)板塊，引導(dǎo)學(xué)生嘗試建立未知數(shù)與已知數(shù)之間的等量關(guān)系，體會(huì)方程的概念本質(zhì)，促使學(xué)生從多年運(yùn)算思維定式中走出來，在形成方程模型的過程中，更加直觀、真切地感悟到方程思想與解決問題之間密不可分的相融關(guān)系。

關(guān)鍵詞：方程;概念本質(zhì);等量關(guān)系;未知數(shù)

一、課前思考

“方程”是小學(xué)階段重要的數(shù)學(xué)概念。在傳統(tǒng)教學(xué)中，大多數(shù)教師往往圍繞“含有未知數(shù)的等式是方程”這一定義展開，著力凸顯“有未知數(shù)”“是等式”這兩個(gè)限制性的因素，以實(shí)現(xiàn)“能夠辨認(rèn)出一個(gè)式子是不是方程”這一教學(xué)目標(biāo)。這樣的設(shè)計(jì)強(qiáng)化了方程的形式化特征，卻淡化了方程概念的內(nèi)在本質(zhì)，學(xué)生常會(huì)列出諸如“x=4”“14-4=x”“x+11+6=x+17”等脫離方程現(xiàn)實(shí)意義和應(yīng)用價(jià)值的式子。

特級(jí)教師吳正憲認(rèn)為：學(xué)習(xí)方程僅僅知道這個(gè)概念的軀殼是沒有多大意義的。方程的價(jià)值應(yīng)與解決問題有機(jī)融合起來。努力培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)方面的思維能力，而這一切的前提就是對(duì)方程思想有深度的感知。

張奠宙教授指明了滲透方程思想的關(guān)鍵是在已知數(shù)和未知數(shù)之間建立一種等式關(guān)系 [1]。這種關(guān)系的建立利于學(xué)生感悟未知數(shù)和已知數(shù)之間可以自如、均等的切換，未知數(shù)和已知數(shù)除了形式上的差異外，運(yùn)算地位上是平等的。方程本身并沒有經(jīng)過任何運(yùn)算，只是單純地講述兩個(gè)經(jīng)過任何加工的故事。

誠然，五年級(jí)的學(xué)生深度感悟方程思想這一抽象化概念具有一定的難度。如何打破學(xué)生幾年來的算術(shù)思維解決問題這一慣性思維，如何讓學(xué)生感受到用方程解決順向思維問題的便捷，并喜歡、主動(dòng)地列方程解決問題，是教學(xué)中教師面臨的困擾之二。不過，回望、反思、比較后可以發(fā)現(xiàn)，方程和方程思想在之前的數(shù)學(xué)活動(dòng)中一直有所體現(xiàn)，需要我們?nèi)ネ诰?、提煉和充分利用。充分尊重學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，緊扣數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的一致性，將方程融入學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，充分發(fā)揮多種感官的能動(dòng)性，幫助學(xué)生經(jīng)歷完整的探究過程，形成整體性、邏輯性的知識(shí)結(jié)構(gòu)，有助于學(xué)生更好地理解方程意義和方程思想。

二、課堂剪影

片段一：天平中的故事

師：今天我們一起來認(rèn)識(shí)方程（板書）。要學(xué)習(xí)方程，需要借助一些工具（白板出示）。老師今天帶來了一個(gè)天平，同學(xué)們仔細(xì)觀察我接下來的操作，待會(huì)請(qǐng)大家來說一說老師是怎么做的哦。

