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“三桿+軌”問題的試題編制與分析策略

2019-07-08 00:37福建
教學(xué)考試(高考物理) 2019年3期
關(guān)鍵詞:磁感線金屬棒安培力

福建

“三桿+軌”問題是中學(xué)“桿+軌”模型在單桿和雙桿題型基礎(chǔ)上衍生的一種新的物理模型。作為中學(xué)物理考查動生類電磁感應(yīng)問題的重要載體,三桿與導(dǎo)軌的結(jié)合不僅使試題延續(xù)了傳統(tǒng)“桿+軌”問題中的研究對象多、綜合知識點(diǎn)多、分析情境復(fù)雜、知識和能力綜合性強(qiáng)等特點(diǎn),而且還增強(qiáng)了對學(xué)生物理思維、科學(xué)探究等核心素養(yǎng)的考查。不論對教師命題還是學(xué)生解題都是一個新的研究課題,因此積極探索三桿問題的命題情境和分析策略,編制契合高考考綱要求的試題體系,對增強(qiáng)學(xué)生物理建模的能力,培育學(xué)生處理問題的能力,提升學(xué)生物理思維都具有積極的意義。

【方向1】三桿均置于磁場內(nèi),桿1切割,束縛桿2、3均處于靜止。

【設(shè)計思路】設(shè)計三根導(dǎo)體桿放置于同一磁場或不同磁場內(nèi)(如圖1),其中桿1切割磁感線,而桿2和桿3均于磁場中處于靜止?fàn)顟B(tài)。

圖1

【分析策略】桿2和桿3在磁場中相當(dāng)于電阻,模型的本質(zhì)仍是單桿問題,解題時可分別對動桿和束縛桿進(jìn)行受力分析,動桿按單桿模型動態(tài)分析,綜合法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、牛頓運(yùn)動定律、動能定理求解,受外力約束而靜止的束縛桿應(yīng)用平衡條件處理,然后以電流強(qiáng)度作為橋梁聯(lián)立分析即可,在分析時要注意電源的位置及三桿的連接方式。

【例1】如圖2所示,間距為L、電阻不計的平行金屬導(dǎo)軌OPQ和LMN分別固定在兩個豎直面內(nèi),在水平面PQMN區(qū)域內(nèi)有方向豎直向上、大小為B1的勻強(qiáng)磁場,傾角為θ的斜面OPML區(qū)域內(nèi)有方向垂直于斜面向上、大小為B2的勻強(qiáng)磁場。將質(zhì)量為m、電阻為R、長為L的三根導(dǎo)體棒放置在導(dǎo)軌上,其中棒2的兩端分別固定在P、M點(diǎn),表面粗糙的棒3放置在傾斜導(dǎo)軌上,剛好不下滑,光滑的棒1在水平外力作用下由靜止開始以恒定的加速度a沿水平導(dǎo)軌向右運(yùn)動,棒1始終與導(dǎo)軌垂直且兩端與導(dǎo)軌保持良好接觸,滑動過程中始終處于豎直磁場中,重力加速度為g。求:

(1)棒3剛要向上滑動瞬間,棒3中電流I的大小和方向;

(2)棒3剛要向上滑動瞬間,水平外力的功率P。

圖2

【解析】(1)開始時,棒3剛好不下滑,根據(jù)平衡條件

mgsinθ=Ff

棒3剛要上滑的瞬間,根據(jù)平衡條件

B2IL=mgsinθ+Ff

通過棒3的電流方向沿棒垂直紙面向里。

(2)將棒2、棒3看成定值電阻,根據(jù)串并聯(lián)關(guān)系得

I總=2I

以棒1為研究對象,根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律得

E=B1Lv

根據(jù)牛頓第二定律F-B1I總L=ma

棒3剛要上滑的瞬間,拉力的功率P=Fv

【點(diǎn)評】棒2和棒3受約束處于靜止?fàn)顟B(tài),在電路中可看成定值電阻,棒1在磁場中做切割磁感線運(yùn)動產(chǎn)生感應(yīng)電動勢,根據(jù)回路的串并聯(lián)關(guān)系可得出棒1和棒3電流的關(guān)系,對棒3受力分析,由平衡條件可求出通過棒3的電流大小及方向,結(jié)合感應(yīng)電動勢、閉合電路歐姆定律、牛頓運(yùn)動定律和功率公式即可聯(lián)立求解。

【方向2】三桿均置于磁場內(nèi),桿1切割,桿2處于靜止,桿3沿磁場方向共線運(yùn)動(v3∥B)。

【設(shè)計思路】設(shè)計三根導(dǎo)體桿放置于同一磁場或不同磁場內(nèi)(如圖3),其中桿1運(yùn)動切割磁感線,而桿2約束處于靜止?fàn)顟B(tài),桿3(共線桿)于磁場中沿磁場方向運(yùn)動。

