鄒司偉

[摘? 要] 理論背景及應(yīng)用為高中數(shù)學(xué)課程“教什么”和“怎么教”提供了新的方向. 教師在授課中，有針對(duì)性地引入數(shù)學(xué)概念的發(fā)展歷史，適當(dāng)穿插理論背景及應(yīng)用的講解，能夠加深學(xué)生對(duì)概念的理解和對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科價(jià)值的認(rèn)識(shí)，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲. 文章結(jié)合教學(xué)實(shí)際引導(dǎo)學(xué)生從理論背景中尋找解題思路、尋找知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系、尋找數(shù)學(xué)的思想方法三個(gè)方面入手，探討如何讓學(xué)生在更深層面上理解數(shù)學(xué)科學(xué)，構(gòu)建起思想層面上的數(shù)學(xué)觀念.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué);理論背景;提升

隨著新課改的深入，新的教學(xué)方式、教學(xué)理念不斷引入到教學(xué)活動(dòng)中來(lái)，對(duì)學(xué)生的培養(yǎng)也逐漸由單純講解知識(shí)點(diǎn)向整合發(fā)展轉(zhuǎn)變，旨在不斷提升學(xué)生的綜合素質(zhì)能力. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，也相應(yīng)地存在“授之以魚(yú)，不如授之以漁”的轉(zhuǎn)變. 理論背景及應(yīng)用在高中數(shù)學(xué)課程“教什么”和“怎么教”的問(wèn)題上提供了新的方向. 在授課中，有針對(duì)性地引入數(shù)學(xué)概念的發(fā)展歷史，適當(dāng)穿插理論背景及應(yīng)用的講解，能夠加深學(xué)生對(duì)概念的理解和對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科價(jià)值的認(rèn)識(shí)，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲. 文章引導(dǎo)學(xué)生從理論背景中尋找解題思路、從理論背景中尋找知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系、從理論背景中尋找數(shù)學(xué)的思想方法三個(gè)方面入手，探討如何讓學(xué)生在更深層面上理解數(shù)學(xué)科學(xué)，實(shí)現(xiàn)發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法、提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的.

從理論背景中尋找解題思路

數(shù)學(xué)是一門注重培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和訓(xùn)練學(xué)生的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性的學(xué)科. 在數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)中的困惑，不在于知識(shí)點(diǎn)記憶不牢，而是不知道運(yùn)用哪一個(gè)知識(shí)點(diǎn)來(lái)解題. 即使將公式、定理背得滾瓜爛熟，依然無(wú)從下手. 這就要求教師善于引導(dǎo)學(xué)生尋找解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力.

2009年，筆者協(xié)助導(dǎo)師開(kāi)展助教工作，那是筆者人生第一次走上講臺(tái). 教的是一個(gè)大一金融班的高等數(shù)學(xué)課程，筆者帶著成為一名教師的神圣感和榮譽(yù)感，而學(xué)生給了筆者第一次站上講臺(tái)的尷尬. 第一節(jié)課，一位男生就站起來(lái)發(fā)問(wèn)，“我們?yōu)槭裁匆獙W(xué)ε-N語(yǔ)言？”雖然筆者努力說(shuō)服他數(shù)學(xué)理論的重要性，但很明顯地，他并不認(rèn)同. 后來(lái)，在與學(xué)生的交流中，筆者發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科很喜歡，但習(xí)慣于背概念、公式、定理以及做習(xí)題的學(xué)習(xí)模式，而對(duì)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論并不感興趣，不明白為什么要去深入理解那些晦澀難懂而又出不了考題的基礎(chǔ)理論.

第一次站上講臺(tái)的尷尬讓筆者始終記憶猶新. 回顧自己的學(xué)生時(shí)代，同樣把大量的時(shí)間花在了練習(xí)習(xí)題上，并沒(méi)有深入地探索數(shù)學(xué)的理論背景，了解背后的思想根源和實(shí)際意義是什么.

當(dāng)時(shí)筆者給了他兩種解法，一種是通過(guò)不等式變形，整體代換的方法;一種是通過(guò)取對(duì)數(shù)，將不等式組轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃的方法. 對(duì)于第二種方法，雖然過(guò)程他懂，但他問(wèn)筆者：“老師，你是怎么想到取對(duì)數(shù)的？”這的確是一個(gè)值得思考的問(wèn)題. 對(duì)教師來(lái)說(shuō)，這是一個(gè)再自然不過(guò)的解法了，但為什么學(xué)生想不到呢？

這個(gè)問(wèn)題筆者思考了很久，直到再一次拿起《必修1》的教材，在之前忽略的閱讀內(nèi)容中找到了答案：“歷史上在計(jì)算機(jī)發(fā)明以前，人類缺乏有效的大數(shù)計(jì)算工具，對(duì)數(shù)是被開(kāi)發(fā)出來(lái)簡(jiǎn)化煩瑣的計(jì)算的. 在對(duì)數(shù)的作用下，高階運(yùn)算可以被降為低階運(yùn)算. 對(duì)數(shù)工具的發(fā)明，可以說(shuō)是‘延長(zhǎng)了數(shù)學(xué)家的壽命.” 這個(gè)僅僅是看起來(lái)有趣的閱讀內(nèi)容提及的降階思想，雖然與應(yīng)試考點(diǎn)沒(méi)有直接關(guān)聯(lián)，但正是這道題目解題思路的來(lái)源.

