蔣 鈺，張曉麗

（1.深圳信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院公共課教學(xué)部，廣東 深圳 518172；2.深圳信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院中德學(xué)院，廣東 深圳 518172）

引言

科學(xué)家對(duì)大型工程的設(shè)計(jì)、未知科學(xué)領(lǐng)域的探索以及開展獨(dú)創(chuàng)性工作等均需要進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)、周密、非常詳細(xì)的科學(xué)計(jì)算和理論分析研究。這些工程設(shè)計(jì)和知識(shí)探索所需要的科學(xué)計(jì)算、分析和研究均離不開計(jì)算方法，因此《計(jì)算方法》課程的教學(xué)和課堂設(shè)計(jì)就顯得尤為重要。教師只有不斷地完善和提高該門課程的教學(xué)質(zhì)量，充分激發(fā)起學(xué)生的濃厚興趣，調(diào)動(dòng)起學(xué)生的積極主動(dòng)性，使學(xué)生充分理解計(jì)算方法算法求解設(shè)計(jì)的思想，牢固掌握算法的編程技巧，提高學(xué)生解決實(shí)際問題的動(dòng)手能力，才能使《計(jì)算方法》課程的教與學(xué)和實(shí)際應(yīng)用融會(huì)貫通、融為一體。本文結(jié)合《計(jì)算方法》課程的特點(diǎn)，有針對(duì)性地提出了《計(jì)算方法》課程教學(xué)改革的方案，在教學(xué)方法、課程內(nèi)容設(shè)置、課程考核方式等方面進(jìn)行了一些改革和創(chuàng)新。

《計(jì)算方法》是一門非常重要的基礎(chǔ)課程，它是科學(xué)計(jì)算的核心，對(duì)解決實(shí)際問題必不可少。該門課程對(duì)培養(yǎng)和提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力、科學(xué)計(jì)算能力和創(chuàng)新能力具有極其重要的作用[1]。數(shù)值計(jì)算方法不僅包含有數(shù)學(xué)理論類型的數(shù)學(xué)公式，又具有實(shí)際問題的應(yīng)用，還需要一些計(jì)算機(jī)編程技術(shù)，因此它具有抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性、實(shí)驗(yàn)性[2-3]等特點(diǎn)。

在數(shù)學(xué)教育工作中，時(shí)常遇到學(xué)生問這樣的問題：“老師，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)究竟有什么用？”學(xué)生感覺所有算法不過就是一堆的定理、公式，在學(xué)生的心中覺得這門課程缺乏實(shí)用價(jià)值，煩躁乏味。在《計(jì)算方法》的教學(xué)過程中，教師往往把它作為一門純數(shù)學(xué)類課程，進(jìn)而過分強(qiáng)調(diào)該課程的嚴(yán)謹(jǐn)性、系統(tǒng)性、完整性，卻忽視了這門課程所具有的實(shí)際應(yīng)用性及其發(fā)展性。

1 課程特點(diǎn)

《計(jì)算方法》課程普遍具有以下特點(diǎn)[4-5]：每種算法均有其對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)公式和相應(yīng)的誤差計(jì)算公式，而且定理定義繁多，各種算法的演變及公式推導(dǎo)和定理的證明極其復(fù)雜，它的理論性非常強(qiáng)，又具有一定的抽象性，加上算法相當(dāng)豐富，構(gòu)造的每種算法公式都需要通過編寫相應(yīng)的程序代碼在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。由于該課程的這些特點(diǎn)決定了它是一門知識(shí)豐富、邏輯性強(qiáng)、理論抽象和實(shí)際應(yīng)用結(jié)合非常緊密的課程。

2 教學(xué)改革措施

基于以上現(xiàn)狀及數(shù)值計(jì)算方法的課程特點(diǎn)[6-7]，本文創(chuàng)新性地提出以下幾點(diǎn)課程教學(xué)方法改革的嘗試。

