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萬變不離其宗,尋求“不動(dòng)點(diǎn)”

2019-07-15 01:24倪盼
科教導(dǎo)刊·電子版 2019年13期
關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)運(yùn)算圓錐曲線邏輯推理

倪盼

摘 要 定值定點(diǎn)問題是圓錐曲線重點(diǎn)考察問題之一,亦是學(xué)生容易出錯(cuò)的難點(diǎn)問題。本文通過總結(jié)定值定點(diǎn)??嫉乃姆N類型:設(shè)而不求,找點(diǎn)取證,從猜想到證明,從推理到消元,幫助學(xué)生理清其思路,解決定點(diǎn)和定值問題,增強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等思維能力。

關(guān)鍵詞 圓錐曲線 定值定點(diǎn) 數(shù)學(xué)運(yùn)算 邏輯推理 思維能力

中圖分類號:G633文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A

0引言

在高考圓錐曲線問題中,定值定點(diǎn)問題是老生常談的話題。這類問題既考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算,又考查學(xué)生的邏輯推理能力,歸納梳理這類問題的思想和方法,有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理這兩個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),體現(xiàn)新課標(biāo)對高中數(shù)學(xué)的重視程度,圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問題,便是考察學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的一個(gè)重要途徑。

1內(nèi)容分析

1.1考點(diǎn)提要

此類問題主要涉及到直線、圓與圓錐曲線等方面的知識,滲透了函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合,分類討論的思想,所以是高考的熱點(diǎn)題型之一。但是這類問題難度相對較大,學(xué)生在第一輪復(fù)習(xí)中的掌握情況較差。為了提高第二輪復(fù)習(xí)的有效性,本文通過歸納整合定值定點(diǎn)問題,梳理這類題的思想和方法,對問題進(jìn)行剖析,希望給學(xué)生們一些指導(dǎo)。

1.2深究例題

發(fā)現(xiàn)例題的考點(diǎn),舉一反三,觸類旁通,先用分析法分析,思考并嘗試解決,尋找關(guān)鍵點(diǎn)。

1.3一題多解,多題多解

在選題時(shí),要明確選題的目的在于解決本專題的重點(diǎn)或者難點(diǎn)內(nèi)容,更好地發(fā)揮典型題目的示范作用和學(xué)生的正向遷移能力。

2定點(diǎn)定值的類型

2.1設(shè)而不求

(2014山東理)已知拋物線的焦點(diǎn)為,為上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn),過點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn),交軸的正半軸于點(diǎn),且有。當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3時(shí),為正三角形。

(Ⅱ)若直線,且和有且只有一個(gè)公共點(diǎn),

(i)證明直線過定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo)。

解:分析:要求直線過定點(diǎn),就要找斜率與截距的關(guān)系,由拋物線性質(zhì)知,,,由得所以直線AB的斜率。因?yàn)橹本€與直線AB平行,所以設(shè)直線的方程可以表示出來,導(dǎo)出點(diǎn)坐標(biāo),最后找到斜率與截距的關(guān)系,得到直線AE恒過點(diǎn)。

知識小結(jié):此類題由斜率入手,設(shè)點(diǎn)卻不求出具體的點(diǎn)的坐標(biāo),通過分析法和邏輯推理能力,找到變量之間的關(guān)系,找到斜率和截距的關(guān)系,得到直線的表達(dá)式進(jìn)而求出定點(diǎn)坐標(biāo)。設(shè)而不求比較適合于直線與圓錐曲線的交點(diǎn)均未知的情況,化簡要求比較高。

2.2“找點(diǎn)取證”

(2016年全國新課標(biāo)Ⅰ理模擬卷)已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),離心率為。

(2)直線與橢圓交于兩點(diǎn),點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn)。直線與直線分別與軸交于點(diǎn),試問以線段為直徑的圓是否過軸上的定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,說明理由。

解:由第一問知:橢圓的方程是。分析:將題意轉(zhuǎn)化為幾何條件得。,設(shè),,,,。,,假設(shè)存在這個(gè)定點(diǎn),則有①轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件。

三點(diǎn)共線用斜率相等來證:

知識總結(jié):利用點(diǎn)的位置關(guān)系,借助三點(diǎn)共線,斜率相等求出點(diǎn)的坐標(biāo),整體代入求出具體定值,培養(yǎng)學(xué)生貫穿知識點(diǎn)的能力,一步一步推理,借助其他點(diǎn)求出要求的點(diǎn)的坐標(biāo),學(xué)會(huì)觸類旁通。定點(diǎn)問題:求某直線過定點(diǎn),或者確定一個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)。定值定點(diǎn)問題是備受關(guān)注的問題,這類解答題既考驗(yàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,又考查學(xué)生的邏輯推理能力,注重知識的遷移和轉(zhuǎn)換,具有較強(qiáng)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