這道題目同樣是使用對(duì)數(shù)工具降階運(yùn)算等級(jí)，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題. 但如果學(xué)生在平時(shí)學(xué)習(xí)中不了解對(duì)數(shù)的本源意義，面對(duì)這類看似不等式的問(wèn)題時(shí)，往往很難聯(lián)想到運(yùn)用對(duì)數(shù)工具.

類似地，在教學(xué)中談及角度的推廣和弧度制時(shí)，很少會(huì)談到為什么要進(jìn)行這樣的推廣. 但三角函數(shù)的推廣在之后的學(xué)習(xí)中是有重要意義的，比如函數(shù)中常用的三角代換技巧、圓與橢圓的參數(shù)方程等，在這些領(lǐng)域，三角函數(shù)都扮演著非常重要的角色.

這時(shí)，問(wèn)題變成了三角代換，而學(xué)生初見(jiàn)這個(gè)問(wèn)題，是很難想解決方法的. 如果在教學(xué)中，一開(kāi)始就有意地傳達(dá)三角函數(shù)的代數(shù)意義，在之后介紹到三角代換的技巧時(shí)，就不會(huì)顯得生硬，學(xué)生也更容易理解.

從理論背景中尋找知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系

近年來(lái)，高考中越來(lái)越多地出現(xiàn)復(fù)合型問(wèn)題. 對(duì)學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)考察也越來(lái)越全面化，這也是教學(xué)活動(dòng)的一個(gè)指向標(biāo). 教師應(yīng)更加重視理論背景的介紹，讓學(xué)生了解知識(shí)點(diǎn)之間的橫向和縱向聯(lián)系，從總體上把握數(shù)學(xué)知識(shí)的脈絡(luò)和體系，拓寬學(xué)生的思維、思路，進(jìn)一步培養(yǎng)和提高學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.

舉個(gè)例子，高中數(shù)學(xué)的孤島——復(fù)數(shù). 這個(gè)概念在江蘇高考中為B級(jí)考點(diǎn)，與其他概念聯(lián)系不大. 但如果深究一些，會(huì)發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)與其他概念之間有很多有趣的聯(lián)系. 作為A級(jí)考點(diǎn)的矩陣變換就有這樣一個(gè)應(yīng)用，利用伸壓變換矩陣，可以將一個(gè)橢圓變形為一個(gè)圓. 圓相較橢圓來(lái)說(shuō)，有很多良好的幾何性質(zhì)，利用其幾何性質(zhì)可以將問(wèn)題在圓中解決，再使用變換矩陣的逆變化將問(wèn)題還原，這就是常用的仿射變換方法. 既然橢圓問(wèn)題可以用這種方法轉(zhuǎn)化為圓問(wèn)題，那其他圓錐曲線，比如雙曲線也可以嗎？然而在實(shí)數(shù)域內(nèi)，雙曲線與圓之間有一道不可逾越的鴻溝：無(wú)論使用什么變化矩陣，都無(wú)法改變平方項(xiàng)的系數(shù)符號(hào). 這時(shí)，只要將矩陣中的元素?cái)U(kuò)充到復(fù)數(shù)域，問(wèn)題就迎刃而解了，這正是復(fù)數(shù)工具的作用. 使用這個(gè)特殊的仿射變換，可以得到很多關(guān)于雙曲線的二級(jí)結(jié)論，如雙曲線的中心弦公式等. 解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵，就是對(duì)復(fù)數(shù)這個(gè)B級(jí)考點(diǎn)的擴(kuò)充和深化，進(jìn)而讓學(xué)生理解，擴(kuò)充數(shù)域不僅僅是一個(gè)理論，更是有實(shí)際意義的.

從理論背景中尋找數(shù)學(xué)的思想方法

在教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，引導(dǎo)學(xué)生了解這一學(xué)科的前世今生，感受這一學(xué)科的理性美，尋找這一學(xué)科的思想方法，能夠有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)自主性和創(chuàng)造性.

上高中的侄子曾經(jīng)問(wèn)過(guò)筆者這樣一個(gè)問(wèn)題：“能不能定義一個(gè)數(shù)I，與0的乘積等于1？”

他告訴筆者，老師是這么引入復(fù)數(shù)單位的：談到虛數(shù)的大致過(guò)程是通過(guò)計(jì)算，最后得到的結(jié)果是對(duì)-1開(kāi)根，因此定義一個(gè)i，i的平方等于-1，式子就有結(jié)果了，答案是i.

