張?俊，李習(xí)科，汪?建，姚立綱，劉先增

含齒根早期裂紋損傷的行星齒輪箱故障機(jī)理研究

張?俊1，李習(xí)科1，汪?建1，姚立綱1，劉先增2

(1. 福州大學(xué)機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，福州350116；2. 天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300350)

行星齒輪箱中齒根早期裂紋損傷的故障特征微弱，導(dǎo)致其難以被識(shí)別．為揭示齒根早期裂紋的故障機(jī)理，采用集中參數(shù)法建立計(jì)入裂紋損傷效應(yīng)的行星齒輪箱傳動(dòng)-結(jié)構(gòu)耦合非線性動(dòng)力學(xué)模型．首先，基于勢(shì)能法建立含齒根裂紋損傷的齒輪副嚙合剛度與傳動(dòng)誤差計(jì)算模型，通過剛度激勵(lì)函數(shù)與位移激勵(lì)函數(shù)將裂紋損傷的效應(yīng)納入行星傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型，進(jìn)而求解行星傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)，結(jié)果表明內(nèi)、外傳動(dòng)支路之間的傳動(dòng)誤差差異導(dǎo)致各支路載荷分配不均．其次，采用ANSYS Workbench建立箱體結(jié)構(gòu)的有限元模型．將行星傳動(dòng)系統(tǒng)中太陽輪、行星架以及內(nèi)齒圈的支承反力施加于箱體結(jié)構(gòu)的相應(yīng)軸承座處，并通過窗函數(shù)計(jì)入行星架旋轉(zhuǎn)對(duì)信號(hào)的調(diào)制效應(yīng)以獲取行星齒輪箱的振動(dòng)信號(hào)；通過對(duì)箱體振動(dòng)信號(hào)的頻譜分析，提取了行星齒輪箱齒根早期裂紋損傷的故障特征．最后，搭建動(dòng)力傳動(dòng)故障模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)，對(duì)存在齒根早期裂紋損傷的行星齒輪箱進(jìn)行了振動(dòng)測(cè)試．仿真信號(hào)與實(shí)測(cè)信號(hào)基本一致，表明所建行星齒輪箱傳動(dòng)-結(jié)構(gòu)耦合動(dòng)力學(xué)模型能準(zhǔn)確揭示行星齒輪箱齒根早期裂紋損傷的故障機(jī)理．行星齒輪箱中齒根早期裂紋損傷的故障特征表現(xiàn)為以嚙合頻率為中心、故障特征頻率的分?jǐn)?shù)倍頻及行星架轉(zhuǎn)頻為間隔的調(diào)制邊帶．

行星齒輪箱；齒根早期裂紋；故障特征；調(diào)制邊帶

齒根早期裂紋是行星齒輪箱中難以識(shí)別且危險(xiǎn)程度較高的損傷模式之一．造成其難以被識(shí)別的主要原因有：①齒根早期裂紋引起的沖擊信號(hào)微弱，使其容易被傳動(dòng)系統(tǒng)原有的振動(dòng)信號(hào)所淹沒；②微弱故障信號(hào)在經(jīng)傳動(dòng)支路(齒輪—軸—軸承)傳遞到探測(cè)點(diǎn)的過程中逐漸被削弱．雖然故障特征微弱導(dǎo)致齒根裂紋難以被識(shí)別，但其高危險(xiǎn)性又迫切要求識(shí)別出這一故障模式．為保障行星齒輪箱的安全運(yùn)行，必須探明齒根早期裂紋的故障機(jī)理，建立故障與征兆間的內(nèi)在聯(lián)系與映射關(guān)系，這是診斷行星齒輪箱齒根早期裂紋損傷的理論基礎(chǔ)．

圍繞齒根裂紋的故障機(jī)理，學(xué)術(shù)界開展了大量研究[1-2]．齒根裂紋影響傳動(dòng)系統(tǒng)的內(nèi)部激勵(lì)，進(jìn)而改變行星齒輪箱的振動(dòng)特性．Wan等[3]計(jì)算了含裂紋損傷齒輪副的嚙合剛度，并分析了裂紋損傷對(duì)齒輪-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響．馬銳等[4]分析了裂紋演化對(duì)齒輪副嚙合剛度及單自由度齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響．這些研究反映了含齒根裂紋傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)特性，但其中未考慮箱體結(jié)構(gòu)的影響．

