向民奇，毛漢領(lǐng)，黃悅峰

(廣西大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 廣西南寧530004)

0 引言

固有頻率是機(jī)械結(jié)構(gòu)振動(dòng)模態(tài)的最基本信息，基于固有頻率對(duì)懸臂梁進(jìn)行相應(yīng)研究相關(guān)學(xué)者已作了很多貢獻(xiàn)，張佳文等[1-3]對(duì)裂紋位置與裂紋深度與懸臂梁固有頻率的關(guān)系進(jìn)行了計(jì)算和分析。劉天亮等[4]對(duì)懸臂梁建立了基于固有頻率的損傷定位理論基礎(chǔ)。崔凱等[5]分析了可以簡(jiǎn)化為旋轉(zhuǎn)懸臂梁模型的風(fēng)機(jī)葉片的葉片長(zhǎng)度、旋轉(zhuǎn)速度及葉片截面的弦長(zhǎng)與固有頻率的關(guān)系。

上述研究對(duì)懸臂梁的分析都是以振動(dòng)特性中的固有頻率為基礎(chǔ)，所以固有頻率的精確估算與否對(duì)分析結(jié)果有著直接影響。而結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性與其所處的邊界約束條件密不可分，尤其對(duì)于機(jī)械結(jié)構(gòu)而言，各零件間的聯(lián)接存在多種方式，造成零件間接觸面的復(fù)雜性和多樣性。對(duì)于界面間的接觸問(wèn)題，張福星等[6]等利用ANSYS-workbench軟件對(duì)深溝球軸承建立了三維非線性接觸模型，對(duì)軸承間的接觸應(yīng)力與變形進(jìn)行了仿真計(jì)算。KUMBHAR等[7-8]利用ANSYS建立了零件裝配體的有限元模型，分析接觸面間接觸剛度、接觸變形及接觸載荷的關(guān)系。艾延廷等[9]基于有限元建模方法分析了裝配體接觸面法向接觸剛度對(duì)裝配體振動(dòng)模態(tài)的影響。CHEN等[10]采用接觸單元分析了熱配合轉(zhuǎn)子對(duì)空心軸局部剛度的影響。張立軍等[11-12]研究發(fā)現(xiàn)制動(dòng)盤的帽部螺栓孔的位侈約束對(duì)制動(dòng)盤整體組合模態(tài)的影響很大，施加約束會(huì)使模態(tài)頻率增加，且發(fā)現(xiàn)隨著制動(dòng)盤剎車時(shí)盤面接觸的位置不同將導(dǎo)致不穩(wěn)定模態(tài)計(jì)算結(jié)果。黃梓嫄等[13]針對(duì)磁懸浮電機(jī)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)分析誤差較大的問(wèn)題，提出考慮轉(zhuǎn)子組件間的非線性接觸行為，基于罰函數(shù)方法通過(guò)修正優(yōu)化接觸剛度因子實(shí)現(xiàn)對(duì)電機(jī)柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模態(tài)的精確分析。楊帥等[14]針對(duì)固定端部豎直方向?yàn)閺椥约s束的懸臂梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行了模態(tài)分析，并通過(guò)固有頻率對(duì)端部剛度進(jìn)行識(shí)別。李全通等[15]對(duì)葉片輪盤典型榫接結(jié)構(gòu)的接觸剛度進(jìn)行了分析，給出了葉輪間接觸剛度的計(jì)算方法，建立了葉片輪盤榫接耦合計(jì)算模型。

懸臂梁是工程應(yīng)用中常見的一種梁結(jié)構(gòu)，在機(jī)械、土木等領(lǐng)域內(nèi)廣泛應(yīng)用。接觸對(duì)工程結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性影響十分復(fù)雜，給結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析及實(shí)際應(yīng)用造成很大影響。

本文針對(duì)以上提及的問(wèn)題，首先在ANSYS-workbench軟件中對(duì)懸臂梁進(jìn)行模態(tài)分析，并同時(shí)利用歐拉—伯努利梁理論對(duì)懸臂梁固有頻率和模態(tài)振型進(jìn)行理論求解，對(duì)比有限元分析和理論推導(dǎo)兩者的結(jié)果具有較好的一致性，說(shuō)明在ANSYS-workbench軟件中對(duì)懸臂梁進(jìn)行模態(tài)分析是可行的，并進(jìn)一步分析懸臂梁安裝約束端接觸面的接觸剛度(本文中均指的是法向接觸剛度)和摩擦系數(shù)對(duì)其固有頻率的影響。

