曲健偉，王青元，孫鵬飛

基于極大值原理的地鐵列車節(jié)能駕駛簡化算法

曲健偉，王青元，孫鵬飛

(西南交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，四川 成都 611756)

通過在地鐵列車定時(shí)節(jié)能駕駛優(yōu)化問題中引入目標(biāo)牽引恒速高于線路限速的假設(shè)，對以往基于極大值原理分析得到的節(jié)能駕駛工況集和節(jié)能工況使用時(shí)機(jī)進(jìn)行簡化，將給定目標(biāo)牽引恒速下的節(jié)能速度曲線求解問題簡化為在最大能力運(yùn)行牽引和制動(dòng)工況基礎(chǔ)上尋求最優(yōu)惰行連接段的問題。根據(jù)最大能力運(yùn)行的工況結(jié)果對線路進(jìn)行區(qū)段劃分，并引入連接函數(shù)和連接誤差對惰行工況的連接效果進(jìn)行表征，基于最優(yōu)工況切換條件，提出給定目標(biāo)牽引恒速條件下求解最優(yōu)惰行連接段的數(shù)值算法，并構(gòu)造給定區(qū)間運(yùn)行時(shí)間要求下的最優(yōu)節(jié)能速度曲線計(jì)算算法。采用哈爾濱地鐵3號線的列車和線路數(shù)據(jù)對算法進(jìn)行驗(yàn)證，計(jì)算結(jié)果證明了假設(shè)的合理性，與目前該列車采用的實(shí)際駕駛策略相比，本文算法可節(jié)能21.92%。

地鐵列車；節(jié)能駕駛；極大值原理；工況切換條件；連接函數(shù)