圖3

【分析策略】桿2受約束處于靜止?fàn)顟B(tài),相當(dāng)于定值電阻,共線桿由于速度方向平行于磁場方向沒有產(chǎn)生感應(yīng)電動勢,模型的本質(zhì)仍是單桿問題,題型分析策略是切割桿按單桿模型進(jìn)行分析和處理,受外力束縛而靜止的束縛桿根據(jù)平衡條件處理,共線桿則進(jìn)行動態(tài)分析,尋找最終穩(wěn)態(tài)的動力學(xué)關(guān)系,以電流為橋梁聯(lián)立三桿方程進(jìn)行求解。

【例2】相距L=1 m的足夠長金屬導(dǎo)軌豎直放置,質(zhì)量為m1=1 kg的金屬棒ab和質(zhì)量為m2=0.27 kg的金屬棒cd均通過棒兩端的套環(huán)水平地套在金屬導(dǎo)軌上,金屬棒ef固定于金屬導(dǎo)軌上,如圖4所示,虛線上方磁場方向垂直紙面向里,虛線下方磁場方向豎直向下,兩處磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相同。ab棒光滑,cd棒與導(dǎo)軌間動摩擦因數(shù)為μ=0.75,三棒的電阻均為R=0.3 Ω,導(dǎo)軌電阻不計。t=0時刻起,ab棒在方向豎直向上、大小按圖5所示規(guī)律變化的外力F作用下,由靜止沿導(dǎo)軌向上勻加速運(yùn)動,同時由靜止釋放cd棒。(g取10 m/s2)

圖4

圖5

(1)求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和ab棒加速度大小;

(2)已知在2 s內(nèi)外力F做功40 J,求這一過程中金屬棒cd產(chǎn)生的焦耳熱;

(3)求出cd棒達(dá)到最大速度所對應(yīng)的時刻t1。

【解析】(1)導(dǎo)體棒ab在勻加速運(yùn)動的過程中,ef棒始終處于靜止,cd棒運(yùn)動方向與磁場方向平行沒有產(chǎn)生感應(yīng)電動勢,閉合回路仍為單電源問題。

設(shè)經(jīng)過時間t,金屬棒ab的速率v=at

回路中的感應(yīng)電流為

對金屬棒ab,由牛頓第二定律得

F-m1g-BIL=m1a

由圖5可知

t1=0時,F(xiàn)1=11 N

t2=2 s時,F(xiàn)2=14.6 N

代入解得a=1 m/s2,B=0.9 T

(2)在2 s末金屬棒ab的速率vt=at=2 m/s

電路中產(chǎn)生的總熱量Q=6Qcd

聯(lián)立以上方程解得Qcd=3 J

(3)由題意可知,cd棒先做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動,當(dāng)cd棒所受重力與滑動摩擦力相等時,速度達(dá)到最大;然后做加速度逐漸增大的減速運(yùn)動,最后停止運(yùn)動。

當(dāng)cd棒速度達(dá)到最大時,有m2g=μBIcdL

整理得t1=4 s

【點(diǎn)評】棒ef受約束處于靜止?fàn)顟B(tài),在電路中可看成定值電阻,棒ab運(yùn)動產(chǎn)生感應(yīng)電動勢,棒cd共線桿沒有感應(yīng)電動勢,本題仍為單電源問題,結(jié)合單桿問題的分析思路和數(shù)學(xué)知識(斜率和截距),即可求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和ab棒加速度大小;動態(tài)分析cd棒的運(yùn)動情況,得出當(dāng)cd棒所受重力與滑動摩擦力相等時,速度達(dá)到最大,由平衡條件可求出電路中的電流,再由E=BLv、歐姆定律和運(yùn)動學(xué)公式結(jié)合求解時間t1。

【方向3】兩桿發(fā)生完全非彈性碰撞,碰撞后與桿3在磁場中同時切割磁感線。

【設(shè)計思路】設(shè)計三根導(dǎo)體桿放置于同一磁場、不同磁場或磁場內(nèi)外(如圖6),其中桿2運(yùn)動與桿3發(fā)生完全非彈性碰撞,碰后三桿于磁場中切割磁感線。

圖6

【例3】如圖7所示,一上、下兩層均與水平面平行的U形光滑金屬導(dǎo)軌放置于磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場中,兩導(dǎo)軌面高度差為H,導(dǎo)軌寬為L,導(dǎo)軌足夠長且電阻不計,在導(dǎo)軌面上各放一根質(zhì)量均為m、阻值均為R的勻質(zhì)金屬桿2和3。開始時兩根金屬桿位于同一豎直面內(nèi),桿與軌道垂直且處于鎖定狀態(tài),現(xiàn)有一質(zhì)量為m、阻值為R的金屬桿1于金屬桿2的左側(cè)相距L處以水平速度v0向右運(yùn)動,與金屬桿2相碰(作用時間極短)并粘連一起,碰撞前瞬間同時解除桿2和桿3的鎖定使兩桿能沿導(dǎo)軌自由滑動,求:

(1)桿1向右運(yùn)動L過程中通過桿1的電量q;

