廖春艷 趙艷輝 唐偉國

摘 要：本節(jié)課是基于微課的教學設計，為了將抽象的概念簡單化，在教學設計中利用第二宇宙速度問題創(chuàng)設情境，切入主題。通過探索實際問題與無窮限反常積分的聯(lián)系，明確無窮限反常積分的應用思路和方法，進而提高學生分析和解決實際問題的能力，降低學生學習的畏懼感。同時，挖掘高等數(shù)學中課程思政元素，將高等數(shù)學上出新氣象。

關鍵詞：教學設計;高等數(shù)學;無窮限反常積分;課程思政

《高等數(shù)學》是面向高等院校理工類本科專業(yè)學生開設的一門公共基礎課，著重培養(yǎng)學生的抽象思維、邏輯推理以及分析問題解決問題的能力，是開展數(shù)學素質教育、培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神和創(chuàng)新能力的重要課程。當下，移動設備的普及以及網(wǎng)絡信息精彩紛呈，學生總是不由自主被其吸引，就算教學經(jīng)驗豐富的教師要很好地把控課堂也變得非常艱難，面對新的形式，高校教師應如何進行有效地教學？

微課是近幾年興起的一種新的教學模式，它以短小精煉的形式呈現(xiàn)一個個知識點，將抽象的概念形象化、生動化、直觀化、生活化，使得整個教學過程妙趣橫生。由于它獲取方式的便捷性，因此學生可以不受時間、空間的約束反復觀看視頻來進行學習，此外，微課時間短，學生的注意力能夠短時集中，合理有效地將微課應用到教學中，有利于提高學生的綜合數(shù)學素養(yǎng)，提高教學質量。同時，高校教師也應做好準備，抓住機遇，主動探究利用現(xiàn)代化信息技術有效組織課堂教學，改進教學方式、提高授課效果，提高學生的高等數(shù)學知識儲備。下面，就以高等數(shù)學中無窮限反常積分教學設計為例，談一下筆者的教學體會與實踐。

一、 無窮限反常積分的教學設計

（一） 教學設計的總體思路

微課設計的初衷是將枯燥晦澀的學習內容科學化、生活化、趣味化、合理化，這種教學模式有利于激發(fā)學生學習的主動性并提高教學效果，授課教師和學生教學相長。

本節(jié)課以嫦娥奔月、牛郎織女、萬戶升天等古代人類對太空充滿向往的故事引入新課，再通過當代的中國航空事業(yè)的發(fā)展，以及衛(wèi)星對我們的生活所帶來的翻天覆地的影響切入新課，引出利用火箭發(fā)射衛(wèi)星案例，順利進入今天的主題，展開教學。并以火箭發(fā)射的物理背景作為新課探究知識點，誘導學生對新問題進行分析，展開對新知識的學習。本節(jié)課主要采用啟發(fā)式、探究式、研討式教學，始終從問題出發(fā)，層層設疑，誘發(fā)學生解決問題的欲望，引導學生在不斷思考中獲取知識。教學中，引導學生通過小組討論獲得合理解決方案，當一個個數(shù)學問題通過學生合作探究得到答案時，定能增強學生解決問題的成就感。

（二） 教學設計的過程

1. 從生活實例出發(fā)——概念的引入

荷蘭著名數(shù)學家、數(shù)學教育家漢斯·弗賴登塔爾認為：“數(shù)學來源于現(xiàn)實，存在于現(xiàn)實，并且應用于現(xiàn)實，數(shù)學過程應該是幫助學生把現(xiàn)實問題轉化為數(shù)學問題的過程”。教師在教學中始終將知識學習與生活實際緊密結合，鮮活的生活場景有助于學生將已有的知識進行轉化。通過嫦娥奔月、牛郎織女、萬戶飛天等同學耳熟能詳?shù)墓适禄仡欀袊湃说娘w天夢，利用中國古代的飛天夢和現(xiàn)代人的飛天夢描述，為后面的火箭發(fā)射案例的引出做鋪墊，增強學生的民族自豪感。

案例引出：在地球表面垂直發(fā)射火箭，要使火箭克服地球引力無限遠離地球，初速度v0至少要多大？

2. 剖析問題——新知探究

通過對案例的分析得到12mv20=∫∞RmgR2x2dx，學生不難發(fā)現(xiàn)要求初始速度v0，必須先計算出這個無窮限積分∫∞RmgR2x2dx，這個積分結構上類似定積分，但它的積分區(qū)間是無窮區(qū)間，該如何來計算呢？

引導學生把握好兩個思想，第一，轉化的思想。將未知的無限區(qū)間上的積分轉化為學生熟悉的有限區(qū)間上的定積分。第二，極限的思想，利用極限的思想理解無窮限積分反常積分的概念。所以這個無窮限積分∫∞RmgR2x2dx的實質就是求定積分的極限問題limx→∞∫xRmgR2x2dx，由此引出無窮區(qū)間上反常積分的概念。這部分內容的設計主要培養(yǎng)學生的數(shù)學思維方法，掌握問題求解的思路。

3. 定義梳理——探究實質

師生共同梳理、分析、總結無窮限反常積分的定義。在原函數(shù)存在的情況下，又利用?！R公式，得出結論：無窮限反常積分計算問題的實質為計算定積分的極限存在與否。同時，我們已經(jīng)得出了函數(shù)f（x）定義在[a，∞）的無窮限反常積分，如果函數(shù)f（x）定義在（-∞，b]上，又該如何定義？函數(shù)f（x）定義在（-∞，∞）上，又該如何定義？