學(xué)習(xí)過程其實(shí)質(zhì)是一個(gè)逐漸發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的過程，因此我們提出以解決生活中的實(shí)際問題來驅(qū)動(dòng)教學(xué)。這些案例既有學(xué)生日常的生活案例，也有高科技方面的案例。通過培養(yǎng)學(xué)生對(duì)各種算法的熟悉感也增強(qiáng)學(xué)生的好奇心，從而驅(qū)動(dòng)學(xué)生去學(xué)習(xí)和探索。以問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)是根據(jù)問題的實(shí)際情景及其實(shí)際數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)圖形的特點(diǎn)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后設(shè)置合理有效的算法，讓學(xué)生在教師指導(dǎo)下進(jìn)行有目標(biāo)的思考、探索尋求，從而解決實(shí)際問題的一種教學(xué)方法。

2.1 培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及實(shí)際應(yīng)用能力

興趣是人們做好任何工作的源動(dòng)力，因此應(yīng)從培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣入手，課堂上理論講授時(shí)結(jié)合實(shí)驗(yàn)演示，具體數(shù)值實(shí)驗(yàn)以選取學(xué)生身邊發(fā)生的事件為主，增加一些科技方面的案例。通過讓學(xué)生分組討論，提高學(xué)生的參與性，擴(kuò)大他們的知識(shí)面，讓學(xué)生明白算法在生活中的具體應(yīng)用是處處可見的，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)某一門課程的興趣，必須先了解該課程的研究對(duì)象。計(jì)算方法本質(zhì)是研究科學(xué)計(jì)算和工程設(shè)計(jì)過程中求解由實(shí)際問題經(jīng)過理想化簡單化以后建立的數(shù)學(xué)模型的數(shù)值解[8]，具有相當(dāng)廣泛的實(shí)際應(yīng)用背景。講授課程內(nèi)容時(shí)，每一章的內(nèi)容只需要講解一個(gè)經(jīng)典算法，通過一個(gè)實(shí)際問題導(dǎo)入，然后設(shè)計(jì)算法，編寫程序，演示計(jì)算過程及其結(jié)果。其它算法都由學(xué)生分組討論并且去實(shí)現(xiàn)。比如線性代數(shù)方程組求解這一章的內(nèi)容，只需要講解Gauss列主元算法，通過超市商品采購問題的引入，建立線性方程組，設(shè)計(jì)算法，運(yùn)用Matlab軟件求解該線性方程組，得出數(shù)值解，從而解決實(shí)際問題。其余算法都由相關(guān)的實(shí)際問題引入，安排學(xué)生分組討論，然后由小組組長解釋匯報(bào)每一段程序的邏輯語句，演示程序計(jì)算過程和計(jì)算結(jié)果，在組長匯報(bào)過程中，提問該組其他同學(xué)，請(qǐng)同學(xué)解釋程序中設(shè)計(jì)的每行代碼的實(shí)際含義及其上下語句間的邏輯聯(lián)系。講解算法時(shí)，給學(xué)生講清楚算法設(shè)計(jì)的思想、算法的設(shè)計(jì)構(gòu)架、從實(shí)際問題導(dǎo)入、建立數(shù)學(xué)模型、設(shè)計(jì)算法、編程實(shí)現(xiàn)。

