朱 斌，劉曉婷，曲 孟

(長安大學 公路養(yǎng)護裝備國家工程實驗室，西安 710064)

0 引 言

圖形變換是將幾何圖形按照某種法則或規(guī)律變成另一種幾何圖形的過程，它是CAD/CAM和計算機圖形學等課程的重要教學內(nèi)容[1-4]，也是學生學習和理解CAD基本原理的基礎(chǔ)，其算法具有廣泛的工業(yè)應(yīng)用[5-8]。該內(nèi)容兼顧理論性和實踐性，在傳統(tǒng)的圖形變換教學中，矩陣運算是其主要內(nèi)容，教師在授課過程中經(jīng)常需要把大量的時間花費在矩陣的各種推導和計算上，而對圖形變換的原理和變換過程無法直觀演示，缺少必要的軟件實驗環(huán)節(jié)，學生難以領(lǐng)會和掌握圖形變換的算法和實現(xiàn)技巧[9]。

為使學生深入理解圖形變換的基本原理和實現(xiàn)方法，課題組經(jīng)多年教學探索和實踐，提出了基于模塊化程序設(shè)計思想和Matlab軟件的圖形變換教學方法，并開發(fā)了相應(yīng)的Matlab程序，該程序可直觀、形象地展示平移、旋轉(zhuǎn)、比例等基本幾何變換和更為復雜的復合變換。學生通過上機實驗，可交互式完成各種圖形變換。此外，在此基礎(chǔ)上學生還可以結(jié)合自己的學習興趣進行多種拓展練習，形成理論與實踐互動。實踐表明，該方法的應(yīng)用有助于提高學習積極性、培養(yǎng)學習興趣，深入理解和掌握圖形變換的基本原理和實現(xiàn)方法。

1 Matlab圖形變換原理與流程

Matlab是美國MathWorks公司于1984年推出的商業(yè)數(shù)學軟件，是matrix&laboratory兩個詞的組合，即矩陣實驗室。該軟件具有強大的數(shù)值分析、矩陣運算等功能，已成為大學教學和科研中必不可少的工具之一[10-11]。采用Matlab軟件實現(xiàn)圖形變換的流程介紹如下。

1.1 圖形變換基本原理

圖形變換主要包括二維圖形幾何變換和三維圖形幾何變換。變換的圖形可視為點的集合，變換的實質(zhì)是對組成圖形的各個頂點進行坐標變換[1]。二維圖形的變換過程可表示為[9]：

(x,y,1)T=(x′,y′,1)

(1)

式中:(x,y,1)為變換前點的坐標;(x′,y′,1)為變換后點的新坐標;T為基本變換矩陣。

由式(1)可以看出，圖形變換的關(guān)鍵在于變換矩陣的構(gòu)造，二維圖形的基本幾何變換可通過圖形的頂點坐標與基本變換矩陣乘積得到；而復合變換可由若干個簡單的基本幾何變換組合得到。其中，基本幾何變換的類型主要有：比例變換、對稱變換、平移變換、旋轉(zhuǎn)變換等[12]，如表1所示。

表1 二維圖形的基本幾何變換矩陣

上述變換矩陣可分為兩類：①變換矩陣中不包含變換參數(shù)，即變換過程中不需要用戶輸入?yún)?shù)，如：對稱變換；②變換矩陣中包含變換參數(shù)，即在變換過程中需要用戶輸入必要的變換參數(shù)，如：比例變換中的比例因子、旋轉(zhuǎn)變換的旋轉(zhuǎn)角度、平移變換中的平移量等。依據(jù)上述變換矩陣的形式，采用模塊化程序設(shè)計思想，可將基本變換矩陣構(gòu)造為相應(yīng)的Matlab函數(shù)，在函數(shù)內(nèi)部進行變換計算，程序變更也只在函數(shù)內(nèi)部進行，不影響其他模塊，保證程序具有一定的靈活性和開放性，有助于學生在此基礎(chǔ)上進行各種拓展學習。

1.2 基本變換矩陣函數(shù)的構(gòu)造

按照模塊化設(shè)計思想，對不需要輸入?yún)?shù)的對稱變換可定義為Matlab的一個無參數(shù)函數(shù)，如對x軸對稱的變換函數(shù)可定義為：

