張 雙，趙 濤，佃松宜，胡 怡，江 浩

0 引 言

機(jī)械臂系統(tǒng)是一個十分復(fù)雜的多輸入多輸出非線性系統(tǒng)，具有時變、強(qiáng)耦合以及非線性的動力學(xué)特性[1].由于存在結(jié)構(gòu)不確定性導(dǎo)致的建模誤差，執(zhí)行過程中的外部擾動等因素，使這一非線性系統(tǒng)的控制顯得較為困難，故而對機(jī)械臂控制系統(tǒng)的研究具有重大的意義.

在機(jī)械臂控制系統(tǒng)中，為了使機(jī)械臂快速準(zhǔn)確的到達(dá)指定位置，需要解決不確定性條件下機(jī)械臂的軌跡跟蹤問題.針對機(jī)械臂系統(tǒng)的控制問題，目前已提出了PID控制[2-3]、計(jì)算力矩控制[4-5]、自適應(yīng)控制[6-7]、魯棒控制[8-9]、滑模變結(jié)構(gòu)控制[10-11]和智能控制[12-13].滑模控制對參數(shù)攝動和不確定性擾動具有魯棒性和響應(yīng)快速的特點(diǎn)，與其他算法相比設(shè)計(jì)簡單且易于實(shí)施.但是當(dāng)在滑模面上運(yùn)動的時候，容易產(chǎn)生抖振.超螺旋算法具有降低抖陣，補(bǔ)償不確定量、有限時間內(nèi)收斂的優(yōu)點(diǎn)，是一種有效降低抖陣的算法[14].文獻(xiàn)[15]和文獻(xiàn)[16]設(shè)計(jì)了超螺旋滑模控制器來提升系統(tǒng)的控制效果，但是其參數(shù)是固定的，不能夠隨著系統(tǒng)狀態(tài)的變化自適應(yīng)的改變參數(shù)，這使得降低系統(tǒng)抖陣能力受參數(shù)限制.模糊控制由于其在處理復(fù)雜不確定非線性系統(tǒng)的優(yōu)越性在近20年以來得到了快速發(fā)展.一型模糊由Zadeh教授提出以解決建模不確定性的問題，但是其在處理不確定性方面能力有限.因此Zadeh又提出二型模糊的概念[17]，為了降低二型模糊的計(jì)算復(fù)雜度Mendel提出區(qū)間二型模糊的概念，這使得二型模糊系統(tǒng)得到了快速發(fā)展[18].文獻(xiàn)[19]和文獻(xiàn)[20]展示了區(qū)間二型模糊相比于一型模糊在處理不確定性問題上的優(yōu)越性.

模糊滑?？刂瓶梢越Y(jié)合模糊和滑模的優(yōu)點(diǎn)來降低抖陣，提升非線性復(fù)雜系統(tǒng)的魯棒性.文獻(xiàn)[21]-[23]采用模糊控制來調(diào)整滑?？刂破鞯妮敵觯怯捎谖纯紤]模型不確定性導(dǎo)致降低抖陣的效果有限.考慮到模糊控制的全局逼近性能，文獻(xiàn)[24]針對機(jī)械臂的摩擦項(xiàng)采用模糊系統(tǒng)逼近，設(shè)計(jì)滑?？刂破鬟M(jìn)行控制；文獻(xiàn)[25]采用區(qū)間二型模糊對機(jī)械臂模型信息進(jìn)行全局逼近，采用滑模控制進(jìn)行控制.但是它們設(shè)計(jì)的滑?？刂破鞫继^簡單導(dǎo)致快速響應(yīng)性能得不到滿足.于是，文獻(xiàn)[26]采用一型模糊逼近系統(tǒng)的非線性動態(tài)部分，設(shè)計(jì)基于梯度下降的終端滑?？刂破鬟M(jìn)行控制；文獻(xiàn)[27]采用模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行逼近，提出終端滑?？刂破鬟M(jìn)行控制.盡管它們均獲得了較好的軌跡跟蹤性能，但終端滑模控制需考慮奇異問題，這使得控制器的設(shè)計(jì)復(fù)雜.

