周迎春

[摘? 要] 二元最值（范圍）問題，包括含參數(shù)的函數(shù)最值（范圍）問題是近十年高考導(dǎo)數(shù)題目中一種比較常見的題型.由于高中階段主要研究的是一元函數(shù)，而多元函數(shù)的變元之間的聯(lián)系方式存在多種情形，所以導(dǎo)致學(xué)生在解決這類問題時，容易產(chǎn)生認(rèn)知障礙、推理障礙和運算障礙. 解決多元最值問題，關(guān)鍵是要抓住問題產(chǎn)生的根源，即變元及變元之間的關(guān)系.解析近十年高考導(dǎo)數(shù)題目中的多元最值問題，形成常見的三類變元關(guān)系，從而實現(xiàn)有效的解題策略.

[關(guān)鍵詞] 二元;根源;策略

函數(shù)思想，是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本思想方法，函數(shù)方法，是解決求值、求范圍（最值）問題的重要工具. 在中學(xué)數(shù)學(xué)體系中，我們主要研究一元函數(shù)最值問題，對二元函數(shù)最值問題僅在特殊結(jié)構(gòu)或特定情景下進(jìn)行認(rèn)知. 然而，在近年的高考試題中，卻多次出現(xiàn)二元函數(shù)范圍（最值）問題，并形成以邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)考查為立意點的題目，為函數(shù)模塊的考查展現(xiàn)出不一樣的意蘊.

“如果說命題是將較簡單的問題、平凡的事實逐步演繹成復(fù)雜的、非平凡的問題，而解題則是把復(fù)雜的問題、非平凡的問題轉(zhuǎn)化為簡單的、基本的問題.”這就需要我們在認(rèn)知問題時的站位要更高，才能真正洞穿問題本質(zhì)，形成合理解題策略，駕馭不同情景下的題目. 對于多變元所產(chǎn)生的認(rèn)知障礙、推理障礙和運算障礙，產(chǎn)生于對“元”的認(rèn)知與解決策略. 消元，將多元問題化歸為一元問題，無疑是解決多元問題的總綱. 而化歸的具體方法，又取決于變元的形態(tài)、變元間的關(guān)系、表達(dá)結(jié)構(gòu)的特征等因素.

本文遴選近十年的幾個高考試題，追溯這類問題產(chǎn)生的本源，以及解決這類問題的常態(tài)策略.

替換——源于具有“完全相關(guān)性”的變元關(guān)系

完全相關(guān)變元是指表達(dá)式中的兩個變元之間是相互確定的，即當(dāng)確定其中一個變元的值，另一個變元的值隨之而確定，變元之間通常通過一個方程聯(lián)系起來. 此時的二元結(jié)構(gòu)實質(zhì)上是一元結(jié)構(gòu)的延展，是低維問題的高維化表示，即：函數(shù)的初始形式是y=f（x0），令x1滿足g（x1，x0）=0，則原函數(shù)就呈現(xiàn)出新形式y(tǒng)=f（g（x1，x0）），從而形成二元結(jié)構(gòu).

利用等量關(guān)系替換消元，是將多元問題化歸為一元問題的通性通法，關(guān)鍵是如何捕捉、挖掘題目條件中的等量關(guān)系信息，建立關(guān)于不同變元之間的方程，實現(xiàn)有效替換. 有的變元是以參數(shù)的身份呈現(xiàn)在函數(shù)解析式中，所以往往被認(rèn)為是一個常數(shù)，而事實上，含參函數(shù)的零點本身是關(guān)于參數(shù)的函數(shù)（或隱函數(shù)關(guān)系），所以參數(shù)本質(zhì)上是一個變元. 根據(jù)變元之間的不同關(guān)系，還常常通過均值換元、三角換元等技巧達(dá)成消元目的.

整合——源于具有“不完全相關(guān)性”的變元關(guān)系

不完全相關(guān)變元是指變元之間有關(guān)系，但不是確定性關(guān)系. 即當(dāng)其中的某個（或某些）變元的值確定時，另一個（或一些）變元的值不能夠確定，但可以確定這個（或這些）變元的部分性質(zhì)，如取值范圍等. 不完全相關(guān)的變元之間通常沒有等量關(guān)系連接，所以無法通過等量替換消元化歸成一元函數(shù)，導(dǎo)致表達(dá)式會始終保持多元狀態(tài). 此時需通過分析具體結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行轉(zhuǎn)換，通常整合成某種整體運算，形成廣義的一元表達(dá)式.

主元化——源于“無關(guān)”的變元

無關(guān)變元也可以稱為獨立變元.由于變元之間沒有任何關(guān)聯(lián)，所以可以認(rèn)為它們在表達(dá)式中的“地位”是平等的，但如果同時處理所有變元，往往會形成邏輯糾纏.此時，通常會采用獨立處理策略解決關(guān)于每個變元的局部最值，再進(jìn)行疊加;或采用主元認(rèn)知策略，即認(rèn)定其中一個字母為主變元，其余字母參數(shù)化，從而化歸為一元問題.

雖然獨立變元的運算地位是平等的，但在進(jìn)行主元認(rèn)定時，還是應(yīng)結(jié)合與之對應(yīng)的“一元函數(shù)”是否足夠簡單，選擇認(rèn)定順序，這是對運算程序的一種設(shè)計方法.

通過以上問題，我們不難看到，對“元”的認(rèn)知與理解，是解決多元最值（范圍）問題的“源”，對“元”的認(rèn)知與理解方式，決定了解題方向與策略、方法與技巧. 當(dāng)然，作為解題，我們可以將方法常態(tài)化，但不能將方法固態(tài)化，如例3也可以通過主元認(rèn)知的方式，形成相應(yīng)的求解方法.

解題能力是數(shù)學(xué)教師的一項基本重要能力，作為解題教學(xué)，當(dāng)教師的眼光局限于題目中的某個特殊技巧，或受困于紛繁復(fù)雜的情景變化，就會使得教學(xué)淺表化，產(chǎn)生低效的教學(xué)過程和教學(xué)效果. “不畏浮云遮望眼，自緣身在最高層”，只有撥開層層迷霧，抓住問題產(chǎn)生之“源”，才能形成解決方法之“流”. 這要求教師在解題視野上須有延展性，在解題策略上須有統(tǒng)領(lǐng)性，在解題研究上須有深入性，即要兼具寬度、高度、深度，只有這樣才能真正達(dá)成《課標(biāo)》對數(shù)學(xué)教師專業(yè)素養(yǎng)的要求.