箱體作為傳動(dòng)支路的支承構(gòu)件，其結(jié)構(gòu)對(duì)振動(dòng)特性具有顯著影響，而結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性使其難以直接處理為集中參數(shù)模型．研究結(jié)果[5-8]表明：采用有限單元法可以提取箱體結(jié)構(gòu)在連接節(jié)點(diǎn)處的集中參數(shù)，將提取的箱體質(zhì)量、剛度、阻尼等參數(shù)引入傳動(dòng)系統(tǒng)模型，以此獲得箱體結(jié)構(gòu)對(duì)行星傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)特性的影響．然而，箱體結(jié)構(gòu)上任一探測(cè)點(diǎn)振動(dòng)特征是有所區(qū)別的，因此集中參數(shù)法對(duì)分析不同探測(cè)點(diǎn)的振動(dòng)特性并不適用．更為重要的是，這一方法未考慮箱體結(jié)構(gòu)對(duì)振動(dòng)傳遞特性的影響．

關(guān)于振動(dòng)傳遞特性的研究，雷亞國(guó)等[9-10]建立了含“雙拋物線”型齒根裂紋及“矩形狀”剝落的齒輪副損傷模型，將其納入傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，構(gòu)建了行星齒輪箱振動(dòng)信號(hào)仿真模型，并據(jù)此分析了2種故障模式的振動(dòng)響應(yīng)特性，但所建的傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型僅考慮了各構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)變形及太陽輪的平移變形．Liang等[11-12]進(jìn)一步完善這一模型，建立了行星系統(tǒng)平移-扭轉(zhuǎn)耦合動(dòng)力學(xué)模型，通過加窗函數(shù)的方法模擬了行星架旋轉(zhuǎn)對(duì)探測(cè)點(diǎn)信號(hào)的調(diào)制效應(yīng)，并開展了齒根裂紋損傷的故障診斷．而這一研究所獲取的行星齒輪箱振動(dòng)信號(hào)是根據(jù)行星輪沿垂直方向的振動(dòng)加速度合成的．Inlpolat等[13]與Liu等[14]則分別以內(nèi)、外齒輪副嚙合力和嚙合線上的振動(dòng)加速度為基礎(chǔ)建立行星齒輪箱的振動(dòng)信號(hào)模型．雖然上述研究考慮了傳遞路徑的影響并建立振動(dòng)信號(hào)模型，但嚙合力和嚙合線上的振動(dòng)加速度均未考慮箱體結(jié)構(gòu)、材料屬性和探測(cè)點(diǎn)位置等對(duì)合成振動(dòng)信號(hào)的影響，進(jìn)而未能準(zhǔn)確建立合成振動(dòng)信號(hào)與力或加速度之間的映射關(guān)系．

針對(duì)以上問題，本文建立了傳動(dòng)-結(jié)構(gòu)耦合動(dòng)力學(xué)模型，并采用龍格-庫(kù)塔法求解行星傳動(dòng)系統(tǒng)的無量綱動(dòng)力學(xué)方程，將解得的動(dòng)態(tài)響應(yīng)作為箱體結(jié)構(gòu)的激勵(lì)．傳動(dòng)系統(tǒng)建模表征了齒根早期裂紋損傷的演化機(jī)理，箱體結(jié)構(gòu)有限元建模則模擬了振動(dòng)信號(hào)在箱體結(jié)構(gòu)中的傳遞特性．搭建了動(dòng)力傳動(dòng)故障模擬實(shí)驗(yàn)臺(tái)，通過仿真與實(shí)驗(yàn)的對(duì)比，驗(yàn)證了所建傳動(dòng)-結(jié)構(gòu)耦合動(dòng)力學(xué)模型及參數(shù)計(jì)算方法的準(zhǔn)確性．綜合以上分析，揭示了齒根早期裂紋的故障機(jī)理，希冀為行星齒輪箱齒根早期裂紋的故障診斷提供理論依據(jù)．

1?傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

1.1?齒根裂紋損傷建模

以30°切線法(＝30°)確定裂紋起始臨界點(diǎn)的位置，建立齒根裂紋損傷模型，如圖1所示．圖1中：為裂紋擴(kuò)展角；為裂紋深度；m為嚙合輪齒之間的法向載荷；a、b為法向載荷的徑向分力和切向分力；12為輪齒中線；為嚙合點(diǎn)到基圓的距離；h為齒廓上任一點(diǎn)到中線的距離；為這一點(diǎn)到基圓的距離；c1為裂紋損傷輪齒齒廓受力邊界線上任一點(diǎn)到中線的距離；為嚙合點(diǎn)到中線的距離；為齒廓上距離基圓位置處對(duì)應(yīng)的齒輪轉(zhuǎn)角；1為齒廓上嚙合點(diǎn)對(duì)應(yīng)的齒輪轉(zhuǎn)角；g為齒廓上裂紋終點(diǎn)位置對(duì)應(yīng)的齒輪轉(zhuǎn)角；b、f分別為基圓半徑和齒根圓半徑；b、f分別為基圓和齒根圓對(duì)應(yīng)的中心角的一半；段為齒頂圓齒廓；段為漸開線齒廓；段為過渡圓弧齒廓；r為過渡圓弧半徑；f為法向載荷線與中線交點(diǎn)到齒根圓的距離；f為齒根圓齒厚．