基于上述研究，本文的主要貢獻(xiàn)有以下幾個方面：(1) 針對文獻(xiàn)[24]中一型模糊系統(tǒng)主要受隸屬度函數(shù)選取的影響、逼近未知擾動精度有限和抗擾動性能弱的問題，提出基于自適應(yīng)區(qū)間二型模糊系統(tǒng)對機(jī)械臂的不確定性進(jìn)行逼近；(2) 針對文獻(xiàn)[32]中基于超螺旋算法的趨近律參數(shù)固定，使得降低系統(tǒng)抖陣效果受參數(shù)限制的問題，本文采用一個改進(jìn)的嵌套自適應(yīng)律設(shè)計(jì)了基于超螺旋算法的趨近律，提出了超螺旋滑?？刂破鱽肀ＷC系統(tǒng)的控制性能；(3) 針對文獻(xiàn)[31]中基于嵌套自適應(yīng)律的超螺旋趨近律穩(wěn)定性證明復(fù)雜的問題，本文通過設(shè)置參數(shù)有界的假設(shè)條件，采用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了趨近律的有效性，進(jìn)一步導(dǎo)出了區(qū)間二型模糊逼近器的自適應(yīng)律，保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

1 問題描述

n自由度的機(jī)械臂系統(tǒng)由n個連桿和關(guān)節(jié)組成，基于拉格朗日方程和歐拉方程[28]，結(jié)合系統(tǒng)的摩擦項(xiàng)和外部擾動項(xiàng)，其動力學(xué)方程表示為

在實(shí)際生產(chǎn)中，考慮機(jī)械臂的建模誤差、物理參數(shù)攝動等情況，動力學(xué)方程中的有關(guān)矩陣可表示為[12]:

式(4)即是后文設(shè)計(jì)控制方法的基礎(chǔ)，這里要提出一個假設(shè)以便于后文研究的進(jìn)行.

2 區(qū)間二型模糊逼近器

一型模糊邏輯和二型模糊邏輯十分相似，二型模糊對一型模糊中的隸屬度進(jìn)行了再次模糊化處理，所以在輸出過程中存在一個降型的過程.就處理不確定性能力而言，二型模糊系統(tǒng)相比于一型模糊系統(tǒng)效果更佳[30]，而計(jì)算復(fù)雜度又低于廣義二型模糊，因此選擇區(qū)間二型模糊系統(tǒng)來作為逼近器.

區(qū)間二型模糊邏輯系統(tǒng)由以下規(guī)則來進(jìn)行描述：

第j條規(guī)則的激活區(qū)間φj由下式計(jì)算：

采用Center-of-sets降型器來實(shí)現(xiàn)降型：

其中，yl和yr可以表示為：

區(qū)間二型模糊系統(tǒng)的輸出即為：

3 控制器設(shè)計(jì)

3.1 超螺旋滑模控制律

針對機(jī)械臂系統(tǒng)，控制目標(biāo)為設(shè)計(jì)有效的控制器使各個轉(zhuǎn)角位置q在有限時間內(nèi)跟蹤給定軌跡qd,定義系統(tǒng)跟蹤誤差:

e=q-qd(11)

定義滑模函數(shù)：

其中λ為正定矩陣，為了計(jì)算方便，定義輔助變量：

基于超螺旋算法，設(shè)計(jì)的趨近律如下：

其中，φ(t)是由如下的嵌套自適應(yīng)律來設(shè)計(jì)[31]：

δ(t)的選取滿足如下條件：

式中各參數(shù)的選擇滿足條件：

γ>0,ω>0,β0>0,η0>0,α>0(17)

假設(shè)2.κ(t)是一個有界函數(shù)，并且滿足|κ(t)|≤α結(jié)合上述的分析，設(shè)計(jì)的控制器如下：

注1.本文刪減了文獻(xiàn)[31]中嵌套自適應(yīng)律中的兩個參數(shù)嵌套等式，增加了參數(shù)有界條件即假設(shè)2，未使用其相關(guān)成立條件.文獻(xiàn)[31]中的控制對象為車輛線控轉(zhuǎn)向系統(tǒng)，基于其一階微分動力學(xué)方程，利用超螺旋算法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，而本文針對機(jī)械臂系統(tǒng)，基于超螺旋算法進(jìn)行趨近律的設(shè)計(jì).文獻(xiàn)[32]中的κ(t)為一固定數(shù)值使得減小抖陣程度有限，本文則通過嵌套自適應(yīng)律在盡可能減小抖陣效應(yīng)的情況下自適應(yīng)地調(diào)整調(diào)制增益，同時盡可能大的滿足在有界不確定性條件下保持滑動.