提出問題，啟發(fā)學生思考探究，模擬已知的定義得出其他情形無窮限反常積分的定義。針對其他兩種情形，需進一步強調定義中“定積分+極限”的思想，并且指出∫+∞-∞f（x）dx的收斂性與收斂時的值，都和實數(shù)a的選取無關。由于∫+∞-∞f（x）dx是由∫+∞af（x）dx和∫b-∞f（x）dx兩類無窮積分來定義的，因此，f（x）在任何有限區(qū)間v，u（-∞，+∞）上必須是可積的。

給出反常積分的幾何意義。啟發(fā)學生回顧定積分的幾何意義為求曲邊梯形面積，無窮限反常積分的幾何意義如何描述？利用多媒體，給出無窮限反常積分的幾何意義：求開口曲邊梯形的面積。進一步加深概念的理解。

4. 實例計算——強化定義

給出經(jīng)典例題：討論無窮積分∫+∞a1xpdx的斂散性。

引導學生計算實例，加深反常積分定義及幾何意義的理解，明確并強調反常積分計算原則，并指出要計算無窮限反常積分，關鍵只要計算定積分的極限是否存在即可，強調p=1的時候的特殊性，得出結論：p>1，收斂;p≤1，發(fā)散，并指出這道例題的結論經(jīng)常用來判斷一些無窮限反常積分的斂散性。同時，這道例題的講解也為后續(xù)引例的求解做鋪墊。

5. 引例求解——學以致用

回顧引例，在案例中，把常數(shù)mgR2從積分號中提出，即為∫+∞R1x2dx的積分，也是一個反常積分，不難發(fā)現(xiàn)，這正是前一例題中p=2時的特殊情形，由分析可知是收斂的。將g=9.81（m/s2），R=6.371×106（m）代入，有v0=2gR≈11.2（km/s），這就是我們熟悉的第二宇宙速度?；仡櫥鸺l(fā)射案例，掌握反常積分的實際應用，計算引例，首尾呼應。通過第二宇宙速度問題的引入，激發(fā)學生自主學習的積極性，探索實際問題與無窮區(qū)間上的反常積分的聯(lián)系，明確無窮區(qū)間上的反常積分的應用思路和方法，最終提高學生分析和解決實際問題的能力。

6. 融入思政元素——提升學生人文情懷

從中國古代的飛天夢，到現(xiàn)代人的飛天夢，進而引入衛(wèi)星發(fā)射，切入教學主題，融入思政教育。從古至今，人類的飛天夢從未間斷，中國人的飛天夢從未間斷。航天日新月異，讓中國夢更加完美。通過第二宇宙速度的求解，讓學生體會到數(shù)學思想的美妙，數(shù)學是有“用”的。同時，簡要介紹國家航天事業(yè)發(fā)展之路所創(chuàng)造的奇跡，領會我國在航天技術發(fā)展過程中形成的航天精神，只要我們腳踏實地，一步一個腳印地走下去，當我們的知識積累，先進技術由量變到質變的時候，中華民族的騰飛之日必將到來。通過思政元素的融入有效地激發(fā)學生的愛國主義情感和民族自豪感，激發(fā)學生學習科學技術的熱情和動力。

7. 小結

本節(jié)課通過火箭發(fā)射的具體案例，采用轉化的思想，從有限區(qū)間過渡到無限區(qū)間再利用極限的思想給出反常積分的概念及斂散性的判定方法，介紹了無窮限反常積分的幾何意義，并給出了無窮積分的典型計算問題?；仡櫡闯７e分概念的形成思路，幫助學生更好地梳理與掌握本次課的重點知識。

8. 課后延伸——補充課堂知識

簡單介紹“喇叭悖論”，從有趣的悖論著手，激發(fā)學生探知欲望，引導學生分析悖論的實質，即涉及旋轉體的容積和內側表面積問題。拓展學生的思維和知識面，也能培養(yǎng)學生科學想象力和探索新知的能力。補充課堂知識，加深對所學知識的理解，達到更好的學習效果。

二、 結束語

合理利用微課教學可以更好地提高教學效率，優(yōu)化教育結構，微課的教學應緊扣主題，而不能單純?yōu)榱俗非笕の缎裕瑒?chuàng)新性而忽視了授課的主旨——知識的傳授，好的教學設計可以使得微課變得精彩且有生命力。傳統(tǒng)的高等教育教學模式正處于千載難逢的變革之中，高校教師在教學中應順應潮流，腳踏實地，推陳出新，在教學設計中，充分利用多媒體技術，采用豐富的教學素材，挖掘課程思政元素，形象生動地展示課程內容，提升學生的學習興趣。同時，注重學生的數(shù)學思考與交流，數(shù)學思維的培養(yǎng)，提升數(shù)學課堂的深度，促進學生快速、有效、個性化、愉悅地學習。

參考文獻：

[1]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]華東師大數(shù)學系.數(shù)學分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]黃寬娜，劉徽，江志華.基于MOOC思想下的高等數(shù)學微課教學的設計與應用[J].西南師范大學學報，2016，41（10）：146-149.

作者簡介：

廖春艷，趙艷輝，唐偉國，湖南省永州市，湖南科技學院理學院數(shù)學系。