授課教師在講授本科數(shù)學(xué)類課程的教學(xué)過程中，以往更多注重的是定理、公式的證明、推導(dǎo)以及計(jì)算，忽略了或者沒有充分闡述為什么構(gòu)造這種算法，構(gòu)建算法的思想來源，并且很少結(jié)合工程上的實(shí)際應(yīng)用。相反我們是從解決實(shí)際問題出發(fā)，激發(fā)學(xué)生求解實(shí)際問題的興趣，使學(xué)生充分理解算法構(gòu)建的思想來源，在實(shí)現(xiàn)算法編程時(shí)充分闡述所使用到的定理和公式。例如，在講授插值法的時(shí)候，引導(dǎo)學(xué)生思考插值法在實(shí)際生活中的應(yīng)用。考慮首先引入一個(gè)具體的實(shí)例，根據(jù)工程上提供的測試數(shù)據(jù)如表1所示，畫出飛機(jī)機(jī)翼的一部分幾何圖形，然后建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)數(shù)值算法，再進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn)求解。本案例分別采用拉格朗日插值算法（Lagrange）、分段性插值算法（Piecewise linear）和三次樣條插值算法（Spline1）三種不同算法對(duì)其進(jìn)行求解，計(jì)算結(jié)果如圖1所示。

表1 工程數(shù)據(jù)

圖1 計(jì)算結(jié)果

從以上三個(gè)計(jì)算結(jié)果的圖形我們可以很直觀地看出，關(guān)于這個(gè)實(shí)際的問題，我們會(huì)選用三次樣條插值算法。首先拉格朗日插值算法在x=0和x=3之間的彎度太大，不便于實(shí)際設(shè)計(jì)。而x=14彎曲處，分段線性插值的光滑性不夠好，出現(xiàn)尖點(diǎn)。因此通過比較不難發(fā)現(xiàn)，三次樣條插值算法是最優(yōu)的。所以關(guān)于本案例選擇三次樣條插值法最合適，同時(shí)給學(xué)生指明針對(duì)具體的案例，有些算法適合，而有些算法不適合，算法本身沒有好壞優(yōu)劣之分。

圖2 計(jì)算結(jié)果

在講解最小二乘法的時(shí)候，采用學(xué)生日常能夠接觸到的事例演示和模擬，以便于學(xué)生能更深層次理解該算法和用途。比如利用社會(huì)零售總額與職工工資總額的數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)數(shù)值算法，通過數(shù)據(jù)擬合，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而達(dá)到預(yù)測職工工資和商品銷售額度的目的。從圖2左邊的圖形可以看出，商品銷售額和職工工資基本呈線性關(guān)系。數(shù)據(jù)擬合結(jié)果如圖2左圖所示再進(jìn)一步從銷售額和流通率之間的關(guān)系，通過數(shù)據(jù)擬合，設(shè)計(jì)高效的算法。建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)模型求解問題，通過商品的流通率更好地預(yù)測商品的銷售額。數(shù)據(jù)擬合結(jié)果如圖2右圖所示，數(shù)值結(jié)果圖形化直觀明了。根據(jù)這兩個(gè)實(shí)例，學(xué)生進(jìn)一步理解了數(shù)據(jù)擬合的作用，更好地掌握了數(shù)據(jù)擬合，通過學(xué)生身邊日常發(fā)生的事件為案例設(shè)計(jì)算法，從而加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的熟悉感，也加深學(xué)生對(duì)本門課程的學(xué)習(xí)興趣。

關(guān)于每種算法都是用這樣類似的實(shí)例，讓同學(xué)們根據(jù)具體的數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)各種算法，畫出計(jì)算結(jié)果的幾何圖形，反復(fù)觀察比較各種算法在具體實(shí)例中的優(yōu)劣性，算法本身并沒有優(yōu)劣性之分，但是針對(duì)具體問題就要選擇適合于該問題的最優(yōu)算法。以此手段使得學(xué)生對(duì)各種算法有更深層次的理解。

充分利用學(xué)生的好奇心與新鮮感，激發(fā)起濃厚的學(xué)習(xí)興趣，多介紹其實(shí)用性，尤其是介紹高科技的應(yīng)用，使學(xué)生能了解到各種實(shí)際的高科技問題均是運(yùn)用計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行求解的，再配上相應(yīng)的計(jì)算結(jié)果的幾何圖形，這樣圖文并茂生動(dòng)形象的授課，很快就會(huì)激發(fā)學(xué)生的濃厚興趣，認(rèn)識(shí)到該門課程的實(shí)際意義，從而激發(fā)學(xué)生的主觀能動(dòng)性和積極性。注重幾何直觀性，圖文并茂，加強(qiáng)直觀性教學(xué)，就是在教學(xué)過程中把猜想、畫圖、類比、動(dòng)畫等各種手段靈活加以運(yùn)用，在概念、定理、證明、解題中突出它的直觀性，從而使得學(xué)生產(chǎn)生濃厚的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)直覺，取得良好的教學(xué)效果。