1 懸臂梁固有頻率及模態(tài)振型的理論計(jì)算

當(dāng)梁的長(zhǎng)度遠(yuǎn)大于其截面的高度時(shí)，梁的橫向彎曲振動(dòng)頻率要遠(yuǎn)低于它縱向振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的頻率，因而梁的橫向彎曲共振模態(tài)比較容易激發(fā)出來(lái)。故本文僅考慮彎曲引起的變形，不計(jì)剪切引起的變形及其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響，滿足歐拉—伯努利梁分析的條件。以懸臂梁的固定端為坐標(biāo)原點(diǎn)O，梁長(zhǎng)的方向?yàn)閤軸，梁振動(dòng)方向?yàn)閥軸，建立等截面懸臂梁的坐標(biāo)系，如圖1所示。

(a) 彎曲時(shí)整體分析

(b) 彎曲時(shí)微元段分析

圖1 懸臂梁的橫向振動(dòng)受力分析
Fig.1 Transverse vibration force analysis of cantilever beams

懸臂梁在y方向的運(yùn)動(dòng)方程為：

(1)

式中,ρ為梁的密度(kg/m3)；A為梁的橫截面面積(m2)；L為梁的長(zhǎng)度(m)；I為梁的截面形心慣性矩(m4)，E為梁的彈性模量(GPa)；y(x,t)為梁的橫向位移(m)；f(x,t)為梁所受的橫向力(N)；Q(x，t)為梁所受的剪切力(N)；M(x,t)為梁所受的彎矩(N·m)。

由材料力學(xué)中彎矩與撓度及剪切力的關(guān)系，等截面勻質(zhì)直梁的橫向彎曲自由振動(dòng)方程為：

(2)

求解式(2)需兩個(gè)初始條件和四個(gè)邊界條件。

初始條件為：

懸臂梁的邊界條件為：

求解方程(2)可得

cosλnLcoshλnL=-1(n=1,2,3…)，

(3)

用Matlab求解式(3)超越方程得其數(shù)值解為：

λ1L≈1.875;λ2L≈4.694;λ3L≈7.855;λ4L≈10.995;λ5L≈14.237;λ6L≈17.278，

則等截面勻質(zhì)直梁的前6階固有頻率可由(4)式解出

(4)

對(duì)應(yīng)的振型函數(shù)為：

(5)

本文所設(shè)置的懸臂梁參數(shù)為：彈性模量E=2×1011Pa，密度ρ=7 850 kg/m3，泊松比v=0.3，長(zhǎng)L=0.3 m、寬B=0.06 m、厚H=0.01 m。根據(jù)式(4)可得其前6階的固有頻率如表1所示；根據(jù)式(5)的振型函數(shù)可得其前6階模態(tài)振型如圖2所示。

表1 固有頻率理論值與仿真值Tab.1 Theoretical and simulation values of the natural frequency

(a) 1階振型

(b)2階振型

(c) 3階振型

(d) 4階振型

(e) 5階振型

(f) 6階振型

圖2 理論的模態(tài)振型
Fig.2 Theoretical modal shapes

2 懸臂梁固有頻率及模態(tài)振型的仿真計(jì)算

基于歐拉—伯努利梁理論計(jì)算時(shí)懸臂梁約束端是完全固定的，故在ANSYS-workbench有限元計(jì)算中設(shè)置一樣的約束條件，在SolidWorks中建立懸臂梁三維模型并存為后綴名為.x_t的格式導(dǎo)入到Workbench的Modal模塊中，設(shè)置模型的材料屬性，在模型的左端面添加固定約束(fixed support)，在網(wǎng)格劃分后進(jìn)行求解，得到的前6階仿真的固有頻率見表1，對(duì)應(yīng)的前6階模態(tài)振型如圖3所示。

由圖2和圖3可知理論分析和有限元仿真分析的懸臂梁模態(tài)振型一致，且由表1可知固有頻率的相對(duì)偏差很小，前6階固有頻率值最大相對(duì)偏差率只有4.15 %，說(shuō)明在ANSYS-workbench軟件中對(duì)懸臂梁進(jìn)行模態(tài)分析是可行的。

(a) 1階振型

(b)2階振型

(c) 3階振型

(d) 4階振型

(e) 5階振型

(f) 6階振型

圖3 仿真的模態(tài)振型
Fig.3 Simulated modal shapes

3 接觸面的接觸剛度與摩擦系數(shù)對(duì)懸臂梁固有頻率的影響

接觸對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響十分復(fù)雜，不僅直接影響結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)服役性能，而且影響結(jié)構(gòu)振動(dòng)信號(hào)的幅度、頻率和相位等信息。尤其是機(jī)械結(jié)構(gòu)，由于機(jī)械接觸面的復(fù)雜性和多樣性，模態(tài)分析技術(shù)是了解結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的一個(gè)重要手段。本節(jié)從接觸面的接觸剛度和摩擦系數(shù)兩個(gè)因素對(duì)有安裝接觸面的懸臂梁進(jìn)行模態(tài)分析，研究接觸面的接觸剛度和摩擦系數(shù)對(duì)其固有頻率的影響。建立如圖4所示的有接觸面的懸臂梁模型，懸臂梁本體呈階梯型，懸臂梁外伸部分的各參數(shù)與上述理論和仿真分析一致，左端固定塊的材料屬性和懸臂梁本體部分一樣，懸臂梁左端階梯部分內(nèi)嵌于固定塊。