侄子提問(wèn)：為什么不能定義一個(gè)數(shù)，和0相乘等于1呢，這樣其他數(shù)除以0就有結(jié)果了.

老師回答：0不能做除數(shù).

問(wèn)題似乎是解決了，但侄子依然不明白，雖然0不能做除數(shù)，但-1也不能開(kāi)根呀，為什么老師能定義i，而自己不能定義1與0的商呢？

這個(gè)問(wèn)題的答案涉及了數(shù)學(xué)的本源與邏輯范疇，如果抓住機(jī)會(huì)適當(dāng)引導(dǎo)，可以作為一堂很有深度的科普課.

其實(shí)，數(shù)學(xué)是一門純邏輯的學(xué)科，權(quán)威沒(méi)有用，有用的只有邏輯推理. 歐幾里得是幾何學(xué)大師，他定下了幾何學(xué)的5條共設(shè)，在此基礎(chǔ)上發(fā)展出了輝煌的歐式幾何. 但一樣會(huì)有后代的數(shù)學(xué)家來(lái)挑戰(zhàn)歐式幾何的第五共設(shè)，而正是這種挑戰(zhàn)，推進(jìn)了非歐幾何的建立. 數(shù)系的擴(kuò)充也同樣如此. 幾千年來(lái)，人們認(rèn)為負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，而由于實(shí)際需要，先代的數(shù)學(xué)家打破傳統(tǒng)，創(chuàng)造了復(fù)數(shù)單位，推廣了數(shù)系. 先人敢于挑戰(zhàn)傳統(tǒng)，教師又有什么理由來(lái)彈壓學(xué)生呢？

后來(lái)，筆者在教學(xué)中也遇到了學(xué)生問(wèn)同樣的問(wèn)題，筆者覺(jué)得能問(wèn)出這個(gè)問(wèn)題的孩子是很有想法的. 筆者贊賞了他，并與他一起推理引入1除0的商后，數(shù)系發(fā)生的變化，并在嚴(yán)密的邏輯推理下得到了這樣一個(gè)結(jié)果：“如果引入1除0的商，那么在滿足原有運(yùn)算規(guī)則的條件下，實(shí)數(shù)系中的每一個(gè)數(shù)都會(huì)等于0. ”學(xué)生發(fā)現(xiàn)，對(duì)比復(fù)數(shù)單位的引入，兩者的結(jié)果是完全不同的. 引入復(fù)數(shù)單位能夠擴(kuò)大數(shù)系，幫助解決更多的運(yùn)算問(wèn)題;而引入1除0的商卻會(huì)破壞整個(gè)實(shí)數(shù)系，導(dǎo)致任何運(yùn)算都沒(méi)有意義. 此后，筆者每提及數(shù)系擴(kuò)充，必講這個(gè)問(wèn)題. 筆者也更加深刻地感受到，教師不能將課堂當(dāng)成自己的“一言堂”，而是應(yīng)該在講解基本知識(shí)框架的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生通過(guò)自己的思考來(lái)體會(huì)知識(shí)發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造和應(yīng)用的過(guò)程. 只有通過(guò)自己探索并理解的知識(shí)，才能真正成為學(xué)生自己的知識(shí).

數(shù)學(xué)科學(xué)的內(nèi)容，包括數(shù)學(xué)知識(shí)和蘊(yùn)藏于知識(shí)中的思想方法. 概念、定理、公式等是數(shù)學(xué)的外在表現(xiàn)形式，但其背后的思想方法的教學(xué)價(jià)值還未引起充分的重視. 實(shí)際上，數(shù)學(xué)思想方法在科研中具有舉足輕重的地位和作用，具體表現(xiàn)在：一是提供簡(jiǎn)潔精確的形式化語(yǔ)言;二是提供數(shù)量分析及計(jì)算的方法;三是提供邏輯推理的工具. 在教學(xué)中，經(jīng)常會(huì)碰到這樣的學(xué)生，將“為什么”作為口頭禪. 雖然這些“為什么”不一定與考試有關(guān)，但這正是學(xué)生求知欲的體現(xiàn). 比如“為什么e是自然對(duì)數(shù)，這個(gè)無(wú)理數(shù)哪里自然了？”“為什么兩平面平行，一定有線面平行？”等等. 這些問(wèn)題看似刁鉆，但其實(shí)都指向了數(shù)學(xué)的本源. 如果好好利用，可以有效激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法的同時(shí)，構(gòu)建起思想層面上的數(shù)學(xué)觀念，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行解題分析，將知識(shí)運(yùn)用得更加得心應(yīng)手.