目前，列車節(jié)能駕駛和時(shí)刻表節(jié)能優(yōu)化已成為地鐵列車節(jié)能運(yùn)行研究的熱點(diǎn)[1]。節(jié)能駕駛優(yōu)化是進(jìn)行列車運(yùn)行時(shí)刻表優(yōu)化的基礎(chǔ)，國內(nèi)外學(xué)者針對該問題進(jìn)行了大量研究，其中基于極大值原理的方法能夠得到理論上的最優(yōu)解[2?3]?；跇O大值原理的節(jié)能駕駛研究最早開始于20世紀(jì)60年代，Ichikawa[4]將列車節(jié)能駕駛優(yōu)化問題表達(dá)為狀態(tài)變量受約束的最優(yōu)控制問題，基于平直道假設(shè)分析得到節(jié)能駕駛工況集以及工況切換時(shí)機(jī)；Khmelnitsky[5]考慮起伏坡道、變化限速和再生能量利用的可能性，給出了節(jié)能駕駛工況集并證明了對于給定的區(qū)間運(yùn)行時(shí)間條件下最優(yōu)策略的存在性和唯一性；LIU等[6]結(jié)合線路條件分析得到節(jié)能工況的使用時(shí)機(jī)；Howlett等[7-10]給出了平緩坡道情況下的節(jié)能駕駛工況序列，證明陡坡條件下最優(yōu)工況切換點(diǎn)的唯一性，給出了滿足最優(yōu)工況切換條件的積分公式，證明全局最優(yōu)切換策略可通過采用局部能耗函數(shù)計(jì)算每個(gè)陡坡區(qū)段的最優(yōu)切換點(diǎn)得到；王青元等[11?12]針對高速列車的節(jié)能駕駛，將混合制動(dòng)的電制動(dòng)與空氣制動(dòng)分開建模，對節(jié)能駕駛工況集和最優(yōu)工況切換規(guī)則進(jìn)行了分析。以往基于極大值原理的研究側(cè)重于對節(jié)能駕駛工況集、節(jié)能工況應(yīng)用條件、最優(yōu)工況切換條件及最優(yōu)切換的唯一性進(jìn)行理論分析，最優(yōu)工況切換點(diǎn)的計(jì)算需要求解包含共軛函數(shù)的微分方程組[5, 9?10, 13]，在考慮詳細(xì)的列車模型和復(fù)雜線路條件時(shí)計(jì)算過程十分復(fù)雜，給該方法的工程應(yīng)用帶來了困難。針對地鐵列車節(jié)能駕駛優(yōu)化的研究可分為全局速度離散化優(yōu)化方法[14?15]、基于優(yōu)秀司機(jī)經(jīng)驗(yàn)的方法[16]和基于節(jié)能工況集的方法。石紅國等[17?20]學(xué)者根據(jù)實(shí)際線路條件確定節(jié)能工況序列，采用不同的搜索算法優(yōu)化工況切換點(diǎn)位置；柏赟等[21]針對地鐵列車在長大下坡上的節(jié)能運(yùn)行，在傳統(tǒng)四階段法的基礎(chǔ)上優(yōu)化節(jié)能工況出現(xiàn)的序列和工況轉(zhuǎn)換點(diǎn)。劉煒等[22]根據(jù)線路限速和坡道劃分子區(qū)間，采用時(shí)間逼近搜索方法，在最大能力運(yùn)行速度曲線的高限速到低限速的子區(qū)間過渡區(qū)段加入惰行來達(dá)到節(jié)能效果；SU等[23]設(shè)定子區(qū)間內(nèi)的最優(yōu)工況包括最大牽引、惰行、最大制動(dòng)、恒速牽引、恒速制動(dòng)，提出一種利用能耗求解節(jié)能駕駛策略的方法；GU等[24]分析了子區(qū)間在不同坡道和限速情況下的節(jié)能駕駛工況序列，并構(gòu)造了基于非線性規(guī)劃的操縱模型?；诠?jié)能工況集的地鐵列車節(jié)能駕駛研究僅采用了極大值原理分析得到的節(jié)能駕駛工況集和工況序列，并沒有使用最優(yōu)工況切換條件進(jìn)行工況切換點(diǎn)計(jì)算，無法保證求解結(jié)果在理論上的最優(yōu)性。為獲得理論上最優(yōu)的節(jié)能駕駛速度曲線，采用基于極大值原理的常規(guī)方法[5, 9?10]對地鐵列車運(yùn)行速度曲線進(jìn)行求解，發(fā)現(xiàn)節(jié)能工況計(jì)算結(jié)果中目標(biāo)牽引恒速工況的速度(即2.1節(jié)中的v)總是大于線路限速從而無法實(shí)現(xiàn)，其工況切換情況更為簡單?；诘罔F列車節(jié)能運(yùn)行工況的這一特點(diǎn)，本文引入目標(biāo)牽引恒速高于線路限速的假設(shè)，基于極大值原理的理論分析結(jié)果對節(jié)能優(yōu)化方法進(jìn)行簡化，在保證節(jié)能駕駛求解最優(yōu)性的同時(shí)，構(gòu)造適合工程應(yīng)用的數(shù)值算法。

1 節(jié)能駕駛優(yōu)化模型

根據(jù)地鐵列車運(yùn)行特點(diǎn)，以列車區(qū)間運(yùn)行采用的牽引加速度和制動(dòng)減速度為控制變量，考慮列車牽引、制動(dòng)效率系數(shù)和再生能量利用系數(shù)，建立以列車區(qū)間運(yùn)行總能耗最小為目標(biāo)的節(jié)能駕駛優(yōu)化模型。令為列車位置，為速度，為時(shí)間，trac，brak，basic和line分別為牽引加速度、制動(dòng)減速度、基本阻力減速度和線路附加阻力減速度，列車運(yùn)行狀態(tài)方程可表示如下[9]：