(a) 裝配模型

(b) 網(wǎng)格模型

圖4 有安裝接觸面的懸臂梁模型
Fig.4 Cantilever beam model with installation contact surfaces

在ANSYS-workbench中對(duì)固定塊所有的豎直面添加固定約束(fixed support)，由于本文主要考慮平面內(nèi)的彎曲振動(dòng)，故只在接觸區(qū)域的上下兩表面建立考慮摩擦因素(frictional)的接觸對(duì)，豎直方向上不建立接觸對(duì)。設(shè)置好材料屬性及約束關(guān)系后進(jìn)行網(wǎng)格劃分(此處固定塊和懸臂梁本體的網(wǎng)格大小相等)，求解時(shí)采用罰函數(shù)法(pure penalty)進(jìn)行求解，所謂罰函數(shù)法是用一個(gè)理想存在的接觸“彈簧”，在兩個(gè)面間建立接觸關(guān)系，彈簧剛度稱為懲罰參數(shù)或接觸剛度。當(dāng)面分開時(shí)，即接觸面的上下層接觸單元處于分離狀態(tài)，彈簧不起作用；當(dāng)面開始閉合時(shí)，即接觸面的上下層接觸單元處于穿透狀態(tài)，彈簧起作用，整個(gè)過(guò)程如圖5所示。彈簧偏移量△滿足平衡方程：

F=kΔ,

(6)

式中,k是接觸剛度，在軟件程序中接觸剛度通過(guò)法向接觸剛度系數(shù)FKN與下層單元的剛度獲得，見式(7)：

k=FKN·k下層。

(7)

故在分析時(shí)通過(guò)改變接觸面的法向接觸剛度因子FKN來(lái)調(diào)整接觸面的接觸剛度k。

(a) 接觸面分離

(b) 接觸面穿透

(a) 1階振型

(b)2階振型

(c) 3階振型

(d) 4階振型

(e) 5階振型

(f) 6階振型

圖6 有安裝接觸面的懸臂梁模態(tài)振型
Fig.6 Modal shapes of cantilever beams with installation contact surfaces

3.1 接觸剛度對(duì)固有頻率的影響

設(shè)置懸臂梁約束端兩接觸面的摩擦系數(shù)f=0.1保持不變，改變接觸區(qū)域上下兩接觸面的法向接觸剛度因子FKN，保證每次分析時(shí)網(wǎng)格劃分的數(shù)量一致，避免因網(wǎng)格數(shù)量不一致而對(duì)分析結(jié)果造成影響。由表2可知有安裝接觸面的懸臂梁各階固有頻率隨著接觸面法向接觸剛度因子FKN的增大而增大，由式(7)可知，即各階固有頻率隨著接觸面接觸剛度的增大而增大。

表2 f=0.1時(shí)各法向接觸剛度因子對(duì)應(yīng)的各階固有頻率Tab.2 Natural frequencies corresponding to the normal contact stiffness factors at f=0.1 Hz

3.2 摩擦系數(shù)對(duì)固有頻率的影響

設(shè)置懸臂梁約束端兩接觸面的法向接觸剛度因子FKN=1保持不變，改變接觸區(qū)域上下兩接觸面的摩擦系數(shù)f，保證每次分析時(shí)網(wǎng)格劃分的數(shù)量一致，避免因網(wǎng)格數(shù)量不一致而對(duì)分析結(jié)果造成影響。各摩擦系數(shù)對(duì)應(yīng)的各階固有頻率如表3所示。由表3可知有安裝接觸面的懸臂梁各階固有頻率隨著接觸面摩擦系數(shù)f的增大而增大。