由于雙曲正切函數(shù)具有平滑性，為了進(jìn)一步降低系統(tǒng)的抖陣，在本文將符號函數(shù)更換為雙曲正切函數(shù)[33]：

y=tanh(s)(19)

因此式(18)可以表示為：

3.2 區(qū)間二型模糊自適應(yīng)律

u(t)=

定義逼近系統(tǒng)的最優(yōu)參數(shù)：

區(qū)間二型模糊逼近器的逼近誤差表示為：

基于Lyapunov穩(wěn)定性理論導(dǎo)出來的自適應(yīng)律可以表示為：

其中hi是正定矩陣H主對角線上的元素.

3.3 主要結(jié)果

圖1展示了本文所提方法的控制框圖.然后將本文的主要結(jié)果總結(jié)為如下的兩個定理，它們分別說明了趨近律的有效性和控制器的穩(wěn)定性.

圖1 本文算法控制框圖Fig.1 Control diagram of our proposed method

定理1.考慮趨近律(14)，結(jié)合嵌套自適應(yīng)律(15)，在參數(shù)條件(16)、(17)成立的情況下，(14)所示的趨近律是可以到達(dá)滑模面(12)的.

證明.

定義Lyapunov函數(shù)：

對(26)式求導(dǎo)有：

β(t)(-|η0+η(t)|sign(β(t)))

所以基于超螺旋算法的趨近律是可以到達(dá)滑模面的.證畢.

定理2.考慮機(jī)械臂系統(tǒng)(4)，結(jié)合區(qū)間二型模糊逼近器輸出(22)，在控制器(21)的設(shè)計(jì)下，定義的跟蹤誤差(11)可以在給定參考軌跡的情況下收斂到零.

證明.

定義Lyapunov函數(shù):

結(jié)合式(11)～(14)、(18)式、(23)式、(24)式，對(28)式求導(dǎo)可以得到：

注2.定理2成立的條件是定理1成立.不同于文獻(xiàn)[31]的基于嵌套自適應(yīng)律結(jié)合Lyapunov定理證明系統(tǒng)穩(wěn)定性,定理1成立的條件是基于假設(shè)2和條件(17)，(18).文獻(xiàn)[32]κ(t)數(shù)值固定使得在穩(wěn)定性證明中可以很容易證明穩(wěn)定性，本文通過增加假設(shè)2使得證明亦相對容易，同時又使調(diào)制增益自適應(yīng)改變，若無假設(shè)2則穩(wěn)定性證明需要增加更多的參數(shù)限制.

為了評價系統(tǒng)的控制效果，采用四種評價指標(biāo)[20]：ISE、IAE、ITSE、ITAE,它們的計(jì)算公式如式(30).

4 仿真研究

為了驗(yàn)證所提控制器的有效性，以二自由度機(jī)械臂為仿真研究對象，其動力學(xué)矩陣參數(shù)[34]為：

其中，機(jī)械臂的仿真參數(shù)選為：m1=1，m2=1.5，r1=1，r2=0.8，g=9.8.

對機(jī)械臂選取實(shí)驗(yàn)給定軌跡為：

qd=[sin(t) 0.8sin(t)]T

ΔM(q)=0.02M(q);

ΔG(q)=0.05G(q)

控制器的參數(shù)設(shè)計(jì)如表1所示.