生：先放一個(gè)50克砝碼在天平的左邊，再放一個(gè)100克的砝碼在天平的左邊，然后把200克砝碼放在天平的右邊，天平不平衡。

師：說得真好，像是在講述一個(gè)關(guān)于天平不平衡的故事，關(guān)鍵還指出了天平的左邊和右邊。

師：同學(xué)們，要使天平左右兩邊平衡，可以怎么調(diào)整呢？

生：左邊放兩個(gè)100克砝碼，右邊放一個(gè)200克砝碼。

（師操作白板）

師：嗯，這位同學(xué)講述了一個(gè)關(guān)于天平平衡的故事。

（板書：不平衡、平衡）

師：看看這個(gè)天平，你能寫出一個(gè)式子來嗎？

生：x+100>200。（板書：x+100>200）

師：天平不平衡是因?yàn)槭裁茨兀?/p>

生：水果的重量加上100克砝碼的重量和天平右邊的200克砝碼的重量不相等。

師：是呀，說得真棒，因?yàn)樽筮叺氖阶雍陀疫叺臄?shù)字不相等，所以不平衡。

（小組合作，展示活動(dòng)要求）

師：一個(gè)人說天平的故事，另一個(gè)人寫出關(guān)于天平的式子。

（師巡視，學(xué)生操作交流）

師：接下來要請(qǐng)幾個(gè)同學(xué)說一說截屏下來的天平的故事。

生1：橘子和50克砝碼在左邊，200克砝碼在右邊，寫出的是天平不平衡的式子：x+50<200。

生2：100克砝碼、橘子、20克砝碼在左邊，10克砝碼和200克砝碼在右邊，寫出的是天平平衡的式子：20+x+100=10+200。

生3：橘子、10克砝碼、50克砝碼在左邊，10克砝碼和200克砝碼在右邊，寫出的是天平平衡的式子：x+10+50=210。

……

板書：

不平衡（不等式） ? ?平衡（等式）

x+100>200 ? ? ? ? 100+100=200

x+50<200 ? ?20+x+100=10+200

x+10+50=210

師：同學(xué)們，仔細(xì)觀察，對(duì)比一下，左右兩邊有什么不同的地方？平衡和不平衡之間有什么不一樣呢？

生：不平衡用大于號(hào)和小于號(hào)，平衡用等號(hào)。

師：是啊，數(shù)學(xué)沒有那么復(fù)雜，用等號(hào)連接起來的，講述天平平衡故事的這些式子，叫作等式;相反，講述天平不平衡故事的這些式子叫作不等式。

師：同學(xué)們，再觀察這些等式，它們又有什么不同呢？

生1：有的是兩個(gè)數(shù)相加，有的是三個(gè)數(shù)相加。

生2：第一個(gè)等式里沒有未知數(shù)，其他的等式里有未知數(shù)，有未知數(shù)的叫方程。

師：（板書：等式與方程的關(guān)系）建立起未知數(shù)和已知數(shù)之間等量關(guān)系，就能求出未知數(shù);相反，求不出未知數(shù)的式子，都是因?yàn)闆]有建立等量關(guān)系。

師：我們生活中有許多這樣的例子。如a÷2=6;73-y<20;3+（ ?）=10。

師：未知數(shù)既可以用字母表示，也可以用括號(hào)表示。

片段二：故事中的天平

師：剛才通過講天平中的故事，我們一起認(rèn)識(shí)了方程，下面我們也來講一講故事中的天平。

師：這樣一幅圖，如果建立成天平的話，天平的左邊是什么，右邊又是什么呢？

生：天平的左邊是4件衣服的價(jià)錢，右邊是240元。

師：是啊，尋找到了未知數(shù)和已知數(shù)之間的等量關(guān)系，我們就能列出什么樣的方程？

生：x×4=240。

師：同學(xué)們想一想，兩個(gè)不同的故事怎么都可以用同一個(gè)方程來表示呢？

師：把兩個(gè)不一樣的故事用天平表示，左邊都是4個(gè)未知數(shù)，右邊都是240。

（引導(dǎo)學(xué)生再舉例）

師：生活中有很多的故事，只要他們的等量關(guān)系是一樣的，都可以用相同的方程來表示。

師：你能從這個(gè)線段圖中找出等量關(guān)系嗎？

生1：x+y=z。

生2：男生人數(shù)+女生人數(shù)=全班人數(shù)。

生：x+21=45。

師：跟之前的等量關(guān)系一樣嗎？還能列出不一樣的方程嗎？

生1：45-21=x或者45-x=21。

生2：一個(gè)故事可以列出三個(gè)方程，舉一反三。

師：順著想：x-5+8=38;倒著想：38-8+5=x。比較這兩個(gè)式子，哪個(gè)思考起來更方便？

生1：倒著想，可以直接算出來，未知數(shù)沒有存在的必要。

生2：倒著想的那個(gè)式子不是真正意義上的方程，因?yàn)閤沒有了價(jià)值。

生3：用列方程解決問題的時(shí)候，可以順著想，這是列方程解決問題的優(yōu)勢(shì)。

師：同學(xué)們概括出了方程的真實(shí)意義，太了不起了。我們這節(jié)課講述了天平的故事，天平平衡了就是出現(xiàn)了等式，在等式里含有未知數(shù)的就是方程，沒有建立等量關(guān)系就不知道未知數(shù)是多少。

