顧肖逸

函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的一條主線，貫穿于高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，并在高考中扮演著重要的角色——它常常以壓軸題的形式出現(xiàn).函數(shù)問(wèn)題憑借其結(jié)構(gòu)形式多變、分類討論情況復(fù)雜等特點(diǎn)，成為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)之一.那么面對(duì)一道函數(shù)壓軸題，我們應(yīng)該如何對(duì)其進(jìn)行分析，從而獲解呢？下面以一道高考函數(shù)壓軸題為例，談?wù)勎以诮鉀Q函數(shù)壓軸題過(guò)程中的學(xué)習(xí)心得，與各位同學(xué)分享.

一、試題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f（x）＝ex＋e-x，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）證明：f（x）是R上的偶函數(shù)；

（2）若關(guān)于x的不等式mf（x）≤e-x＋m-1在（0，＋∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（3）已知正數(shù)a滿足：存在x0∈［1，＋∞），使得成立.試比較ea-1與ae-1的大小，并證明你的結(jié)論.

二、試題的分析與解

1.第一問(wèn)

第一問(wèn)比較簡(jiǎn)單，可直接利用定義解決.首先，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其次又因?yàn)閒（-x）＝e-x＋ex＝f（x），所以函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù).

2.第二問(wèn)

第二問(wèn)的分析與解，我采取了以下步驟進(jìn)行分析：

（1）認(rèn)知過(guò)程一：這是什么問(wèn)題？

從題干條件不難看出，這是一個(gè)典型的恒成立問(wèn)題.

（2）認(rèn)知過(guò)程二：我以前有沒有處理過(guò)類似的問(wèn)題，如果有，當(dāng)時(shí)是怎么解決的？

可以套用解決恒成立問(wèn)題的一般方法：參數(shù)分離法或構(gòu)造函數(shù)法.

（3）認(rèn)知過(guò)程三：在具體進(jìn)行操作時(shí)，如何選擇合適的方法進(jìn)行研究？

我在學(xué)習(xí)和研究函數(shù)問(wèn)題的過(guò)程當(dāng)中，積累了如下的解題經(jīng)驗(yàn)：

①一般來(lái)說(shuō)，如果容易分離的就進(jìn)行參數(shù)分離；

②在參數(shù)分離之前，可考慮用換元法將問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化.

由以上的認(rèn)知過(guò)程的分析，我嘗試給出了以下解法：

解法1mf（x）≤e-x＋m-1?m（ex＋e-x）≤e-x＋m-1，在x∈（0，＋∞）上恒成立，即m（ex＋e-x-1）≤e-x-1；令t＝ex（t＞1）；因?yàn)?，當(dāng)且僅當(dāng)t＝1時(shí)，等號(hào)成立；

當(dāng)t＞2時(shí)，h′（t）＞0；則當(dāng)1＜t＜2時(shí)，h′（t）＜0；因此可知當(dāng)t＝2時(shí)，h（t）有極小值.

（注：解法1在參數(shù)分離后利用導(dǎo)數(shù)方法求得函數(shù)的最小值.）

解法2由題意知，m（ex＋e-x）≤e-x＋m-1在（0，＋∞）上恒成立，令t＝ex，則t＞1.所以對(duì)任意的t＞1恒成立，注意到2＋1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)t＝2時(shí)等號(hào)成立，所以，故，因此m的取值范圍為.

（注：解法2在參數(shù)分離后利用基本不等式方法求得函數(shù)的最小值.）

（4）認(rèn)知過(guò)程四：本題如果利用構(gòu)造函數(shù)的方法進(jìn)行研究，如何對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論呢？

通過(guò)構(gòu)造函數(shù)解決恒成立問(wèn)題，分類討論是無(wú)法避免的，那么如何有效進(jìn)行參數(shù)的分類討論呢？我的體會(huì)和經(jīng)驗(yàn)是如果要分類討論，一定是產(chǎn)生解題沖突的結(jié)果.

