康聰

【摘要】對(duì)中國蘇教版教材和美國PH教材關(guān)于三角函數(shù)內(nèi)容的宏觀和微觀的比較研究，宏觀比較三角函數(shù)的呈現(xiàn)方式，微觀比較三角函數(shù)內(nèi)容和難度.下面本文將對(duì)上述比較研究進(jìn)行總結(jié)，并提出關(guān)于教材編寫的建議和進(jìn)一步研究的問題.

本文對(duì)中國和美國高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)的教材進(jìn)行比較比較，研究中所選的中美教材：美國：《Prentice Hall》代數(shù)2.由Prentice Hall出版，中國：普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書蘇教版（必修四）.江蘇教育出版社.在內(nèi)容比較上得到以下結(jié)論.

一、中美教材呈現(xiàn)方式

兩國教材在目錄的比較上，可以發(fā)現(xiàn)，蘇教版先呈現(xiàn)出三角函數(shù)整體上有三部分內(nèi)容，任意角、弧度→任意角的三角函數(shù)→三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，在每一節(jié)上又具體安排課時(shí)，在美國PH教材中是直接呈現(xiàn)的這一章節(jié)要學(xué)習(xí)的內(nèi)容，給人以開門見山的畫面，直接讓學(xué)生找到本章節(jié)的內(nèi)容及重點(diǎn)同時(shí)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力總是相輔相成的，美國PH教材更能給予學(xué)生更多的思考發(fā)展空間，心理學(xué)專家普遍認(rèn)為，創(chuàng)造性不僅受認(rèn)知因素的影響，學(xué)生如果鍛煉培養(yǎng)獨(dú)立性、幻想性、沖動(dòng)性等，可以使學(xué)生的個(gè)性受到很大的影響，對(duì)我國學(xué)生的中規(guī)中矩的性格有很大幫助.

在教材欄目比較上，蘇教版注重啟發(fā)誘導(dǎo)，在教材中“探究”常常出現(xiàn)正文邊處，目的是幫助學(xué)生從原有認(rèn)知水平出發(fā)探究思考，從而對(duì)知識(shí)點(diǎn)理解和吸收;而美國教材中以呈現(xiàn)本節(jié)課的課程目標(biāo)開篇，以問題鏈貫穿整個(gè)篇幅，在問題中有“問題”設(shè)置，這樣的問題設(shè)置常常是解決問題的步驟或者問題的總結(jié)，這樣設(shè)置有助于學(xué)生培養(yǎng)歸納類比的思想.兩者差別主要在于，我國教育由學(xué)生死學(xué)知識(shí)，教學(xué)刻板變?yōu)樽寣W(xué)生思考、動(dòng)腦，從而注重邏輯思維，通過探究提出問題，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立解決問題的能力.

在習(xí)題設(shè)置比較上，將習(xí)題設(shè)置分成習(xí)題的呈現(xiàn)方式和數(shù)量兩個(gè)維度.

在呈現(xiàn)方式上，兩者均有習(xí)題，小節(jié)練習(xí)和章節(jié)練習(xí)，但在具體設(shè)置上略有不同，蘇教版在小節(jié)內(nèi)容上安排若干課時(shí)，在每一課時(shí)結(jié)束后安排與例題相應(yīng)難度的習(xí)題，在本小節(jié)結(jié)束后設(shè)置的習(xí)題分為三個(gè)層次：感受與理解，思考與運(yùn)用，探究與拓展，習(xí)題難度在三個(gè)層次上由淺入深，最后進(jìn)行安排章節(jié)總結(jié)，章節(jié)復(fù)習(xí).美國的習(xí)題設(shè)置中，在每節(jié)設(shè)置的例題后會(huì)安排一道比例題稍有難度的習(xí)題，在每節(jié)內(nèi)容結(jié)束后設(shè)置幾個(gè)層次的習(xí)題：練習(xí)A組，應(yīng)用B組，挑戰(zhàn)C組，標(biāo)準(zhǔn)化考試和綜合復(fù)習(xí)，在本章內(nèi)容結(jié)束后進(jìn)行章節(jié)測試.

在習(xí)題數(shù)量比較上，例題、練習(xí)、習(xí)題、章中（末）測試中的習(xí)題總數(shù)美國PH教材比我國蘇教版教材多出將近兩倍，影響因素一是美國雖然注重學(xué)生的計(jì)算能力，然而學(xué)生的計(jì)算能力卻是國人擔(dān)憂的，二是美國高中畢業(yè)統(tǒng)考標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)內(nèi)容是以運(yùn)算簡單的三角函數(shù)為基準(zhǔn)，所以美國教材在此處設(shè)置的練習(xí)數(shù)量偏多.

