杜成智

摘? ?要?數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)歷來受到學(xué)術(shù)界和教學(xué)界的重視，數(shù)學(xué)理解也是近年來數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域的熱點，將數(shù)學(xué)概念教學(xué)和數(shù)學(xué)理解相互結(jié)合，探討基于數(shù)學(xué)理解的數(shù)學(xué)概念教學(xué)新模式，具有重要的理論意義和實踐價值。本文以理論研究和教學(xué)實踐相結(jié)合的方式，探討數(shù)學(xué)概念的理解及相關(guān)的教學(xué)方法，試圖為推進初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)水平的提高提供理論支撐。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)理解? 數(shù)學(xué)概念? 教學(xué)研究

數(shù)學(xué)概念的理解不僅是數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)，更是當(dāng)前數(shù)學(xué)教育，特別是中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中面臨的突出問題。中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的許多失敗嘗試均源于不適合的教學(xué)和學(xué)習(xí)方式，主要表現(xiàn)為師生的數(shù)學(xué)活動囿于常規(guī)和機械，難以激發(fā)自主的、高級的思維形式，從而沉溺于反復(fù)的灌輸和練習(xí)之中，而缺乏最有效的思考。因此，強化數(shù)學(xué)概念教學(xué)研究、提高學(xué)生的數(shù)學(xué)概念理解水平具有現(xiàn)實性與緊迫性。

一、數(shù)學(xué)理解與數(shù)學(xué)概念理解

1.數(shù)學(xué)理解的界定

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，理解實質(zhì)上是學(xué)者將信息輸入、進行編碼，再結(jié)合自身的經(jīng)驗和理論知識，構(gòu)建內(nèi)部的心理表征，進而獲得心理意義的過程。因此，數(shù)學(xué)定義可以理解為：“若某一個數(shù)學(xué)含義或方式已成為網(wǎng)絡(luò)知識的一部分，那么，它就被理解了”。一般情況下，理解首先讓學(xué)習(xí)者認(rèn)識到數(shù)學(xué)的表象，然后構(gòu)建心理表象，再以此為基礎(chǔ)構(gòu)建新的知識構(gòu)架，不再堅守傳統(tǒng)的認(rèn)知。數(shù)學(xué)理解并不是一瞬間的任務(wù)，而需經(jīng)過長期的知識重組，因此，這是一個動態(tài)的發(fā)展過程。在理解數(shù)學(xué)對象時，應(yīng)讓學(xué)生親自動手。學(xué)生在操作過程中可以客觀地認(rèn)識到數(shù)學(xué)的外在形象，讓其在頭腦中建立數(shù)學(xué)對象，然后刻畫數(shù)學(xué)對象的真實面貌，這才能說他真正做到數(shù)學(xué)理解。

2.數(shù)學(xué)概念的理解

理解數(shù)學(xué)概念對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言無疑是十分重要的。Hiebert與Carpenter認(rèn)為，數(shù)學(xué)概念和學(xué)習(xí)者已有的知識網(wǎng)絡(luò)存在更強和更多的聯(lián)系，就認(rèn)為數(shù)學(xué)概念是被徹底理解了。李士鑄先生則認(rèn)為，學(xué)生對一個概念在心理層面組織和建構(gòu)起認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并隨之成為學(xué)習(xí)者知識網(wǎng)絡(luò)的重要節(jié)點，就認(rèn)為數(shù)學(xué)概念是被理解的。綜上所述，數(shù)學(xué)概念的理解，從心理學(xué)層面而言是要建立恰當(dāng)?shù)男睦肀碚?，從實際教學(xué)層面而言，掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，也就是概念本身的內(nèi)涵和外延，從文字層面的領(lǐng)會、從具體例子的驗證、從限制條件方面加深認(rèn)知、從運用中不斷拓展延伸，都是理解概念的具體做法。就數(shù)學(xué)概念教學(xué)而言，加深學(xué)生的數(shù)學(xué)概念理解無疑是最重要的目的。

