上海 常文武

某年上海市中學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競賽中有一道有趣的題，為了再讓它更有趣些，筆者改編題目如下：

一個(gè)圓形的機(jī)器人正在一塊邊長為1的正三角形草地內(nèi)修剪草坪（如圖1）.它的圓形的刀只能在三角形內(nèi)部貼著草坪的邊緣走，這樣它只能割掉圖中陰影部分.假如你可以調(diào)整旋轉(zhuǎn)刀具的半徑，選怎樣的半徑可以讓鋤草機(jī)器人作業(yè)面積最大？

圖1

這個(gè)最值問題可以反過來思考，也就是解決三個(gè)角上的圖形面積加上中間的三角形面積何時(shí)為最小的問題.

設(shè)所求的半徑為r，中間正三角形對(duì)稱中心到一邊的高為x.

記三角形每個(gè)角處留下的非陰影面積為S尖，它可以方便地由四邊形AOCB減去扇形OAB得到：

而x可以通過大三角形的外心到某一邊的距離值（內(nèi)切圓的半徑）減去2r得到：x＝.從而內(nèi)部小三角形的面積可算得為：

至此，我們希望總和最小的4塊面積S空可以寫作是r的一個(gè)二次三項(xiàng)式：

利用二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，這個(gè)二次三項(xiàng)式的最小值應(yīng)該在時(shí)達(dá)到，即

圖2

圖2就是按照這個(gè)半徑畫出的效果圖.

題目解完了，我們擱筆思忖，覺得中間這個(gè)洞似乎不夠完美.難道一定要留這個(gè)洞不成？

確實(shí)是這樣的.如果我們確保中間地帶不留空白，那就要增大半徑r的值，三個(gè)角的空白也就會(huì)隨之增大.顯然當(dāng)x＝0，也就是r＝時(shí)，既確保了中間地帶不留空白，又使得三個(gè)角的留白最小.將此r代入S空公式計(jì)算發(fā)現(xiàn)，空白總和并不是最小的.這也在情理之中，因?yàn)橹虚g的空在消失的瞬間，可以認(rèn)為是保留著一個(gè)邊長為0的正三角形.所以可以沿用前面分析的過程.

現(xiàn)在我們真的可以自信滿滿地說，我們找到了問題的答案.且慢！我們雖然從考官那里得了個(gè)滿分，但是這道題仍有可挖掘的“寶藏”.我們可以試著改變一下問題的條件.

比如，如果這塊三角形草地是一塊不規(guī)則的任意的三角形，問題該怎么解呢？

一塊三角形草地的邊長分別是a，b，c.一個(gè)圓形的機(jī)器人在為它修剪草坪.它的圓形的刀只能在三角形內(nèi)部貼著草坪的邊緣走，這樣它只能割掉如圖3所示的陰影部分.假如你可以調(diào)整旋轉(zhuǎn)刀具的半徑，選怎樣的半徑可以讓鋤去的草地面積最大？

圖3

顯然，新問題比原問題更難些.原來的求解思路考慮到等邊三角形的特殊性.但是，我們發(fā)現(xiàn)圓心的軌跡是一個(gè)三角形，它與草坪的輪廓是相似的.而且，如果中間有空隙的話，空隙也是一個(gè)三角形.顯然，這三個(gè)三角形是內(nèi)心重合、彼此相似的.

由相似三角形面積比是內(nèi)切圓的半徑之比的平方知，我們需要算出草坪三角形和機(jī)器人圓心軌跡三角形的內(nèi)切圓半徑，顯然二者相差一個(gè)機(jī)器人半徑r；草坪三角形面積和內(nèi)部的空白三角形的內(nèi)切圓半徑，兩者相差兩個(gè)機(jī)器人半徑2r.

利用內(nèi)切圓半徑之比也為相似比以及相似三角形面積比等于相似比的平方，可以算出角上的空白區(qū)域拼成的三角形（不難想象它的存在）面積為，因此，.

這樣，我們所關(guān)心的能割到的區(qū)域面積就是：

由于三角形內(nèi)切圓半徑R和半周長p乘積等于面積，即S＝pR，由此，.得

仍然利用二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，這個(gè)二次三項(xiàng)式的最大值應(yīng)該在時(shí)達(dá)到，即

最后，我們需要用三角形的三邊長表示其面積S.套用海倫公式：

經(jīng)過這番推廣，我們發(fā)現(xiàn)從一個(gè)小問題的解決可以發(fā)展到一類問題的解決辦法.一位哲學(xué)家說過，當(dāng)我們掌握了真理，就可以從一個(gè)必然王國到達(dá)一個(gè)自由王國.誠哉斯言！你可愿繼續(xù)探索——掙脫三角形的束縛，研究更自由的凸四邊形情況呢？假定凸四邊形ABCD的四條邊分別長a，b，c，d，并且它還是一個(gè)有內(nèi)切圓的四邊形.可以料想到方法是類同的，當(dāng)作是餐后的“甜點(diǎn)”吧！