上課前就把lagrange插值算法的程序及實(shí)際算例的代碼以及數(shù)據(jù)擬合的操作示例等相關(guān)文件發(fā)到學(xué)生微信群，要求學(xué)生根據(jù)lagrange插值程序改寫課本上其它各種插值算法，從而加深學(xué)生對(duì)各種插值公式的理解與記憶，學(xué)生體驗(yàn)到自己也可畫出飛機(jī)的機(jī)翼輪廓，這樣使得學(xué)生感覺飛機(jī)機(jī)翼設(shè)計(jì)這種高科技并不是那么遙遠(yuǎn)；解決超市的管理層如何設(shè)計(jì)商品數(shù)與職工工資的比例問題，從而帶著新奇又興奮的心理走進(jìn)課堂學(xué)習(xí)。根據(jù)學(xué)生的上機(jī)表現(xiàn)，適當(dāng)增加或者減少平時(shí)成績和上機(jī)操作成績。獎(jiǎng)勵(lì)與懲罰并用，提高學(xué)生上機(jī)的積極主動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和解決實(shí)際問題的能力。

講述此種算例的時(shí)候，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用Matlab軟件，簡單方便。因?yàn)镸atlab中有現(xiàn)成的插值方法，也可以自己編寫代碼。教師上課時(shí)可以現(xiàn)場演練Lagrange、分段線性和三次樣條三種插值方法，并且比較三種算法針對(duì)不同實(shí)際問題的優(yōu)劣性。并且把程序發(fā)給學(xué)生，要求學(xué)生根據(jù)教師所給程序改寫其它的插值算法，從而比較各種插值法的異同點(diǎn)，Matlab中自帶很多庫函數(shù)，直接調(diào)用，簡單方便。

2.2 采取靈活多樣的教學(xué)手段

關(guān)于《計(jì)算方法》這門課程，學(xué)生面臨最大的困難和挑戰(zhàn)是枯燥繁雜的數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)和程序語言的實(shí)現(xiàn)。因?yàn)檎n堂時(shí)間有限，所以教師制作微課是必要的一種教學(xué)手段。我們把課堂上學(xué)生最不容易理解的數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)做成微課視頻，發(fā)到學(xué)生的手機(jī)微信群或者QQ群上，這樣學(xué)生可以反復(fù)觀看，而且也沒有時(shí)間和地點(diǎn)的限制。程序?qū)崿F(xiàn)的算法，老師也可以先自己實(shí)驗(yàn)操作，邊操作邊講解，通過錄屏軟件錄制為小視頻，發(fā)到學(xué)生手機(jī)上，從而使得枯燥的數(shù)學(xué)理論教學(xué)變成了圖文并茂有聲有色的視頻講解，而且學(xué)生可以隨時(shí)隨地學(xué)習(xí)，采用主體課堂與微課課堂互相結(jié)合的混合學(xué)習(xí)模式，提高學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解和把握，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極主動(dòng)性和學(xué)習(xí)效果均得到了顯著提高。此外，在課堂上經(jīng)常采用“彈幕”課堂模式，防止學(xué)生上課打游戲，從而引導(dǎo)學(xué)生跟隨老師的指導(dǎo)進(jìn)入課程學(xué)習(xí)。