二、基于數(shù)學(xué)理解的數(shù)學(xué)概念教學(xué)研究的意義

1.有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

理解性數(shù)學(xué)教學(xué)注重數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的培養(yǎng)，并將其作為教學(xué)的根本宗旨。著名數(shù)學(xué)教授加達(dá)默爾認(rèn)為，理解并不是簡單的復(fù)制，而是在內(nèi)化過程中的創(chuàng)造。從某種意義上講，數(shù)學(xué)理解的過程本質(zhì)上是一種數(shù)學(xué)創(chuàng)造的過程，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值在于理解，在于學(xué)生積極參與經(jīng)歷知識的再創(chuàng)造，從而進一步促進學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和接受。同時，理解上的自由性和創(chuàng)造性，可以將學(xué)生從傳統(tǒng)灌輸式教學(xué)的桎梏下解放出來，無限激發(fā)學(xué)生的潛能和素質(zhì)，使他們產(chǎn)生創(chuàng)造和成功的體驗，使枯燥的數(shù)學(xué)教學(xué)變得更具趣味性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，這也是初中數(shù)學(xué)課程改革的重要目標(biāo)和價值體現(xiàn)。

2.有助于提高初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效果

初中數(shù)學(xué)內(nèi)容無論是在廣度還是深度上都是小學(xué)數(shù)學(xué)不能比擬的。如果初中數(shù)學(xué)教師不能改變傳統(tǒng)的應(yīng)試教育理念，拋棄滿堂灌和題海戰(zhàn)術(shù)，就不可能為學(xué)生構(gòu)建起良好的數(shù)學(xué)視野。但是，由于傳統(tǒng)理念根深蒂固，數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中往往會走進忽視概念教學(xué)的誤區(qū)，造成學(xué)生在認(rèn)知、理解和掌握數(shù)學(xué)知識方面存在諸多問題。因此，對數(shù)學(xué)理解視野下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)進行研究，將數(shù)學(xué)概念教學(xué)與培養(yǎng)學(xué)生核心數(shù)學(xué)素養(yǎng)相互融合，不僅有利于調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還可以在提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量方面達(dá)到事半功倍的效果。

3.改變學(xué)生的數(shù)學(xué)觀和教師的數(shù)學(xué)教學(xué)觀念

初中數(shù)學(xué)概念在初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要意義，不僅是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，還是進一步掌握數(shù)學(xué)基本理論，了解數(shù)學(xué)規(guī)律的前提，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中進行數(shù)學(xué)能力培育、形成科學(xué)態(tài)度的重要前提?；跀?shù)學(xué)理解的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)需要對傳統(tǒng)的師生和生生關(guān)系進行重構(gòu)。如果在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，所有學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解完全相同，那么個體之間的交流也就失去了意義。只有不同的個體對數(shù)學(xué)概念存在不同的認(rèn)知，才是交流的基礎(chǔ)和前提。因此，數(shù)學(xué)理解需要每個參與學(xué)習(xí)的個體進行充分的思考和分析，并通過一定反思形成與眾不同的理解，這顯然是對傳統(tǒng)追求高度一致性答案的數(shù)學(xué)概念教學(xué)理念的顛覆，有助于重塑學(xué)生的數(shù)學(xué)觀和教師的數(shù)學(xué)教學(xué)觀。

三、基于數(shù)學(xué)理解的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的具體措施

1.操作階段闡明概念產(chǎn)生的必要性和科學(xué)性

鑒于數(shù)學(xué)概念的抽象性以及與實際生活的緊密聯(lián)系，在概念學(xué)習(xí)的操作階段，有必要設(shè)置真實的生活情境，使學(xué)生通過實際情境感受概念的本質(zhì)特征，而不能依靠教師單純的理論講解。脫離生活實際和實踐經(jīng)驗的講解，無論如何精彩，在學(xué)生的數(shù)學(xué)概念的理解和建構(gòu)方面也會顯得蒼白無力。因此，學(xué)生數(shù)學(xué)概念的理解必要有充足的實際情境，同時要指導(dǎo)學(xué)生充分地動手操作、動腦思考，強調(diào)學(xué)生通過一系列的操作活動獲取對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知，在潛移默化中使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的科學(xué)性和必要性。