圖1?齒根裂紋示意

基于漸開線齒輪的嚙合原理，采用勢(shì)能法計(jì)算太陽輪-行星輪及行星輪-內(nèi)齒圈的嚙合剛度．因輪齒撓曲變形儲(chǔ)存在嚙合輪齒中的勢(shì)能可表示[3]為

式中：b為彎曲勢(shì)能；s為剪切勢(shì)能；a為壓縮勢(shì)能；b為彎曲剛度；s為剪切剛度；a為壓縮剛度．

各項(xiàng)勢(shì)能計(jì)算式分別為

嚙合剛度需計(jì)入接觸剛度h及基體剛度f，即

(6)

式中：為輪齒齒寬；為泊松比．篇幅所限，其他參數(shù)的定義及取值詳見文獻(xiàn)[15]．

一般地，直齒齒輪副的重合度介于區(qū)間(1，2). 由式(1)～(6)計(jì)算單齒嚙合區(qū)的嚙合剛度，即

而在雙齒嚙合區(qū)，兩對(duì)嚙合輪齒共有1個(gè)輪體，引入基體剛度修正系數(shù)減小嚙合剛度偏差，得到雙齒嚙合剛度為

為便于數(shù)值求解，將內(nèi)、外齒輪副的嚙合剛度曲線擬合成傅里葉級(jí)數(shù)形式，即

＝s，r；＝1，2，…，

由誤差分析[18]可得齒輪副的傳動(dòng)誤差E為

同樣地，將內(nèi)、外齒輪副的傳動(dòng)誤差曲線擬合成傅里葉級(jí)數(shù)形式，即

1.2?傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

不失一般性，以2K-H型直齒行星輪系為對(duì)象，建立傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型，如圖2所示．該行星輪系由太陽輪s、行星架c、內(nèi)齒圈r和個(gè)均布的行星輪p等構(gòu)件組成．其中，太陽輪s為輸入構(gòu)件，行星架c為輸出構(gòu)件，內(nèi)齒圈r與箱體結(jié)構(gòu)固聯(lián)．為清晰起見，僅繪出了行星輪1．

為方便建模推導(dǎo)，做如下處理：①將各齒輪簡(jiǎn)化為具有集中質(zhì)量的圓柱體，忽略輪體結(jié)構(gòu)柔性；②各內(nèi)、外齒輪副以彈簧阻尼單元表示，彈簧的彈性系數(shù)和阻尼器的阻尼系數(shù)為嚙合剛度和嚙合阻尼；③忽略嚙合輪齒的摩擦效應(yīng)，且各構(gòu)件振動(dòng)只發(fā)生在垂直于其軸線的平面內(nèi)；④在輪系幾何中心處建立隨行星架同步旋轉(zhuǎn)的中心構(gòu)件連體坐標(biāo)系，其軸通過行星輪p1的幾何中心1，軸與軸垂直，且相位超前90°；在各行星輪幾何中心O建立行星輪連體坐標(biāo)系Oxy，其中x軸由點(diǎn)指向O點(diǎn)，y軸與x軸垂直，且相位超前90°．

圖2?行星輪系的非線性動(dòng)力學(xué)模型

圖2中：x、y和u分別為構(gòu)件(＝c，s，r，)沿、向的平動(dòng)位移和沿向(繞其軸線方向)的扭轉(zhuǎn)位移；k、k分別為構(gòu)件在連體坐標(biāo)系下沿、向和向的軸承支承剛度；c、c分別為構(gòu)件在連體坐標(biāo)系下沿、向和向的軸承支承阻尼；si、ri分別為太陽輪、內(nèi)齒圈與行星輪p的嚙合剛度；si、ri分別為太陽輪、內(nèi)齒圈與行星輪p的傳動(dòng)誤差；si、ri分別為太陽輪、內(nèi)齒圈與行星輪p的嚙合阻尼；si、ri分別為太陽輪、內(nèi)齒圈與行星輪p的嚙合間隙；s、c分別為太陽輪、行星架上的輸入扭矩和負(fù)載扭矩．

1.3?變形協(xié)調(diào)方程與齒側(cè)間隙函數(shù)