比如對(duì)于含參的二次函數(shù)f（x）＝ax2-2x＋1來(lái)說(shuō)，此時(shí)產(chǎn)生的認(rèn)知沖突是它到底是什么函數(shù)？可能是一次函數(shù)，也可能是二次函數(shù)（開口可向上也可向下），因此需分為a＞0，a＝0，a＜0三種情況討論；再比如函數(shù)f（x）＝x2-（a＋1）x＋a，它可以因式分解為f（x）＝（x-1）（x-a），此時(shí)產(chǎn)生的認(rèn)知沖突是其零點(diǎn)的大小，因?yàn)樾璺譃閍＜1，a＝1，a＞1三種情況討論.以下利用構(gòu)造函數(shù)的方法不難給出本題的解法：

解法3由條件知m（ex＋e-x-1）≤e-x-1在（0，＋∞）上恒成立，令t＝ex（t＞1），則有，對(duì)任意的t＞1恒成立.令，

（注：因?yàn)榉帜负阏?，分子的正?fù)決定了g′（t）的正負(fù)，從而影響函數(shù)的單調(diào)性，分子部分即是前面所分析的含參的二次型函數(shù)，因此先對(duì)m＝0，m＞0，m＜0三種情況討論.

（1）當(dāng)m＝0時(shí)，，g（t）在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，所以g（t）＞g（1）＝m＝0，所以m＝0舍去；

（2）當(dāng)m＞0時(shí)，y＝mt2-m＋1在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，mt2-m＋1＞1＞0，g（t）在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，所以g（t）＞g（1）＝m＞0，所以m＞0舍去；

（3）當(dāng)m＜0時(shí)，由，易知g（t）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，解得.

3.第三問(wèn)

第三問(wèn)的分析與解，可以類比第二問(wèn)的步驟進(jìn)行分析：

（1）認(rèn)知過(guò)程一：這是什么問(wèn)題？

從題干條件不難看出，本題可分解為兩個(gè)小問(wèn)題：

問(wèn)題1：?x0∈［1，＋∞），使得成立，求參數(shù)a的取值范圍.

問(wèn)題2：利用問(wèn)題1得到的參數(shù)a的取值范圍，比較ea-1與ae-1的大小.

問(wèn)題1是一個(gè)典型的不等式有解問(wèn)題，問(wèn)題2則是一個(gè)比較代數(shù)式的大小問(wèn)題.事實(shí)上，很多函數(shù)壓軸題都可以進(jìn)行這樣的難題分解.將難題進(jìn)行分解，然后逐一解決，有時(shí)即使解決不了最終的問(wèn)題，但能解決分解后的幾個(gè)小問(wèn)題，從考試來(lái)說(shuō)，也能得到可觀的分?jǐn)?shù).

（2）認(rèn)知過(guò)程二：我以前有沒有處理過(guò)類似的問(wèn)題，如果有，當(dāng)時(shí)是怎么解決的？

不等式有解問(wèn)題方法和恒成立問(wèn)題一致，仍然可考慮參數(shù)分離法或構(gòu)造函數(shù)法.

對(duì)于比較大小問(wèn)題，可考慮構(gòu)造函數(shù)的方法解決.

由以上的認(rèn)知過(guò)程的分析，我嘗試給出了以下解法：

難題分解1：?x0∈［1，＋∞），使得成立，求參數(shù)a的取值范圍.

分解路徑1（構(gòu)造函數(shù)法）：

令g（x）＝f（x）-a（-x3＋3x），只要在x∈［1，＋∞）上，g（x）min＜0即可.

分解路徑2（參數(shù)分離法）：

（注：可能會(huì)有同學(xué)一陣眩暈，別怕，先從函數(shù)解析式的角度進(jìn)行觀察，在定義域上，分子部分是單調(diào)遞增的函數(shù)，分母部分是單調(diào)遞減的函數(shù)，且分子和分母均大于0恒成立，g（x）還不是單調(diào)遞增嗎？有了這個(gè)目標(biāo).對(duì)接下去的證明工作起了很好的導(dǎo)向作用，通過(guò)觀察，我們猜想g（x）是一個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)，那還不應(yīng)該大于0恒成立嗎？）

難題分解2：如何根據(jù)求得的參數(shù)a的取值范圍比較ea-1與ae-1的大??？

分解路徑1（取對(duì)數(shù)后構(gòu)造函數(shù)比大?。?/p>

由于ea-1與ae-1均為正數(shù)，同取自然底數(shù)的對(duì)數(shù)，即比較（a-1）lne與（e-1）lna的大小，即比較與的大小.