三、教學(xué)解讀

本節(jié)課可以從三個(gè)階段來解讀：

1. 借助有形天平，建立等量關(guān)系

立足于方程的概念本質(zhì)，從天平不平衡到平衡的探索中，以“找水果質(zhì)量”問題為載體，啟發(fā)學(xué)生感知未知數(shù)和已知數(shù)間的關(guān)聯(lián)，在學(xué)生經(jīng)歷多次嘗試天平才平衡后，未知數(shù)和已知數(shù)之間的等量關(guān)系逐漸浮出了水面，從而凸顯出方程是為了求未知數(shù)而存在的。這一設(shè)計(jì)較“靜態(tài)觀察天平兩邊物品質(zhì)量的大小關(guān)系”，更加強(qiáng)化了方程在解決問題過程中的價(jià)值，也就是方程概念的本質(zhì)不能停留在“有未知數(shù)、有等號(hào)的式子”這一表象的界定，方程的意義與解決現(xiàn)實(shí)問題是相依相存的。

立足于等量關(guān)系來認(rèn)識(shí)方程，對(duì)于打破學(xué)生用慣性的算術(shù)思維、推理思維求未知量能起到顯著的效果。在這樣的教學(xué)活動(dòng)過程中，淡化的是數(shù)與數(shù)之間的運(yùn)算，凸顯的是數(shù)與數(shù)之間的等量關(guān)系，有助于學(xué)生進(jìn)一步感悟方程本身，不是任何形式的運(yùn)算，而是一種單純地闡述兩個(gè)事實(shí)之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。

之所以采用虛擬天平的操作，而不用實(shí)物天平，主要考慮到了兩個(gè)方面：其一，實(shí)物天平容易產(chǎn)生誤差，不容易很明顯地看出平衡與不平衡的狀態(tài)，極易讓非數(shù)學(xué)本質(zhì)的因素干擾學(xué)生認(rèn)知;其二，便于利用網(wǎng)絡(luò)交互平臺(tái)適時(shí)、高效地呈現(xiàn)每一位學(xué)生操作天平的過程與結(jié)果。既高效，又凸顯出每一位學(xué)生學(xué)習(xí)的個(gè)性。有效地彌補(bǔ)了傳統(tǒng)課堂教學(xué)手段的不足，發(fā)揮了傳統(tǒng)教學(xué)手段所不可替代的作用。

2. 豐富概念意義，深入知識(shí)本質(zhì)

學(xué)生對(duì)方程形成初步感知后，脫離天平，通過“一式多境”環(huán)節(jié)的精心設(shè)計(jì)，將無形、抽象的等量關(guān)系寓于“故事中的天平”中，讓學(xué)生在逐步抽象的過程中，體會(huì)到不同的問題情境可以用同一個(gè)方程來概括，進(jìn)一步表明方程具有揭示現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的價(jià)值，是具體事實(shí)的抽象概括，是有效的數(shù)學(xué)模型。在深層次交流中，學(xué)生更加透徹地感悟到“去情境化”的過程、形成方程模型過程中的數(shù)學(xué)思想方法。

接下來的“一境多式”教學(xué)環(huán)節(jié)的重點(diǎn)（男生x人，女生21人，全班45人），是為了加深學(xué)生對(duì)模型多角度的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生感受同樣的問題情境可以寫出不同的方程，從不同角度尋找等量關(guān)系，體會(huì)數(shù)量間相等的關(guān)系是方程的根。

3. 回顧連接反思，體會(huì)模型思想

在理解方程的本質(zhì)后，從判斷、辨析中總結(jié)出，含有未知數(shù)的等式是方程的外顯特征，既深刻理解知識(shí)的本質(zhì)，又不失外顯特征的發(fā)現(xiàn);同時(shí)，3+（ ?）=10在豐厚方程的特征時(shí)，又回顧反思起已有的知識(shí)中其實(shí)已經(jīng)蘊(yùn)含著方程的雛形。在對(duì)比中探究每一種方程所表達(dá)的等量關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行辨析、甄別與調(diào)整，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到，怎樣的方程是“跟題目的意思一樣”，怎樣的方程是“跟以前解決問題的方法相似”，從而在對(duì)比中初步體驗(yàn)。一個(gè)問題情境可以列出不同的方程，感悟方程的模型思想，對(duì)比代數(shù)思維與算術(shù)思維的不同，初步體驗(yàn)方程的價(jià)值。

《認(rèn)識(shí)方程》一課的研磨過程，是概念教學(xué)探海起航的號(hào)角。概念教學(xué)不是從概念表象看概念，而要深度開掘到概念內(nèi)在的邏輯性、思想性、系統(tǒng)性以及數(shù)學(xué)知識(shí)存在的價(jià)值和作用，這樣的教學(xué)更助于學(xué)生對(duì)概念深度和廣度的體悟與掌握。

參考文獻(xiàn)：

[1] ?成尚榮. 學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維[M]. 南京：江蘇教育出版社，2003.