在操作階段，一方面要注意操作素材的選擇。要根據(jù)數(shù)學(xué)概念所對應(yīng)的生活領(lǐng)域確定哪些素材可以作為教學(xué)素材使用，同時要考慮選用的素材中所包含的數(shù)學(xué)概念是否符合教學(xué)的需要，是否契合教學(xué)目標(biāo)的需求。此外，教學(xué)素材的選擇要具備可操作性，便于在課堂教學(xué)中開展，可以使學(xué)生通過操作活動體會到相關(guān)的數(shù)學(xué)概念。另一方面，要選擇好操作的方式。選擇方式要有助于調(diào)動學(xué)生的思維，使學(xué)生積極思考，形成對概念的直觀感受。具體而言，操作的形式不僅包括學(xué)生的動手操作，還包括教學(xué)模型的使用以及圖形的觀察和圖表的計算。在概念的操作階段需要注意以下兩點：第一，在新概念教學(xué)中，教師要給予學(xué)生充足的操作材料和操作時間，讓學(xué)生能夠通過足夠的思考完成對概念的感知和理解;二是教師設(shè)置的操作任務(wù)要符合學(xué)生的能力和認(rèn)知水平，過高或過低都不利于調(diào)動學(xué)生的參與和思考。

2.過程階段在思考中體驗數(shù)學(xué)概念的形成

過程階段是學(xué)生對操作階段獲得事實的進一步思考。操作階段獲得的僅僅是數(shù)學(xué)概念的感性認(rèn)識，仍屬于外部活動的刺激。要想使學(xué)生形成真正的數(shù)學(xué)概念，還必須依靠學(xué)生自己進行積極主動的建構(gòu)。因此，在概念教學(xué)的過程階段，教師要利用梯次設(shè)置、不斷深入的問題來激發(fā)學(xué)生的思考，學(xué)生通過對操作階段感性認(rèn)識的反思和描述，通過總結(jié)和提煉，最終得出數(shù)學(xué)概念。這一過程主要可以分為以下三個步驟：首先是反思操作活動，在這一步不僅要對操作的素材進行特征方面的反思，也要對操作過程的經(jīng)歷和體會以及獲得的收獲進行反思，進而形成對數(shù)學(xué)概念的全方位、多角度的感受，并嘗試?yán)蒙罨恼Z言進行描述。其次是對上一步驟得到的生活化語言描述進行進一步的提煉和加工，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)化的語言，促進數(shù)學(xué)概念的抽象化發(fā)展。最后是將數(shù)學(xué)語言進一步提煉，成為數(shù)學(xué)概念。

3.對象階段在提煉中抽象數(shù)學(xué)的概念

在過程階段得到數(shù)學(xué)概念之后，數(shù)學(xué)概念要由過程向?qū)ο筠D(zhuǎn)化。但是，教師在教學(xué)過程中不要急于求成，可以及時關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程中的最近發(fā)展區(qū)，通過一系列數(shù)學(xué)問題和正反兩方面的例子進行循序漸進的引導(dǎo)，實現(xiàn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念理解的螺旋式上升。數(shù)學(xué)概念教學(xué)的對象階段的建立是一個漫長的過程，并不能一蹴而就，需要反復(fù)對前面的兩個階段進行反思和再思考，對已經(jīng)得到的概念在細(xì)節(jié)方面不斷探究和補充說明。具體而言，將數(shù)學(xué)概念作為獨立對象理解一般可以采用如下方法：一是概念的辨析比較。通過舉出正例和反例對數(shù)學(xué)概念進行深入辨析，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的深入理解。例如，在一次函數(shù)概念引入之后，讓學(xué)生辨別下列函數(shù)是不是一次函數(shù)，理由是什么？

（1）y=2x+1，（2）y=2x，（3）y=，（4）y=x（x+1），（5）y=0二是進行模仿訓(xùn)練。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師經(jīng)常會面臨這樣的困惑：對于一個數(shù)學(xué)概念，自認(rèn)為已經(jīng)講解得十分清楚了，但是還有很多學(xué)生覺得似懂非懂。此時，教師可以通過示范和學(xué)生練習(xí)相結(jié)合的方式促進學(xué)生對概念的理解。例如，在介紹完一次函數(shù)的增減性后，教師可以通過具體的函數(shù)y=2x+1，向?qū)W生演示怎樣通過圖象判斷其增減性，然后再讓學(xué)生進行模仿操作，就能加深學(xué)生對概念的理解。三是變式訓(xùn)練。變式訓(xùn)練是指在保持?jǐn)?shù)學(xué)概念本質(zhì)屬性的前提下，對部分非本質(zhì)屬性進行適當(dāng)改變，從而達(dá)到鞏固數(shù)學(xué)概念的目標(biāo)。