（注：取對(duì)數(shù)思想在高考題中的體現(xiàn)可追溯到1992年全國(guó)高考題：

（1）已知a，b為實(shí)數(shù)，且e＜a＜b，其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，證明ab＞ba；

（2）如果正實(shí)數(shù)a，b滿足ab＝ba，且a＜1，證明：a＝b.）

分解路徑2（變同底，構(gòu)造函數(shù)比大小）：

要比較ea-1與ae-1的大小，由于ae-1＝e（e-1）lna，那么，故只要比較a-1與（e-1）lna的大小.

令h（x）＝（e-1）lnx-（x-1），那么，當(dāng)x＞e-1時(shí)，h′（x）＜0；當(dāng)0＜x＜e-1時(shí)，h′（x）＞0；所以在區(qū)間（0，e-1）上，h（x）為增函數(shù)；在區(qū)間（e-1，＋∞）上，h（x）為減函數(shù).

又h（e）＝0，h（1）＝0，則；那么當(dāng)時(shí)，h（a）＞0，eh（a）＞1，ae-1＞ea-1；當(dāng)a≥e時(shí)，h（a）≤0，0＜eh（a）≤1，ae-1≤ea-1.

三、試題解決的啟發(fā)

通過(guò)以上的分析，我們不難總結(jié)出一些解決函數(shù)壓軸題的思路，也同時(shí)能獲得一些良好的解決函數(shù)問(wèn)題的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

首先，我們對(duì)問(wèn)題進(jìn)行總體感知，確定問(wèn)題模型，即明確該問(wèn)題涉及的基本問(wèn)題是什么，以及主要的解決方案是什么，從而形成良好的解題結(jié)構(gòu).以本題為例，本題涉及了高中函數(shù)的重要問(wèn)題：恒成立問(wèn)題和存在性問(wèn)題.由此，我們利用解題學(xué)習(xí)獲得的經(jīng)驗(yàn)明確這類問(wèn)題的解題方向：對(duì)函數(shù)的最值加以研究，并對(duì)命題進(jìn)行轉(zhuǎn)化.而對(duì)于這兩類問(wèn)題，常見的研究方法是參數(shù)分離法和構(gòu)造函數(shù)法.

其次，對(duì)條件的結(jié)構(gòu)加以觀察，選取解決問(wèn)題的最優(yōu)方法.以本題為例，在第二問(wèn)的解決過(guò)程中不等式的結(jié)構(gòu)形式較為清晰，容易進(jìn)行參數(shù)分離，參數(shù)分離是本題的最優(yōu)方案，避免了冗雜的分類討論，但在第三問(wèn)中，結(jié)構(gòu)形式較為復(fù)雜，我們傾向于選擇直接構(gòu)造函數(shù)的方法，事實(shí)也證明了我們的分析——第三問(wèn)如果進(jìn)行參數(shù)分離，最后得到的結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，容易造成恐慌.因此，在解決問(wèn)題之前，選擇合適的解題策略也應(yīng)包含在問(wèn)題解決的過(guò)程之中.

最后，對(duì)難題進(jìn)行分解.綜合題之所以成為綜合題，可能是由多個(gè)知識(shí)點(diǎn)組合而成的，或是由多個(gè)基本題拼湊形成的.對(duì)于一些較難的函數(shù)問(wèn)題，當(dāng)實(shí)在啃不動(dòng)時(shí)，一個(gè)明智的做法是：可以將它劃分為幾個(gè)子問(wèn)題或一系列的步驟，嘗試去解決問(wèn)題的一部分，得到相應(yīng)的得分，從而盡可能提高壓軸題的得分.