2 節(jié)能駕駛優(yōu)化分析

2.1 節(jié)能駕駛工況集及簡化

根據(jù)極大值原理[5, 9]，引入伴隨向量[1,2]，根據(jù)式(1)~(3)，哈密頓函數(shù)可定義為：

引入處理限速約束的拉格朗日算子，最優(yōu)控制滿足以下方程組：

則哈密頓函數(shù)變?yōu)椋?/p>

伴隨變量的微分方程為：

由極大值原理可知，為使取極小值，哈密頓函數(shù)需取極大值。節(jié)能工況分析如下[9]：

2.2 節(jié)能工況使用時(shí)機(jī)及最優(yōu)切換條件

作為連接牽引區(qū)段和制動(dòng)區(qū)段的連接工況，惰行工況的伴隨變量應(yīng)滿足的最優(yōu)切換條件為：從牽引區(qū)段切入惰行時(shí)有=t，從惰行切入制動(dòng)區(qū)段時(shí)有=b[5, 9?10]。

3 數(shù)值算法

3.1 區(qū)段劃分

按列車最大能力運(yùn)行的牽引區(qū)段或制動(dòng)區(qū)段，對最大能力運(yùn)行工況進(jìn)行區(qū)段劃分，如圖1所示，可知最大能力運(yùn)行總是由一系列牽引?制動(dòng)區(qū)段對組成。對各區(qū)段進(jìn)行編號，牽引區(qū)段編號為奇數(shù)，制動(dòng)區(qū)段編號為偶數(shù)。

圖1 區(qū)段劃分示意圖

3.2 牽引?制動(dòng)區(qū)段對的惰行連接

3.2.1 連接函數(shù)定義

圖2 區(qū)段連接示意圖

3.2.2 連接函數(shù)計(jì)算

為便于數(shù)值計(jì)算，將速度和伴隨變量的微分方程進(jìn)行離散化處理，設(shè)為位置計(jì)算索引，Δ為距離計(jì)算步長，令為列車加速度，則有

的計(jì)算公式為

求解得：

3.2.3 連接誤差計(jì)算

通過計(jì)算連接誤差，可以得到牽引?制動(dòng)區(qū)段對的最優(yōu)惰行連接，連接誤差的計(jì)算算法如下：

3.3 全程區(qū)段連接

根據(jù)3.1節(jié)的區(qū)段劃分，設(shè)區(qū)段個(gè)數(shù)為，則區(qū)段①，③…(?1)為牽引區(qū)段，區(qū)段②，④…()為制動(dòng)區(qū)段，每個(gè)牽引區(qū)段可以與其右側(cè)的所有制動(dòng)區(qū)段進(jìn)行連接誤差計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如表1所示。

表1 連接誤差計(jì)算表

3.4 定時(shí)節(jié)能算法

列車定時(shí)節(jié)能優(yōu)化的算法流程如下。

Step 1：讀取區(qū)間線路參數(shù)、列車參數(shù)及特性、運(yùn)行時(shí)間，計(jì)算最大能力速度曲線、最大能力控制加速度曲線，t和b；

Step 4：針對設(shè)定的t和2，根據(jù)3.2節(jié)的方法計(jì)算所有可能的區(qū)段連接，并根據(jù)3.3節(jié)的方法合并連接結(jié)果，計(jì)算區(qū)間運(yùn)行時(shí)間cal；

4 算例分析

4.1 算例1

采用哈爾濱地鐵3號線列車及線路數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，距離計(jì)算步長為1 m。列車車長為120 m，AW2載荷下的動(dòng)態(tài)質(zhì)量為306.12 t，慣性質(zhì)量為16.9 t，牽引效率系數(shù)為0.871，制動(dòng)效率系數(shù)為0.938，再生能量利用系數(shù)為0.9。AW2載荷下的基本阻力公式為4.97+0.001 126+ 0.000 0663 62(kN，對應(yīng)速度單位為m/s)，牽引特性如圖3所示，制動(dòng)減速度最大值為1.12 m/s2。

計(jì)算用線路區(qū)間長1 565 m，區(qū)間坡道、曲線和限速數(shù)據(jù)分別如表2~4所示。

圖3 列車牽引特性曲線

根據(jù)列車和線路數(shù)據(jù)進(jìn)行最大能力計(jì)算，最小運(yùn)行時(shí)間為106.48 s，區(qū)段劃分結(jié)果如表5所示，共10個(gè)區(qū)段。