!X軸對稱變換函數(shù) Transformation_X.m

function Transformation_X()

global Points;!定義全局坐標點集矩陣;

Tsx=zeros(3,3);!定義3×3全0矩陣;

Tsx(1,1)=1;!設(shè)置(1,1)元素為1;

Tsx(2,2)=-1;!設(shè)置(2,2)元素為-1；

Tsx(3,3)=1;!設(shè)置(3,3)元素為1；

Points=(Points'*Tsx)';

!原點集與變換矩陣相乘得到新點集;

對于需要輸入?yún)?shù)的變換，同樣可在Matlab中定義為一個無參數(shù)函數(shù)，在調(diào)用該函數(shù)時，彈出提示，要求用戶以交互的方式輸入相應(yīng)的參數(shù)，如下面的旋轉(zhuǎn)變換函數(shù)：

!旋轉(zhuǎn)變換函數(shù) Transformation_R.m

function Transformation_R()

global Points;!定義全局坐標點集矩陣;

a=input('請輸入旋轉(zhuǎn)角度(逆時針)：');

!彈出提示，輸入后賦值給變量a;

T2=zeros(3,3);

T2(1,1)=cosd(a);

T2(1,2)=sind(a);

T2(2,1)=-sind(a);

T2(2,2)=cosd(a);

T2(3,3)=1;

Points=(Points'*T2)';

! 原點集與變換矩陣相乘得到新點集;

其他基本變換可以采用相同方式定義為相應(yīng)的函數(shù)，并放在指定目錄下供主程序調(diào)用。

1.3 圖形基本變換的實現(xiàn)

將基本變換矩陣定義為Matlab函數(shù)后可實現(xiàn)各種基本變換。以三角形的基本幾何變換為例，程序的處理流程如圖1所示。

圖1 圖形基本變換處理流程

其中，畫三角形函數(shù)為根據(jù)3個點的坐標值畫出相應(yīng)的三角形，變換前和變換后均調(diào)用該函數(shù)，定義好后同樣將該函數(shù)放到指定的目錄下供主程序調(diào)用。畫三角形函數(shù)為：

!畫三角形函數(shù) Draw3Points.m

function Draw3Points(x1,x2,x3,y1,y2,y3)

line([x1,x2],[y1,y2]);!連接點1和點2;

line([x1,x3],[y1,y3]);!連接點1和點3;

line([x2,x3],[y2,y3]);!連接點2和點3;

text(x1,y1,'A');!標注點1為A;

text(x2,y2,'B');!標注點2為B;

text(x3,y3,'C');!標注點3為C;

在此基礎(chǔ)上，學生可根據(jù)需要進行各種拓展練習，自行設(shè)計出任意的圖形，如：T字形、任意四邊形等，并寫成函數(shù)形式，在主程序中直接調(diào)用。

1.4 復合變換的實現(xiàn)

CAD/CAM中的圖形變換過程是復雜的，往往用一種基本變換不能實現(xiàn)，必須由兩種或多種基本變換的組合才能得到所需的最終變換圖形，這種復合變換所對應(yīng)的變換矩陣稱為復合變換矩陣[1]，可表示為多個基本變換的乘積，即：

T=T1T2Tn

(2)

式中：T1,T2,…,Tn為基本變換矩陣。

根據(jù)復合變換的變換原理，在圖形基本變換的基礎(chǔ)上可通過交互的方式實現(xiàn)復合變換，具體流程如圖2所示。

圖2 圖形的復合變換流程

按構(gòu)成復合變換的基本變換矩陣順序輸入，如要求繞任意點A旋轉(zhuǎn)α角的變換圖形，按照復合變換原理，其基本變換矩陣組合為：

T=T平T轉(zhuǎn)T-平

(3)

對上述變換，根據(jù)圖2所示，用戶按順序輸入(2,7,2)，其中2、7分別表示平移變換和旋轉(zhuǎn)變換，并注意以逗號分割。主程序執(zhí)行時將按輸入的順序依次執(zhí)行平移和旋轉(zhuǎn)變換函數(shù)，并提示輸入相應(yīng)的平移量和旋轉(zhuǎn)角度等參數(shù)值。

