丁曉軍

[摘? 要] 數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，需要以理論為指導(dǎo)，更需要重視學(xué)生的認(rèn)知過程. APOS學(xué)習(xí)理論對于包括復(fù)數(shù)概念在內(nèi)的多個概念的教學(xué)有指導(dǎo)意義，基于其四個階段設(shè)計概念教學(xué)，可以讓學(xué)生在一個合理的認(rèn)知過程中，克服前概念的負(fù)遷移影響，有效地構(gòu)建起數(shù)學(xué)概念. 同時在此過程中，還可以吻合數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的相關(guān)要素，從而實現(xiàn)核心素養(yǎng)的培育. 教師基于實踐，研習(xí)理論，對于提高概念教學(xué)的有效性，是非常必要的.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);認(rèn)知過程;概念建構(gòu);APOS學(xué)習(xí)理論

根據(jù)認(rèn)知心理學(xué)的研究成果，人們一般認(rèn)為學(xué)習(xí)過程是由認(rèn)知支撐并促進(jìn)認(rèn)知發(fā)展的過程. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念教學(xué)是一個基礎(chǔ)，這個基礎(chǔ)體現(xiàn)在學(xué)生只有建立了對概念的真理解，才能在其基礎(chǔ)上繼續(xù)建構(gòu)其他概念或規(guī)律，也才能實現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的高效解決. 而在實際教學(xué)中，由于應(yīng)試等原因，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)往往被淡化，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)逐步讓位于習(xí)題教學(xué)，這就是所謂“考點（概念）知識習(xí)題化”所導(dǎo)致的結(jié)果. 近年來，概念教學(xué)重新受到重視，但對于如何實現(xiàn)概念的高效教學(xué)，目前還處于經(jīng)驗的重復(fù)運(yùn)用與爭論當(dāng)中，沒有形成真正的共識，實際上從認(rèn)知發(fā)展的角度關(guān)心學(xué)生建構(gòu)概念的過程，在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中真正尋找到一個堅實的理論基礎(chǔ)，是非常必要的. 筆者通過研究與梳理發(fā)現(xiàn)，APOS理論有著重要的作用.

APOS理論是美國著名數(shù)學(xué)教育家杜賓斯于20世紀(jì)80年代提出的關(guān)于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的理論，是一種具有學(xué)科特色的建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，被譽(yù)為近年來數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域最偉大的理論成果之一……APOS理論指出，在數(shù)學(xué)教學(xué)的過程中，學(xué)生經(jīng)歷活動、過程、對象等階段，一般能在建構(gòu)和反思的基礎(chǔ)之上，形成圖式，產(chǎn)生問題意識，并自主解決問題[1].

顯然，APOS理論不僅僅是面向概念的形成的，還是面向概念的理解與運(yùn)用的，因而其能夠讓學(xué)生在一個系統(tǒng)的過程中完成概念建構(gòu)，因而具有積極意義. 現(xiàn)以“復(fù)數(shù)”概念的教學(xué)，闡述筆者的簡單思考.

傳統(tǒng)復(fù)數(shù)概念教學(xué)的困境與APOS理論運(yùn)用的可行性

經(jīng)驗表明，復(fù)數(shù)對于學(xué)生來說是一個非常抽象的概念，尤其是對于一些學(xué)困生來說，復(fù)數(shù)根本難以容納到他們原有的認(rèn)知體系當(dāng)中去. 具體地講，有這樣幾個方面的干擾：

一是前概念的干擾. 在學(xué)生原有認(rèn)知體系中，已經(jīng)經(jīng)歷過從自然數(shù)到整數(shù)，再到有理數(shù)，然后到實數(shù)等. 這個過程中，數(shù)的概念擴(kuò)展了，數(shù)的運(yùn)算規(guī)則也在增加，因此學(xué)生的認(rèn)知系統(tǒng)也在被豐富. 如果梳理這一過程，可以發(fā)現(xiàn)每一次數(shù)的概念的擴(kuò)展，都是相對比較自然的，學(xué)生是容易接受的. 而也正是因為這種自然與容易接受，使得學(xué)生內(nèi)心對數(shù)的認(rèn)識變得比較模式化，因而在復(fù)數(shù)概念（包括復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則）構(gòu)建面前就只能具有低水平的思維定式. 顯然，這對復(fù)數(shù)概念的學(xué)習(xí)是有負(fù)遷移的.