由圖6可知有安裝接觸面的懸臂梁模態(tài)振型并不會(huì)發(fā)生變化，與圖2、圖3中懸臂梁約束端完全固定時(shí)理論和仿真分析的模態(tài)振型保持一致。對(duì)比表1與表2、表1與表3可知，懸臂梁約束端完全固定時(shí)的各階固有頻率比設(shè)置有安裝接觸面的懸臂梁各階固有頻率比高。這是因?yàn)閷?duì)于圖4所示模型的懸臂梁本體只有兩個(gè)在接觸區(qū)域上下兩表面所建立的考慮摩擦因素接觸對(duì)的約束，而在第1、2節(jié)中理論和仿真分析時(shí)建立的約束端是完全固定的約束，當(dāng)接觸剛度或者摩擦系數(shù)變大時(shí)，懸臂梁約束端受到的約束力越大。造成的約束條件強(qiáng)度提高從而引起等效剛度增大的效應(yīng)，故其各階固有頻率相應(yīng)地變大。由上述分析可知，本文對(duì)有安裝接觸面的懸臂梁在ANSYS-workbench中的模態(tài)仿真分析結(jié)果是符合實(shí)際工程情況的，對(duì)工程應(yīng)用中懸臂梁結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)與優(yōu)化有一定的指導(dǎo)作用。

表3 FKN=1時(shí)各摩擦系數(shù)對(duì)應(yīng)的各階固有頻率Tab.3 Natural frequencies corresponding to the normal contact stiffness factors at FKN=1 Hz

4 接觸剛度對(duì)固有頻率影響的實(shí)驗(yàn)研究

實(shí)驗(yàn)中主要研究接觸剛度對(duì)有安裝接觸面懸臂梁固有頻率的影響，實(shí)驗(yàn)與仿真中進(jìn)行一樣的變量控制，即在兩個(gè)面間添加接觸彈簧，通過(guò)改變彈簧的勁度系數(shù)來(lái)模擬接觸剛度的改變，實(shí)驗(yàn)中選用5種不同勁度系數(shù)的扁彈簧來(lái)模擬兩個(gè)面間的接觸剛度見圖7。實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ腿鐖D8所示，把梁的一端放入兩塊夾具之間，從螺紋孔處放入彈簧，用螺栓擰緊從而使懸臂梁緊固，并保證每次擰緊的力大小相等。

圖7 扁彈簧
Fig.7 Flat spring

圖8 實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ?br/>Fig.8 Experimental model

為了快速地進(jìn)行懸臂梁固有頻率的測(cè)試，采用錘擊激勵(lì)的方式對(duì)懸臂梁進(jìn)行激勵(lì)，由于錘擊激勵(lì)是一種寬頻激勵(lì)，在低頻帶內(nèi)用該方法可以一次性激勵(lì)起系統(tǒng)的多階模態(tài)。實(shí)驗(yàn)中將懸臂梁自由端的中點(diǎn)作為錘擊點(diǎn)，懸臂梁根部的中點(diǎn)作為數(shù)據(jù)采集點(diǎn)，實(shí)驗(yàn)所用設(shè)備如表4所示。

表4 實(shí)驗(yàn)設(shè)備Tab.4 Experimental equipment

對(duì)其采集的時(shí)域信號(hào)進(jìn)行FFT變換得其振動(dòng)響應(yīng)的頻域信號(hào)，找出頻域上各峰值對(duì)應(yīng)的頻率即懸臂梁的固有頻率。圖9為彈簧勁度系數(shù)K=12.75 kN/m時(shí)所采集的信號(hào)分析圖，由圖9可知該實(shí)驗(yàn)所用的沖擊錘只能較明顯地激起懸臂梁的前3階模態(tài)。通過(guò)更換不同勁度系數(shù)的彈簧進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)試，結(jié)果如表5所示，由表5可知，有安裝接觸面懸臂梁的前3階固有頻率隨著接觸彈簧勁度系數(shù)的增大而增大。

(a) 時(shí)域信號(hào)

(b) 頻域信號(hào)

表5 不同勁度系數(shù)對(duì)應(yīng)的固有頻率Tab.5 Natural frequencies corresponding to different stiffness coefficients Hz

5 結(jié)論

利用歐拉—伯努利梁理論和ANSYS-workbench有限元軟件仿真計(jì)算懸臂梁前6階的固有頻率和模態(tài)振型，對(duì)比兩者的結(jié)果可知，仿真值和理論值相對(duì)誤差較小，說(shuō)明在Workbench中對(duì)懸臂梁進(jìn)行模態(tài)分析是可行的。在ANSYS-workbench中討論有安裝接觸面的懸臂梁其接觸面的接觸剛度和摩擦系數(shù)對(duì)其固有頻率的影響，發(fā)現(xiàn)有安裝接觸面的懸臂梁的固有頻率隨著接觸面接觸剛度和摩擦系數(shù)的增大而增大，而且還發(fā)現(xiàn)懸臂梁約束端完全固定時(shí)的各階固有頻率比設(shè)置有安裝接觸面的懸臂梁各階固有頻率高。最后建立實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ脱芯抗逃蓄l率隨接觸剛度的變化關(guān)系，其實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果固有頻率的變化趨勢(shì)具有一致性。