(2)桿1和桿2碰撞后瞬間的速度大??;

(3)整個運(yùn)動過程中回路的感應(yīng)電流產(chǎn)生的總焦耳熱。

圖7

(2)對桿1任一極短時間Δt內(nèi)應(yīng)用動量定理得

-BIL·Δt=mΔv,即-BL·Δq=mΔv

由于在極短時間內(nèi)上式均成立,故在桿1運(yùn)動至碰撞前過程中也成立,則有

-BLq=mv1-mv0

桿1和桿2碰撞瞬間,取桿1和桿2為系統(tǒng),由動量守恒定律得mv1=2mv2

(3)桿1碰撞前在安培力作用下做減速運(yùn)動,安培力做負(fù)功將棒的動能轉(zhuǎn)化為電能,再通過電流做功將電能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能,故焦耳熱等于桿1的動能減少量,由動能定理得

桿1和桿2碰撞之后在安培力的作用下,兩桿做減速運(yùn)動,桿3在安培力作用下做加速運(yùn)動,當(dāng)三桿速度大小相等時,回路內(nèi)感應(yīng)電流為0,之后三桿做勻速直線運(yùn)動,根據(jù)動量守恒定律得

2mv2=3mv3

根據(jù)系統(tǒng)的能量守恒定律得

故整個過程回路產(chǎn)生的總焦耳熱為

【方向4】三桿均放置于磁場內(nèi),同時切割磁感線。

【設(shè)計思路】設(shè)計三根導(dǎo)體桿放置于同一磁場或不同磁場內(nèi)(如圖8),賦予相同或不同的速度同時切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動勢。

圖8

【分析策略】三桿在磁場中同時切割磁感線時,產(chǎn)生三個感應(yīng)電動勢,模型會涉及三個電源的連接方式和三桿的動態(tài)分析問題,基于《考試大綱》的要求,試題的編制仍限定于電源串聯(lián)方式的討論。與雙桿同時切割模型類似,在涉及動態(tài)分析時,要注意桿系統(tǒng)有外力作用和無外力作用的最終穩(wěn)態(tài)問題。

【例4】如圖9所示,三根光滑金屬導(dǎo)軌ABC、DEF和GH水平固定,AB、EF平行于GH,BC平行于DE,導(dǎo)軌間距均為L,電阻不計,且整個導(dǎo)軌平面均處于豎直向下的勻強(qiáng)磁場中,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。三根金屬棒a、b、c垂直放置在導(dǎo)軌上,與導(dǎo)軌接觸良好,其中a、b兩金屬棒質(zhì)量均為m,電阻均為R,c金屬棒質(zhì)量為2m,電阻為2R,開始時金屬棒a、b處于靜止?fàn)顟B(tài),給c棒初速度v0向右運(yùn)動,假設(shè)軌道足夠長,棒a只在軌道AB與GH上運(yùn)動,棒b只在軌道BC與DE上運(yùn)動。求:

(1)金屬棒a、b、c最終穩(wěn)定的速度分別為多少;

(2)金屬棒a從開始運(yùn)動到最終穩(wěn)定所產(chǎn)生的熱量;

(3)在三根金屬棒的整個運(yùn)動過程中金屬棒a、b、c與水平導(dǎo)軌圍成面積的變化量。

圖9

【解析】(1)導(dǎo)軌光滑,所以在運(yùn)動過程中a、b、c不受摩擦力作用,在水平方向只受安培力,棒c以初速度v0向右運(yùn)動,則回路產(chǎn)生逆時針方向電流,c受向左的安培力,a受向右的安培力,b受安培力方向沿CB方向,所以a、b均開始做加速運(yùn)動,c做減速運(yùn)動,a、b產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢與c方向相反,當(dāng)三者產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢互相抵消時,回路電流為零,達(dá)到穩(wěn)定平衡狀態(tài),三棒同時開始做勻速運(yùn)動,故最終穩(wěn)定時Ec=Ea+Eb,即BLvc=BLva+BLvb①

對金屬棒a,根據(jù)動量定理得BLqa=mva-0 ②

對金屬棒b,同理得BLqb=mvb-0 ③

對金屬棒c,同理得-BLqc=2mvc-2mv0④

由于a、b、c始終串聯(lián),故qa=qb=qc

聯(lián)立②③得vb=va⑤

(2)取金屬棒a、b、c為系統(tǒng),根據(jù)系統(tǒng)的動能定理得

由于通過金屬棒的電流相同,故產(chǎn)生的熱量與電阻成正比,得

(3)取金屬棒a,由動量定理得BLq=mva,得

【點(diǎn)評】多軌多桿問題的分析重點(diǎn)在于注意金屬棒的動態(tài)運(yùn)動過程,明確在自由滑動的條件下金屬棒都勻速運(yùn)動時回路中總電動勢為零,要了解多個電源在電路中的連接特征,知道運(yùn)用動量定理是求電磁感應(yīng)中電量、動能定理是求熱量的常用思路。

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