二是復(fù)數(shù)的表達(dá)形式的干擾. 某種程度上講，形式的干擾實際上也是前概念的干擾，但筆者感覺還是有必要將其獨(dú)立表達(dá)出來，這是因為復(fù)數(shù)的表達(dá)形式與傳統(tǒng)的數(shù)是不一樣的，如果說傳統(tǒng)的數(shù)就是由阿拉伯?dāng)?shù)字表示的話，那復(fù)數(shù)的表達(dá)形式就是非常復(fù)雜的，比如說其有代數(shù)式a+bi（a，b都是實數(shù)），其有三角形式r（cosθ+sinθ），其還有點的形式（a，b）等，甚至還有向量形式與指數(shù)形式等. 在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，我們往往是忽視數(shù)學(xué)概念的表現(xiàn)形式的，往往都是認(rèn)為用某個形式表示某個數(shù)學(xué)概念是天經(jīng)地義的. 但對學(xué)生而言卻不是如此，數(shù)學(xué)概念的表現(xiàn)形式對學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念實際上有很大的影響. 比如學(xué)生大腦中以數(shù)字為代表的數(shù)，忽然變成了以多種形式為表現(xiàn)的數(shù)，這是“難以接受的”，是“想不通的”（均是學(xué)生的原話），這種難以接受與想不通，對學(xué)生接納復(fù)數(shù)概念有著不可忽視的負(fù)面影響.

所有這些，都從實踐角度說明了關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知過程對于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)而言確實非常重要. 同時，這樣的事實與APOS理論相當(dāng)一致. 該理論認(rèn)為，一個人（學(xué)生）是不可能直接學(xué)到數(shù)學(xué)概念的，人總是通過自己的心智結(jié)構(gòu)使數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生意義的. 換句話說，只有學(xué)生擁有了恰當(dāng)?shù)男闹墙Y(jié)構(gòu)，才能讓他們順利地構(gòu)建起數(shù)學(xué)概念. 那么在APOS理論中，復(fù)數(shù)概念又應(yīng)當(dāng)如何構(gòu)建呢？筆者結(jié)合APOS理論模型中的“四階段模型”，形成的初步思考是：在操作（action）階段，幫學(xué)生建立一個能夠便于學(xué)生加工的數(shù)學(xué)對象;在過程（process）階段，讓學(xué)生經(jīng)歷一個不需要外部刺激而進(jìn)行具體思維活動的構(gòu)建復(fù)數(shù)概念的活動;在對象（object）階段，讓學(xué)生帶著復(fù)數(shù)概念去操作相關(guān)的數(shù)學(xué)運(yùn)算;在圖式（scheme）階段，讓學(xué)生基于前面的理解產(chǎn)生一個相對穩(wěn)定的關(guān)于復(fù)數(shù)的圖式.

這樣的分析至少從理論上證明了在APOS理論下實現(xiàn)復(fù)數(shù)概念的有效構(gòu)建是可行的. 當(dāng)然，是否真正可行，還需要在實踐中加以驗證.

在對學(xué)生認(rèn)知過程高度關(guān)注過程中有效建構(gòu)數(shù)學(xué)概念

APOS理論指導(dǎo)下的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)過程中數(shù)學(xué)活動的重要性，倡導(dǎo)教師構(gòu)建直觀的概念學(xué)習(xí)背景，引導(dǎo)學(xué)生在實踐、思維運(yùn)算和反思抽象等一系列數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中實現(xiàn)數(shù)學(xué)概念形式定義和本質(zhì)理解的統(tǒng)一，豐富學(xué)生構(gòu)建概念的過程，提升內(nèi)化知識的效率[2]. 基于這樣的判斷，在復(fù)數(shù)概念的教學(xué)中，筆者基于學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，進(jìn)行了這樣的設(shè)計與教學(xué).

首先，創(chuàng)設(shè)一個“數(shù)不夠用”的情境，如對負(fù)數(shù)開平方，將學(xué)生大腦中原有的“無意義”的認(rèn)識，拓寬為尋找可能性的認(rèn)識. 例如，■的結(jié)果是什么？這樣，學(xué)生的思維就有了一個明確的對象，通過這樣的操作（action）階段，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維加工的對象就明確了. 為了幫學(xué)生明確這個研究是具有意義的，教師可以借助于數(shù)學(xué)發(fā)展史來創(chuàng)設(shè)更為形象的情境. 例如，介紹在18世紀(jì)，數(shù)學(xué)家在研究類似于x2=-1的問題的時候，他們決定通過拓展數(shù)的范圍，即通過創(chuàng)設(shè)新的數(shù)來化解這個難題，而且跟學(xué)生明確復(fù)數(shù)（這個概念先不要提出）中所用的i原本就是“虛構(gòu)”的意思.