二、三角函數(shù)內(nèi)容

我國教學(xué)大綱將三角函數(shù)內(nèi)容安排在高一年級(jí)，美國將三角函數(shù)內(nèi)容安排在高二年級(jí).

在三角函數(shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)上，兩國教材都采用了螺旋上升的編排方式，蘇教版的螺旋次數(shù)高于美國PH.蘇教版將三角函數(shù)內(nèi)容和三角恒等變換章節(jié)中穿插平面向量，美國PH教材在學(xué)習(xí)三角函數(shù)之后緊接著學(xué)習(xí)三角恒等變換.蘇教版教材的螺旋多為不同層次、內(nèi)容、水平之間的螺旋上升，幾乎沒有相同的知識(shí)點(diǎn)的同水平重復(fù)出現(xiàn)，美教材卻經(jīng)常出現(xiàn)反復(fù)、贅述等現(xiàn)象，可見蘇教版更加注重知識(shí)的系統(tǒng)性、整體性.

在知識(shí)處理方式上，兩國都在此處提出三角函數(shù)的周期性，但是學(xué)習(xí)的內(nèi)容和定義方式有很大差別.我國課標(biāo)注重函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)是基本初等函數(shù)的一類，同樣也是注重三角函數(shù)的性質(zhì);而美國PH版注重三角函數(shù)的求值，及三角函數(shù)的倒數(shù)關(guān)系，特別是用計(jì)算器對(duì)三角函數(shù)的數(shù)值進(jìn)行估算，并可畫出三角函數(shù)的函數(shù)圖像.相同概念有不同的表達(dá)方式，國際上尚未對(duì)某種定義有怎樣明確的說明，大都遵循著數(shù)學(xué)史及未來發(fā)展的需求來對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行闡述，例如，對(duì)角的定義，蘇教版對(duì)角的定義很規(guī)范，但是為了使用的方便，是將角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的終邊落在第幾象限就是第幾象限角，這樣將角置于平面直面直角坐標(biāo)系中，未免對(duì)角的形式單一化，如果從實(shí)際生活中的角度，不一定所有角都能在平面直角坐標(biāo)系中進(jìn)行測量，而美國PH教材中對(duì)角的定義比較寬泛，是定義在平面直角坐標(biāo)系的標(biāo)準(zhǔn)位置的角，這樣可以避免國內(nèi)學(xué)生提出：如果角的始邊不與x軸的非負(fù)半軸重合這一類形成的圖形是不是角的這樣的疑惑.

三、中美教材函數(shù)難度

從函數(shù)難度來看，美國教材難度高于蘇教版教材.按照“國家社科基金重點(diǎn)課題《高中數(shù)學(xué)教材難易程度的國際比較研究》”中介紹的難度模型計(jì)算的難度，中美三角函數(shù)難度分別為6.56和9.02，其綜合難度大約為蘇教版的1.38倍.統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)廣度、深度和習(xí)題綜合難度美國均超過中國，蘇教版的知識(shí)團(tuán)廣度是10，美國教材廣度是12，蘇教版知識(shí)團(tuán)的深度為24，美國教材的知識(shí)團(tuán)的深度為30，產(chǎn)生這樣的原因有以下幾點(diǎn)：蘇教版缺乏對(duì)正割等知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)，只是作為自學(xué)內(nèi)容;美國注重學(xué)生恰當(dāng)使用計(jì)算器，而我國對(duì)計(jì)算器的使用在教材中很少有提及，只是在作函數(shù)圖像時(shí)，教師為了學(xué)生很好地消化知識(shí)，利用幾何畫板作圖;美國教材對(duì)知識(shí)點(diǎn)的要求要略高于蘇教版，再加上美國教材的知識(shí)點(diǎn)數(shù)量多于蘇教版，這一特點(diǎn)揭示美國重視學(xué)生的應(yīng)用能力，為學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力培養(yǎng)提供機(jī)會(huì).

在知識(shí)團(tuán)習(xí)題綜合難度中，蘇教版的綜合難度為259.8，美國PH教材的難度為276.8，二者相差7%左右，美國PH教材在習(xí)題的性質(zhì)和背景上難度均大于蘇教版，而蘇教版在知識(shí)點(diǎn)含量上要高于美國PH教材.但是我們同時(shí)要注意，在習(xí)題數(shù)目上，美國教材要多于蘇教版教材，由于習(xí)題數(shù)量對(duì)習(xí)題難度并不構(gòu)成直接影響學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握熟練度，因此，習(xí)題數(shù)量不可忽視，這是我國教材需要注意改進(jìn)的地方.