令t=limit=19.44 m/s計(jì)算對應(yīng)的節(jié)能速度曲線，得到的有效連接誤差如表6所示，最終確定的牽引?制動(dòng)區(qū)段連接對為①→⑩，對應(yīng)的區(qū)間運(yùn)行時(shí)間為178.98 s。需要注意的是，⑦→⑧也是有效的牽引?制動(dòng)區(qū)段對，但它對應(yīng)的惰行連接段實(shí)際上被①→⑩的惰行連接段所覆蓋，故最終的有效牽引-制動(dòng)區(qū)段對只有①→⑩。

表2 區(qū)間坡道數(shù)據(jù)

表3 區(qū)間曲線數(shù)據(jù)

表4 區(qū)間限速數(shù)據(jù)

t變化對應(yīng)區(qū)間運(yùn)行時(shí)間的變化情況如表7所示，t為19.44，60和120 m/s對應(yīng)的節(jié)能速度曲線及最大能力速度曲線如圖4所示。由表7和圖4可知，隨著t的增大，t因高于限速而無法實(shí)現(xiàn)，但t取值影響最優(yōu)惰行段的計(jì)算使惰行連接段不斷縮短，由一個(gè)大的惰行連接段逐漸縮短為幾個(gè)較短的惰行連接段，且惰行連接段數(shù)目逐漸增加，區(qū)間運(yùn)行時(shí)間也隨之減小；并且隨著t的增大，區(qū)間運(yùn)行時(shí)間減小的趨勢也逐漸減緩，在t=140 m/s時(shí)，區(qū)間運(yùn)行時(shí)間與最大能力運(yùn)行時(shí)間已經(jīng)十分接近。

在t=limit情況下得到的區(qū)間運(yùn)行時(shí)間與最大能力運(yùn)行時(shí)間相比，有68.09%的運(yùn)行時(shí)間裕量，而地鐵列車正常運(yùn)營時(shí)的區(qū)間運(yùn)行時(shí)間裕量一般不超過30%，可見t=limit時(shí)對應(yīng)的區(qū)間運(yùn)行時(shí)間裕量遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出地鐵列車實(shí)際運(yùn)營時(shí)對區(qū)間運(yùn)行時(shí)間裕量的要求?？梢娫谡^(qū)間運(yùn)行時(shí)間范圍情況下的計(jì)算，t的取值范圍必然為t＞limit，2.1節(jié)對t取值的假設(shè)滿足實(shí)際應(yīng)用條件。

表5 區(qū)段劃分

表6 vt=19.44 m/s的有效連接誤差

4.2 算例2

采用算例1中的列車和線路數(shù)據(jù)，區(qū)間運(yùn)行時(shí)間要求為111 s，采用3.4節(jié)的定時(shí)節(jié)能算法計(jì)算節(jié)能速度曲線，對應(yīng)的t為64.07 m/s。對比方案為該線路列車自動(dòng)駕駛系統(tǒng)實(shí)際采用的駕駛策略。在該運(yùn)行時(shí)間條件下，對比方案采用在最大能力運(yùn)行的基礎(chǔ)上僅在停車制動(dòng)前施加惰行的節(jié)能駕駛策略，惰行起點(diǎn)通過迭代計(jì)算得到。

表7 區(qū)間運(yùn)行時(shí)間隨vt的變化情況

圖4 算例1速度曲線計(jì)算結(jié)果

2種方案的速度曲線計(jì)算結(jié)果如圖5所示，區(qū)間運(yùn)行時(shí)間、惰行段和能耗如表8所示，本文算法比對比方案節(jié)能21.92%，節(jié)能效果更好。