如圖2所示，構(gòu)件之間的相對(duì)位移關(guān)系如下．

(1) 太陽輪-行星輪沿嚙合線相對(duì)位移為

(2) 行星輪-內(nèi)齒圈沿嚙合線相對(duì)位移為

(3) 行星架-行星輪沿、向的相對(duì)位移分別為

式中：si＝φ－s，為太陽輪與第個(gè)行星輪的嚙合角，s為太陽輪壓力角；ri＝φ＋r，為內(nèi)齒圈與第個(gè)行星輪的嚙合角；r為內(nèi)齒圈壓力角．

齒輪嚙合時(shí)，為形成潤(rùn)滑油膜而不致齒輪“卡死”，內(nèi)、外嚙合齒面之間往往需預(yù)留一定的間隙量b．考慮相對(duì)位移的齒側(cè)間隙函數(shù)表示為

1.4?動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)微分方程

以平移位移x、y和扭轉(zhuǎn)位移u(u＝bjθ，bj為齒輪基圓半徑，θ為扭轉(zhuǎn)角位移)構(gòu)成了單一構(gòu)件的廣義坐標(biāo)向量，＝[x，y，u]，則行星傳動(dòng)系統(tǒng)的廣義位移向量為＝[c，s，r，1，2，…，]T．基于牛頓第二定律，推導(dǎo)各構(gòu)件的運(yùn)動(dòng)微分方程并組裝成矩陣形式為

式中：為質(zhì)量矩陣；為陀螺矩陣；b為支承剛度矩陣；m為嚙合剛度矩陣；為向心剛度矩陣；r為內(nèi)部激勵(lì)列矢；為外部激勵(lì)列矢；阻尼矩陣采用Rayleigh阻尼公式表示為

＝＋(b＋m)(19)

式中：為質(zhì)量比例系數(shù)；為剛度比例系數(shù)．

由系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng)，得模態(tài)矩陣．通過T和實(shí)現(xiàn)剛度矩陣和阻尼矩陣的對(duì)角化．

T＝T＋T＝

＋T(20)

式中：為單位矩陣；為模態(tài)剛度矩陣；＝b＋m；ξ、ω分別為階阻尼比和固有頻率．取行星傳動(dòng)系統(tǒng)前2階阻尼比，推導(dǎo)式(21)即可計(jì)算質(zhì)量比例系數(shù)及剛度比例系數(shù)．

式中：1、2為行星傳動(dòng)系統(tǒng)的前2階阻尼比；1、2為行星傳動(dòng)系統(tǒng)的前2階固有頻率．

廣義位移、速度和加速度等參數(shù)轉(zhuǎn)化成無量綱形式，

限于篇幅，其他參數(shù)的無量綱處理過程不再贅述．將無量綱參數(shù)代入式(18)，即可得到行星傳動(dòng)系統(tǒng)的無量綱運(yùn)動(dòng)微分方程．行星架、太陽輪、內(nèi)齒圈和行星輪無量綱運(yùn)動(dòng)微分方程分別表示為

將各構(gòu)件無量綱運(yùn)動(dòng)微分方程轉(zhuǎn)換為無量綱形式

(33)

2?動(dòng)態(tài)響應(yīng)與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

2.1?嚙合剛度和傳動(dòng)誤差的仿真計(jì)算

為方便討論，以Spectra Quest Inc．公司研發(fā)的齒輪動(dòng)力傳動(dòng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)中的行星齒輪箱為案例．齒輪箱中，齒輪精度等級(jí)為5級(jí)(GB10095—88)；已在太陽輪齒根部位做裂紋損傷預(yù)處理，裂紋參數(shù)為：擴(kuò)展角＝70°，深度＝0.5mm，齒根裂紋初始寬度非常小.因此，忽略其初始寬度．計(jì)算得到式(19)中的質(zhì)量比例系數(shù)＝160.655，剛度比例系數(shù)＝2.487×10-6.構(gòu)件的其他設(shè)計(jì)參數(shù)與系統(tǒng)工況參數(shù)如表1所示．

表1?算例齒輪箱的設(shè)計(jì)與工況參數(shù)

Tab.1?Design and working parameters of example gearbox

行星齒輪箱第1相太陽輪-行星輪(s-p)、行星輪-內(nèi)齒圈(p-r)的時(shí)變嚙合剛度如圖3所示．傅里葉級(jí)數(shù)擬合后，嚙合剛度諧波系數(shù)見表2．