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，將本文算法與同一型模糊滑?？刂芠24]進(jìn)行了比較，同時為了凸顯區(qū)間二型模糊處理不確定性的能力和本文提出的超螺旋算法的有效性，在其中分別更換了模糊部分和滑模部分進(jìn)行仿真分析.所以共有四種方法進(jìn)行了比較，分別是一型模糊滑?？刂?T1FSMC)、一型模糊超螺旋滑模控制(T1FSTSMC)、二型模糊滑?？刂?IT2FSMC)和二型模糊超螺旋滑模控制(IT2FSTSMC).

圖2展示了四種控制方法對于同一條給定軌跡的跟蹤效果，整體都能夠在補(bǔ)償擾動的情況下實(shí)現(xiàn)對于給定軌跡的跟蹤，但從放大圖中可以看出在系統(tǒng)的動態(tài)性能方面，超螺旋滑?？刂铺嵘讼到y(tǒng)的響應(yīng)速度，相比于傳統(tǒng)的滑?？刂?，縮短了系統(tǒng)的響應(yīng)時間，實(shí)現(xiàn)了快速跟蹤；圖3的0

表1 控制器參數(shù)Tab.1 Parameters of controller

圖2 兩關(guān)節(jié)角位置跟蹤曲線Fig.2 Two-joint angular position trajectories

圖3 兩關(guān)節(jié)角位置跟蹤誤差曲線Fig.3 Trajectory tracking errors of two-joint angular position

為了進(jìn)一步體現(xiàn)區(qū)間二型模糊對于廣義擾動的逼近能力，圖4展示了對于擾動的逼近效果，從0

圖4 擾動逼近曲線Fig.4 Disturbance approximation curves

從之前的圖中可以看出，提升控制效果的主要是超螺旋滑模控制，實(shí)現(xiàn)對給定軌跡的快速跟蹤，而區(qū)間二型模糊則主要實(shí)現(xiàn)對擾動的逼近.因此，對于性能指標(biāo)的評價主要針對T1FSTSMC和IT2FSTSMC,從跟蹤誤差曲線看誤差主要存在于0

圖5 擾動逼近誤差曲線Fig.5 Disturbance approximation error curves

圖6 性能指標(biāo)曲線Fig.6 Performance index curves

為了進(jìn)一步展示在控制過程中的累計(jì)誤差情況，表2給出了性能指標(biāo)結(jié)果，可以看出控制效果是IT2FSTSMC>T1FSTSMC>IT2FSMC>T1FSMC,其結(jié)果依然說明了采用區(qū)間二型模糊逼近廣義擾動和利用超螺旋算法設(shè)計(jì)滑模控制器的有效性.

表2 性能指標(biāo)結(jié)果Tab.2 Results of performance index

5 結(jié) 論

雖然模糊控制能夠?qū)θ我夥蔷€性函數(shù)進(jìn)行逼近，但是其隸屬度函數(shù)影響了逼近的精度；滑?？刂齐m然能夠保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但是其快速跟蹤效果及抗干擾能力還需進(jìn)一步提升.所以為了解決傳統(tǒng)模糊滑模控制在不確定條件下魯棒性弱的問題，本文提出了一種基于區(qū)間二型模糊補(bǔ)償擾動的超螺旋滑?？刂扑惴?首先，為了處理不同干擾，將系統(tǒng)內(nèi)部擾動和外界干擾統(tǒng)一看作廣義擾動，通過選取合適的隸屬度函數(shù)來逼近廣義擾動，使得在控制器設(shè)計(jì)的時候，能夠補(bǔ)償廣義擾動帶來的誤差，提高系統(tǒng)的抗干擾性；然后基于超螺旋算法，設(shè)計(jì)了嵌套自適應(yīng)律來對超螺旋算法中的參數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)節(jié)，提升系統(tǒng)響應(yīng)的快速性和準(zhǔn)確性；接著利用Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了趨近律的穩(wěn)定性和系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并基于穩(wěn)定性導(dǎo)出了區(qū)間二型模糊的自適應(yīng)律實(shí)現(xiàn)對模糊系統(tǒng)的自適應(yīng)調(diào)節(jié)；最后通過對2自由度機(jī)械臂進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了區(qū)間二型模糊的逼近性能和超螺旋滑模控制的魯棒性，本文提出的方法能夠提升系統(tǒng)的控制品質(zhì).