基于本文算法計(jì)算得到的惰行連接段滿足由極大值原理推導(dǎo)得到的最優(yōu)工況切換條件，在一定的計(jì)算精度下可以獲得理論上的最優(yōu)解，可以認(rèn)為通過該算法得到的惰行連接段為當(dāng)前計(jì)算精度條件下的最優(yōu)惰行連接段，能夠充分利用線路條件獲得最佳節(jié)能效果。

圖5 算例2速度曲線計(jì)算結(jié)果

表8 不同節(jié)能策略對比

5 結(jié)論

1) 以往基于極大值原理的常規(guī)方法偏重于目標(biāo)牽引恒速小于線路限速的情況下的節(jié)能駕駛分析，該情況下的牽引目標(biāo)恒速能夠?qū)崿F(xiàn)且計(jì)算較為復(fù)雜；本文基于牽引目標(biāo)恒速高于線路限速的假設(shè)，將給定目標(biāo)牽引恒速下的地鐵列車節(jié)能駕駛優(yōu)化問題簡化為在列車最大能力運(yùn)行工況的基礎(chǔ)上加入最節(jié)能惰行連接段的問題。

2) 基于以往研究應(yīng)用極大值原理得到最優(yōu)工況切換條件，構(gòu)造簡化情況下計(jì)算最優(yōu)惰行連接段的數(shù)值算法，進(jìn)而得到地鐵列車定時(shí)節(jié)能速度曲線的計(jì)算方法。該簡化算法避免了應(yīng)用極大值原理的常規(guī)方法中對帶伴隨變量的微分方程組的求解過程，并且可以處理詳細(xì)的列車模型和復(fù)雜的線路條件，適合工程應(yīng)用。

3) 基于實(shí)際列車和線路數(shù)據(jù)對該簡化方法的假設(shè)條件進(jìn)行驗(yàn)證，計(jì)算結(jié)果表明在該假設(shè)情況下的區(qū)間運(yùn)行時(shí)間范圍滿足地鐵列車實(shí)際運(yùn)行需求，證明了該假設(shè)在實(shí)際應(yīng)用中的合理性；在相同的運(yùn)行時(shí)間條件下，本文算法比列車目前實(shí)際采用的駕駛策略節(jié)能21.92%，證明了算法的節(jié)能性。

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A simplified algorithm of energy-efficient driving for metro trains based on the Maximum Principle

QU Jianwei, WANG Qingyuan, SUN Pengfei

(School of Electrical Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 611756, China)

An assumption that the target traction cruising speed is higher than the speed limits was introduced in the problem of energy-efficient driving optimization for metro trains within a given runtime. The energy-efficient driving regime set and the timing of using such regimes, derived from earlier analyses based on the Maximum Principle method, were simplified; and the problem of calculating the energy-efficient speed curve under a given target traction cruising speed was also further simplified as a problem of finding the optimal coasting segments based on the traction and braking regimes of the flat-out run. The section between two stations were divided into different segments based on the results of the flat-out run, and the connection function and connection error were introduced to describe the connection effect of the coasting regime. Based on the switching rules of optimal driving regimes, a numerical algorithm for calculating the optimal coasting segments under a target traction cruising speed was proposed, and an algorithm for calculating the optimal energy-efficient speed curve with the given section runtime was further constructed. The actual data of Harbin metro line 3 were used to verify the algorithm. The results confirm the feasibility of the hypothesis, suggesting that as much as 21.92% energy can be saved when the algorithm is used, compared with the current driving strategy of the train.

metro train; energy-efficient driving; the Maximum Principle; switching rules of driving regimes; connection function

U231.6

A

1672 ? 7029(2019)06? 1577 ? 10

10.19713/j.cnki.43?1423/u.2019.06.030

2018?09?19

國家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃資助項(xiàng)目(2016YFB1200502)

王青元(1984?)，男，江蘇鹽城人，高級工程師，從事列車運(yùn)行優(yōu)化控制理論與技術(shù)、列車運(yùn)行仿真及其工程應(yīng)用研究；E?mail：wangqy@swjtu.edu.cn

(編輯 蔣學(xué)東)