其后，在過程（process）階段，就需要幫學(xué)生建立一個能夠支撐復(fù)數(shù)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵，即i2=-1. 實踐表明，這個認(rèn)識一旦明確，那學(xué)生在理解復(fù)數(shù)概念的外延的時候，就容易得多了. 而這也表明這一步的關(guān)鍵，就是幫學(xué)生鞏固認(rèn)識，確保沒有外界的刺激，學(xué)生也能迅速地運(yùn)用i2=-1對復(fù)數(shù)概念進(jìn)行理解與判斷. 此過程中，可以利用集合概念來幫學(xué)生建立理解，因為集合是學(xué)生熟悉的，而且復(fù)數(shù)中的i與實數(shù)一樣是可以運(yùn)算的，且運(yùn)算律是一樣的，這樣集合就起到了幫學(xué)生鞏固對i的認(rèn)識的作用.

在對象（object）階段，學(xué)生利用建立起來的復(fù)數(shù)概念進(jìn)行運(yùn)算. 相對于前一步驟而言，這里實際上存在一些跨越，但根據(jù)APOS理論，數(shù)學(xué)運(yùn)用原本就是非常重要的，在運(yùn)用中可以鞏固學(xué)生對概念的認(rèn)識. 在復(fù)數(shù)概念學(xué)習(xí)階段，數(shù)學(xué)運(yùn)用可以結(jié)合概念本身進(jìn)行，如給學(xué)生一個類似于“在復(fù)數(shù)z=m+1+（m-1）i中，當(dāng)m為何值時，該復(fù)數(shù)就是實數(shù)？就是虛數(shù)？就是純虛數(shù)？”的問題，這樣的問題通過對m值的判斷，同時讓學(xué)生基于對實數(shù)、虛數(shù)、復(fù)數(shù)的理解，從而可以起到互相促進(jìn)理解的作用，這對于建構(gòu)復(fù)數(shù)概念是很有好處的.

在圖式（scheme）階段，就到了鞏固所形成的復(fù)數(shù)圖式的階段，筆者的觀點是要對前面的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行一個概括，讓學(xué)生從數(shù)系擴(kuò)展的角度，認(rèn)識到是基于新的問題的解決而引入了復(fù)數(shù)概念，這樣的鋪墊可以讓學(xué)生對復(fù)數(shù)的意義比較清晰，這容易促進(jìn)學(xué)生尤其是高中學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，因為追求事物的邏輯性，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)背后的重要心理.

事實證明，以上的步驟，確實可以讓學(xué)生比較順利地接受、理解、運(yùn)用復(fù)數(shù)概念，而這個理想狀態(tài)，實際上就是重視學(xué)生認(rèn)知過程的結(jié)果.

數(shù)學(xué)概念建構(gòu)過程中蘊(yùn)含數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)要點

從核心素養(yǎng)培育的角度來看，數(shù)學(xué)概念建構(gòu)的過程，就是一個核心素養(yǎng)要素蘊(yùn)含其中且可以得到培育的過程. 眾所周知，高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)有六個要素，而數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建與這六個要素密切相關(guān). 復(fù)數(shù)概念的建立，雖然沒有一個明顯的從實際生活抽象出研究對象的過程，但其中的邏輯推理卻非常充分，基于一個出乎學(xué)生意料之外的問題，尋找一個用來表示負(fù)數(shù)平方根的符號，這需要高強(qiáng)度的推理，從而也就培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力，其中也有一些直覺思維的參與，而這又恰好吻合著數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的直觀想象;而最后形成的復(fù)數(shù)概念，實際上已經(jīng)成為解決相關(guān)問題的一個基本模型，因此包括復(fù)數(shù)概念在內(nèi)的數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建過程，是可以理解為一個數(shù)學(xué)模型被建立的過程的.

而在APOS教學(xué)理論中，我們看到的四個階段，其實也是與核心素養(yǎng)密切相關(guān)的，這四個階段立足于學(xué)生的科學(xué)認(rèn)知規(guī)律，通過系列操作使學(xué)生完成概念構(gòu)建，可以有效培養(yǎng)學(xué)生的能力，這些能力還能夠有效遷移到其他情境當(dāng)中，因而可以被認(rèn)為是關(guān)鍵能力，而這恰恰是宏觀視角下的核心素養(yǎng)的基本要義.

總之，高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，重視學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，借助于相關(guān)的理論作為基礎(chǔ)并積極實踐，是可以提升教學(xué)的有效性的.

參考文獻(xiàn)：

[1]? 于霞. APOS理論在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的應(yīng)用[J]. 數(shù)學(xué)之友，2013（2）：25-25.

[2]? 沈敏鑒. APOS理論指導(dǎo)下的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)實踐研究[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2016（9）：21-22.