4.圖式階段在抽象中建構(gòu)綜合的心理圖式

在經(jīng)歷了操作、過程、對象三個階段之后，學(xué)生通過新概念的學(xué)習(xí)和原有的心理圖式進行整合，會在頭腦中形成具有實際問題背景，經(jīng)歷抽象過程的完整的數(shù)學(xué)概念，能夠建立起基于新概念的心理圖式，并能將其應(yīng)用于解決問題。對數(shù)學(xué)概念而言，雖然在定義中已經(jīng)揭示了對象的本質(zhì)屬性，但是要做到對數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性的真正掌握，還要構(gòu)建新概念與其他數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，從而將其納入自身的數(shù)學(xué)知識體系。因此，圖式階段的教學(xué)設(shè)計難點在于如何構(gòu)建概念之間的聯(lián)系，既要幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)概念之間的縱向聯(lián)系，凸顯數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)特征，又要幫助學(xué)生構(gòu)建其概念之間的橫向聯(lián)系，將新概念進行內(nèi)化，納入自己的知識網(wǎng)絡(luò)。

縱向聯(lián)系是指數(shù)學(xué)概念體系中的概念之間的關(guān)系。在進行縱向聯(lián)系的教學(xué)時一般可以通過概念的內(nèi)涵和外延之間的放大或縮小獲得這些概念之間的聯(lián)系。例如在八年級數(shù)學(xué)教學(xué)中特殊平行四邊形的概念教學(xué)中，一般可以通過以平行四邊形為核心，對平行四邊形、矩形、菱形和正方形這幾個特殊圖形之間的邏輯關(guān)系進行梳理。在平行四邊形的內(nèi)涵中添加一個角是直角，就可以得到矩形的概念，而添加一組鄰邊相等則可以得到菱形的概念;將對角線相等添加到菱形的內(nèi)涵中，即可獲得正方形的概念。其邏輯關(guān)系見圖1。

橫向聯(lián)系是新概念與不同體系內(nèi)的其他概念之間的聯(lián)系。例如，在函數(shù)部分，函數(shù)與方程和不等之間的聯(lián)系即屬于數(shù)學(xué)概念的橫向聯(lián)系。這種聯(lián)系在實際學(xué)習(xí)中發(fā)揮著十分重要的作用。在一次函數(shù)學(xué)習(xí)中，可以結(jié)合一次函數(shù)的圖象判別二元一次方程組的解的情況。在數(shù)學(xué)概念的實際教學(xué)中，教師可以通過等價教學(xué)的思路，將不同的數(shù)學(xué)概念進行串聯(lián)，以構(gòu)建起概念之間的多種聯(lián)系。例如，在講解直線y=kx+1經(jīng)過點A（2，3），試求k的值時，可以引導(dǎo)學(xué)生理解直線y=kx+1經(jīng)過點A（2，3）也就是點A（2，3）在直線y=kx+1上，進一步理解為x=2，y=3滿足解析式y(tǒng)=kx+1，這樣就可以將學(xué)生未曾解答過的一次函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為一元一次方程的問題，同時通過將方程的概念融入函數(shù)教學(xué)，促進學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中盡快構(gòu)建起方程與函數(shù)之間的橫向聯(lián)系。

因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)的圖式階段也是一個長期的過程，需要不斷深入地進行教學(xué)和學(xué)習(xí)。但是，這種綜合性的數(shù)學(xué)概念圖式一旦在學(xué)生的頭腦中形成，數(shù)學(xué)概念也會深入到學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)和思維當(dāng)中，在遇到相關(guān)的問題時就能迅速作出判斷并予以解決。

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)歷來受到學(xué)術(shù)界和教學(xué)界的重視，但是既往的數(shù)學(xué)概念教學(xué)重記憶、輕理解，教學(xué)效果得不到大幅提高。將數(shù)學(xué)概念教學(xué)和數(shù)學(xué)理解相互結(jié)合，探討基于數(shù)學(xué)理解的數(shù)學(xué)概念教學(xué)新模式，具有重要的理論意義和實踐價值。當(dāng)然，要真正實現(xiàn)基于數(shù)學(xué)理解的初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)，需要在教師合理利用各種教學(xué)手段開展初中數(shù)學(xué)概念教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生的主動思維和知識系統(tǒng)構(gòu)建方面進行持續(xù)不斷的研究。

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【責(zé)任編輯? 郭振玲】