2 應(yīng)用實例

2.1 圖形基本變換應(yīng)用

以三角形變換為例，在Matlab中運行主程序，當運行到需要輸入變換類型時會彈出如下提示：

請輸入基本變換類型，1-比例；2-平移、3-對x軸對稱；4-對y軸對稱；5-對+45°線對稱；6-對-45°線對稱；7-旋轉(zhuǎn)：______。

圖3為輸入不同類型變換后的運行結(jié)果。

圖3 輸入不同類型變換后的運行結(jié)果

2.2 復合變換運行實例

由復合變換原理可知，圖形的復合變換是若干個基本變換的組合，且矩陣組合順序要符合變換規(guī)律，即基本變換矩陣應(yīng)按照變換順序輸入。仍以三角形變換為例，圖4所示為三角形繞點(0,3)旋轉(zhuǎn)90°的變換結(jié)果。按照圖2所示變換流程，復合變換矩陣T=T2T7T-2,即輸入(2,7,2)，主程序?qū)⒀h(huán)調(diào)用平移、旋轉(zhuǎn)和平移3個函數(shù)。當?shù)?次平移變換函數(shù)被調(diào)用時，會提示輸入平移變換的平移量，即：x方向平移量為0；y方向平移量為-3；第2次循環(huán)調(diào)用旋轉(zhuǎn)變換函數(shù)，輸入旋轉(zhuǎn)角度90°，最后再次調(diào)用平移變換函數(shù)，并輸入x和y方向的平移量，分別為0和3。最終變換結(jié)果見圖4。圖5所示為三角形沿直線x+y=2對稱的變換結(jié)果，該復合變換矩陣為T=T2T7T3T-7T-2，需要依次進行平移、旋轉(zhuǎn)、對稱、旋轉(zhuǎn)、平移共5次基本變換，對T2變換輸入：x方向平移量-2，y方向平移量0；T7輸入旋轉(zhuǎn)角度45；T3沿x軸對稱，無輸入；T-7輸入旋轉(zhuǎn)角度-45；T-2輸入x方向平移量2，y方向平移量0，最終變換結(jié)果如圖5所示。

圖4 繞(0,3)點旋轉(zhuǎn)90°的變換結(jié)果圖5 沿與直線x+y=2對稱變換結(jié)果

3 拓展學習

在本文的實現(xiàn)思路和程序框架基礎(chǔ)上，學生可結(jié)合自己的興趣進一步開展以下內(nèi)容學習：

(1)變換圖形由三角形改變?yōu)槠渌麍D形，如：T字形、任意四邊形等；按照本文提供的畫三角形函數(shù)的方法，可指導學生將三角形改寫為T字形、任意四邊形或其他直線圖形等函數(shù)形式。

(2)按照該方法的實現(xiàn)框架和方法可進行三維圖形的幾何變換[13-15]；按照二維圖形的幾何變換思路，可指導學生進行三維圖形的幾何變換，將二維圖形基本變換矩陣構(gòu)造為4×4階變換矩陣，掌握矩陣不同元素對變換的影響。同樣寫成Matlab函數(shù)形式，具體實現(xiàn)方法與二維相同。

(3)進行非直線圖形的變換練習，如：圓、橢圓、拋物線、圓弧等。在CAD/CAM或圖形學等教材中，均未介紹非直線圖形的幾何變換，但借助本文的思路，將畫三角形函數(shù)進行適當改造，同樣可以實現(xiàn)圓、拋物線等非直線圖形的圖形變換。

4 結(jié) 語

課題組多年的實踐表明，該方法的應(yīng)用有助于提高學習積極性、培養(yǎng)學習興趣，深入理解和掌握圖形變換的基本原理和實現(xiàn)方法。可達到以下目標：①有助于學習和掌握圖形變換的基本原理和實現(xiàn)方法；②理解和掌握CAD軟件的基本實現(xiàn)過程和開發(fā)方法；③通過圖形變換的學習，提高Matlab軟件的應(yīng)用技能和解決問題的能力。