謝明輝

基本圖形：如圖所示，點(diǎn)B，P，C在一條直線上，∠B=∠APD=∠C=90°，我們稱這一基本圖形為“一線三直角”模型，則△ABP∽△PCD.

點(diǎn)評(píng)：一線三直角作為一個(gè)基本數(shù)學(xué)圖形，在很多題目特別是中考題中有著廣泛的應(yīng)用.我們?cè)诮虒W(xué)中經(jīng)常遇到此圖形，然后利用相似三角形可以解決一類相關(guān)問題.很多題目通過構(gòu)造這一基本圖形，能夠迎刃而解.下面本人結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，淺談利用該基本圖形快速有效地解決問題的實(shí)例.

一、正方形折疊中的一線三直角

如圖1所示，將正方形紙片ABCD對(duì)折，使AB與CD重合，折痕為EF.如圖2所示，展開后再折疊一次，使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，折痕為GH，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，EM交AB于N.若AD=2，則MN=.

點(diǎn)評(píng) 本題以正方形翻折為載體，當(dāng)正方形的一個(gè)直角落在正方形的一邊上時(shí)，可以在復(fù)雜的圖形中直接找到到一線三直角基本圖形，然后求出相關(guān)的量，計(jì)算容易、簡(jiǎn)單.

二、線段旋轉(zhuǎn)中的一線三直角

如圖所示，已知∠MON=30°，B為OM上一點(diǎn)，BA⊥ON于A，四邊形ABCD是正方形，P為射線BM上一動(dòng)點(diǎn)，連接CP，將CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得CE，連接CE，若AB=4，則BE得最小值為.

解析 分別過點(diǎn)P，E作PG⊥BC于，EH⊥BC延長線于H，由于CP繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得CE，且PC=EC，則可證明△PGC≌△CHE，可得PG=CH，CG=EH;由已知∠MON=30O°，四邊形ABCD是正方形，可得3PG=BG，設(shè)PG=CH=x，則BG=3x，則CG=HE=4-3x，BH=4+x，在Rt△BEH中，由勾股定理得BE=（4+x）2+（4-3x）2，由此可得該二次函數(shù)的最小值為2+23.

點(diǎn)評(píng) 此題為一題多解，另一解法可根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到全等三角形，然后根據(jù)點(diǎn)E的軌跡求出BE的最小值，但很多程度中下的學(xué)生難以理解體會(huì)這種解法.相比較，本題的解法更加通俗易懂，通過構(gòu)造一線三直角這一基本圖形，運(yùn)用勾股定理巧妙地將幾何問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，學(xué)生更容易接受和理解.

三、坐標(biāo)系中的一線三直角

1.如圖所示，點(diǎn)A，B分別在反比例函數(shù)y=2x（x<0）與y=4x（x>0）的圖像上，且△OAB是等邊三角形，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為.

解析 在x軸下方過O作OD⊥OB交BA的延長線于D，分別過點(diǎn)B，D作BF⊥x軸于F，DE⊥x軸于E，由此得到一線三直角基本圖形，通過△BFO∽△OED，BF∶OE=OF∶DE=OB∶OD=1∶3，設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)Ba，-4a，所以O(shè)F=a，BF=4a，點(diǎn)D坐標(biāo)為D-43a，-3a.根據(jù)中點(diǎn)公式得，點(diǎn)A坐標(biāo)為Aa2-432a，-4-3a22a，由此得到a2-432a×-4-3a22a=2，解得a=2，a=-2（舍去），所以得到點(diǎn)A坐標(biāo)為A（1-3，-1-3）.

點(diǎn)評(píng) 一般情況下，在坐標(biāo)系中當(dāng)有一個(gè)是直角的時(shí)候，我們可以通過作高線構(gòu)造一線三直角這一基本圖形.本題比較特殊，條件中沒有直接給出直角三角形，但由于等邊三角形含30°角的特殊直角三角形，所以我們也可以以等邊三角形為載體，先構(gòu)造直角三角形，然后再構(gòu)造三直角基本圖形.

小結(jié) 一線三直角基本圖形作為初中幾何中的常見圖形，是解決復(fù)雜幾何問題的有效手段.尤其在近年來的很多中考?jí)狠S題中，很多都涉及該基本圖形.教師只要在平時(shí)教學(xué)中逐步滲透，讓學(xué)生慢慢積累，學(xué)生就能在復(fù)雜的圖形中提煉出基本圖形，體會(huì)利用該基本圖形解決問題的便捷之處，做到化繁為簡(jiǎn).