2.3從猜想到證明

(2015四川理)如圖,橢圓的離心率是,過點(diǎn)P(0,1)的動(dòng)直線與橢圓相交于A,B兩點(diǎn),當(dāng)直線平行于軸時(shí),直線被橢圓E截得的線段長為。

(2)在平面直角坐標(biāo)系中,是否存在與點(diǎn)P不同的定點(diǎn)Q,使得恒成立?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由。

解:分析:先猜后證,首先根據(jù)特殊位置和數(shù)值猜想定值,其次講這個(gè)值代入題中,證明其與變量無關(guān)。先分析直線斜率存在,或者不存在得出的結(jié)論,再證明結(jié)論成立。當(dāng)直線平行于軸時(shí),設(shè)直線與橢圓相交于C、D兩點(diǎn),如果存在Q點(diǎn)滿足條件,則有,即,所以Q點(diǎn)在y軸上,可設(shè)Q點(diǎn)的坐標(biāo)為。

本題的難點(diǎn)是通過作B的對稱點(diǎn)將問題轉(zhuǎn)化.這種類型題考查學(xué)生的推理能力和運(yùn)算能力,利用數(shù)形結(jié)合思想,教會(huì)學(xué)生從特殊到一般,根據(jù)特殊情況找到結(jié)果,再證明其普遍性。從特殊到一般,是培養(yǎng)學(xué)生合情推理,通過對問題的理解和對知識的表征,先求當(dāng)直線平行于軸或垂直于軸這樣的特殊位置,再求任意位置,也突顯出數(shù)學(xué)的邏輯推理性,適合學(xué)生理解和掌握,并且能很好地運(yùn)用在數(shù)學(xué)教學(xué)中。

2.4從推理到消元

首先用推理和計(jì)算的方法,其次在計(jì)算過程中消去變量,得到定值。解答題的核心點(diǎn)在于分析,題和假設(shè)的關(guān)系,進(jìn)而建立合適的方程或函數(shù),利用變量關(guān)系統(tǒng)一變量,最后消元得到定值。

(2018北京理)已知拋物線:2=2px經(jīng)過點(diǎn)P(1,2),過點(diǎn)Q(0,1)的直線與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A,B且直線PA交軸于M,直線PB交軸于N。

(Ⅱ)設(shè)為原點(diǎn),,,求證:為定值。

解:分析:由向量關(guān)系將和表示出來,最后在計(jì)算過程中消去變量,得到定值,設(shè)點(diǎn),,則,,,,,

3歸納總結(jié)

(1)本質(zhì)分析。定點(diǎn)、定值問題的本質(zhì)在于對問題的分析和掌握程度,以及邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的應(yīng)用,用適當(dāng)?shù)姆椒ń⒆兞恐g的關(guān)系,通過分析和推理,轉(zhuǎn)化成定值、定點(diǎn)問題,利用數(shù)學(xué)運(yùn)算求出最后的結(jié)果。

幾何條件的轉(zhuǎn)化。例如求三點(diǎn)共線,線線垂直、線線平行、夾角。我們可以將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件,轉(zhuǎn)化的方向有兩類,一類是向量,一類是斜率。

(2)考察能力。大部分學(xué)生遇到圓錐曲線問題只會(huì)用韋達(dá)定理,其實(shí)做這類題,應(yīng)該首先用分析法,提前分析過程,分析考題的核心,韋達(dá)定理只是解題的手段,而不是解題的主要思路。主要考察學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理能力。常用方法:設(shè)而不求,找點(diǎn)取證,從猜想到證明,從推理到消元。

(3)總結(jié)反思。教師要教學(xué)生如何分析,比如假設(shè)直線方程時(shí),考慮斜率不存在。教師要教如何思考,比如對定點(diǎn)問題,要分析是點(diǎn)還是斜率。教師要教如何總結(jié),比如分析四中方法的核心和整個(gè)過程,可以一題多解,也可以多題多解。高考總復(fù)習(xí)要注意考試的核心,以及知識的整體思路,舉一反三,靈活應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)

[1] 趙玲燕.巧用變式探究方法,激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維——對圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題的教學(xué)思考[J].課程教育研究,2014(36):208-209.

[2] 袁清雯,王立振.圓錐曲線中定點(diǎn)、定值問題引發(fā)的思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2016(18):35-37.

[3] 張躍紅.撥開迷霧 找準(zhǔn)方向——從高三復(fù)習(xí)課《圓錐曲線》一道例題的化簡方法談起[J].數(shù)學(xué)通報(bào),2017,56(09):43-46+62.

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