2.3 數(shù)值計(jì)算方法課程考核方式的合理化與科學(xué)化

本課程采用理論考試（半開卷）與上機(jī)實(shí)驗(yàn)考察相結(jié)合的考核方式。上機(jī)實(shí)驗(yàn)考試學(xué)生可以利用互聯(lián)網(wǎng)，也可以參考以前發(fā)給他們的相關(guān)微課視頻。

每門課程的考核都是教學(xué)的最后一個(gè)必不可少的環(huán)節(jié)，是考核教師教學(xué)質(zhì)量和衡量學(xué)生學(xué)習(xí)水平的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，這個(gè)環(huán)節(jié)的實(shí)施可以更好地促進(jìn)和督促學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握所學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生對(duì)問題的分析能力和解決能力。依據(jù)這門課程的教學(xué)目標(biāo)，要求學(xué)生能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)相關(guān)算法及其理論解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題，以及用計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)語言編程或者用數(shù)學(xué)軟件實(shí)現(xiàn)其算法，因此本課程采用理論考試（半開卷）與上機(jī)實(shí)驗(yàn)考查相結(jié)合的考核方式。理論部分主要考查學(xué)生對(duì)計(jì)算方法的基本概念、算法的設(shè)計(jì)及其構(gòu)造思想的掌握?？碱}要有一定的綜合性，知識(shí)面要寬，但是盡量保持計(jì)算量較小的原則。理論部分考試允許考生用規(guī)定數(shù)量的紙張自由準(zhǔn)備考試需要資料，考試仍采用定時(shí)的書面答卷形式，這樣既保證考試的公平性，又可以避免學(xué)生死記硬背。對(duì)于實(shí)驗(yàn)考核，教師可根據(jù)講授內(nèi)容提供多個(gè)應(yīng)用性較強(qiáng)的實(shí)驗(yàn)題，盡量涵蓋課程中的重要算法，以備學(xué)生自由選取。為防止學(xué)生之間互相抄襲，保證成績的客觀公正，可將學(xué)生分成三人或四人一組，每組隨機(jī)抽取一個(gè)實(shí)驗(yàn)題目，學(xué)生必須在教師面前現(xiàn)場進(jìn)行程序的設(shè)計(jì)和運(yùn)行，并回答程序設(shè)計(jì)中的相關(guān)問題，教師可以根據(jù)實(shí)驗(yàn)報(bào)告、程序設(shè)計(jì)、問題回答等給出每組的實(shí)驗(yàn)考核成績。最后將理論考試成績與實(shí)驗(yàn)成績按一定比例計(jì)入該課程的最后成績。

3 結(jié)語

《計(jì)算方法》的教學(xué)改革是一項(xiàng)艱巨的任務(wù)，需要教師、學(xué)校等多方面長期進(jìn)行研究、實(shí)踐，需要根據(jù)互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代大學(xué)生自身的認(rèn)知特點(diǎn)有針對(duì)性地調(diào)整教學(xué)方法、課程內(nèi)容設(shè)置和教學(xué)計(jì)劃，以提高課堂教學(xué)的效果和學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量。本文從互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代大學(xué)生的心理發(fā)展認(rèn)知和《計(jì)算方法》課程的特點(diǎn)出發(fā)，有針對(duì)性地提出了《計(jì)算方法》課程教學(xué)改革的方案，通過在教學(xué)方法、課程內(nèi)容設(shè)置、課程考核方式等方面的革新，充分激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，逐步提高了學(xué)生的科學(xué)計(jì)算能力和創(chuàng)新能力，從而提高這門課程的教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)水平。

通過以上的教學(xué)改革，以近三年的教學(xué)結(jié)果來看，《計(jì)算方法》這門課程得到了學(xué)生的認(rèn)可，激發(fā)了學(xué)生對(duì)本門課程的學(xué)習(xí)興趣，加深了學(xué)生對(duì)每種算法公式的理解和記憶，使學(xué)生所學(xué)習(xí)的算法在實(shí)際生活中得到了具體的應(yīng)用，取得了突出的教學(xué)效果。