由圖3可知，損傷輪齒在嚙入至嚙出過程，齒輪嚙合位置由齒根處移至齒頂處，裂紋降低嚙合剛度的幅度逐漸增大．具體而言，當(dāng)太陽輪齒根部分存在0.5mm深的裂紋時(shí)，嚙合剛度較健康狀態(tài)逐漸下降，下降的最大值為6.674N/μm(約為健康輪齒嚙合剛度最大值的3.381%)．盡管齒根裂紋降低了齒輪副的嚙合剛度，但并不會(huì)改變內(nèi)、外齒輪副的嚙合特性，即嚙合剛度仍呈現(xiàn)與重合度(外嚙合：1.665，內(nèi)嚙合：1.901)變化一致的單—雙齒交替嚙合規(guī)律．

圖3?第1相內(nèi)、外齒輪副的時(shí)變嚙合剛度

表2?時(shí)變嚙合剛度諧波系數(shù)

Tab.2?Harmonic coefficients of TVMS N/μm

需指出的是不同的扭矩作用下，延長(zhǎng)嚙合對(duì)嚙合剛度的影響差異很大．具體表現(xiàn)為扭矩越大，延長(zhǎng)嚙合的影響越明顯[20]．而本文中的系統(tǒng)輸入和負(fù)載扭矩都很小，故未計(jì)入延長(zhǎng)嚙合的影響．

行星齒輪箱第1相太陽輪-行星輪、行星輪-內(nèi)齒圈的傳動(dòng)誤差如圖4所示．傅里葉級(jí)數(shù)擬合后，傳動(dòng)誤差諧波系數(shù)見表3．由圖4可知，裂紋損傷狀態(tài)下傳動(dòng)誤差與健康狀態(tài)幾乎重合．由此可知，對(duì)于齒根裂紋初始寬度小且精度等級(jí)較高的齒輪副，齒根裂紋損傷對(duì)傳動(dòng)誤差的影響是微弱的．

圖4?第1相內(nèi)、外齒輪副的傳動(dòng)誤差

表3?傳動(dòng)誤差諧波系數(shù)

Tab.3?Harmonic coefficients of transmission error mm

2.2?傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

根據(jù)表1中行星齒輪箱的設(shè)計(jì)和工況參數(shù)，采用龍格-庫(kù)塔法求解方程組(34)，將解得的無量綱動(dòng)態(tài)響應(yīng)還原為有量綱形式．

圖5為健康狀態(tài)下(內(nèi)、外傳動(dòng)支路的各項(xiàng)誤差一致)，行星輪系中太陽輪沿向的支承力．

由圖5可知，太陽輪沿向的軸承支承力呈現(xiàn)出間隔周期為28m的嚙合沖擊，且每間隔7m出現(xiàn)1次振幅不同的嚙合沖擊．這一現(xiàn)象可解釋如下：該行星齒輪箱中，太陽輪的齒數(shù)為28，行星輪個(gè)數(shù)為4，故存在齒根裂紋的太陽輪相對(duì)行星架每旋轉(zhuǎn)一周，裂紋輪齒將分別與4個(gè)行星輪上的相應(yīng)輪齒各嚙合1次．換言之，每間隔7m，太陽輪上的裂紋輪齒將與某個(gè)行星輪嚙合，產(chǎn)生1次嚙合沖擊；每間隔28m，太陽輪上裂紋輪齒將與同1個(gè)行星輪再次嚙合，產(chǎn)生1次完全一致的嚙合沖擊．

圖5?太陽輪沿x向的支承力(健康)

進(jìn)一步觀察可知，由齒根裂紋引起的太陽輪支承軸承力波動(dòng)幅值很小，沖擊力的變化范圍為[-0.120，0.120] N，而非嚙合沖擊處的支承力近似為零．這是由于在不考慮構(gòu)件制造及安裝誤差差異的情況下，4條功率流支路完全均載，各相太陽輪-行星輪的嚙合力相互抵消，使得軸承支承力近似為零，但就真實(shí)工況下的行星齒輪箱而言，其內(nèi)部必然存在構(gòu)件制造及安裝誤差．可以預(yù)見，誤差會(huì)引起功率流支路之間不均載，進(jìn)而使得軸承支承力的波動(dòng)幅值遠(yuǎn)超由齒根裂紋引起的沖擊波動(dòng)．這就容易造成由齒根裂紋損傷引起的微弱振動(dòng)信號(hào)被淹沒在位移激勵(lì)引起的振動(dòng)信號(hào)中．

源于此，不妨考察制造/安裝誤差導(dǎo)致內(nèi)、外嚙合齒輪副的傳動(dòng)誤差間隔相(1、3相和2、4相)分別存在5%、20%的差異時(shí)，行星齒輪系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)．圖6為其太陽輪沿向的支承力．

圖6?太陽輪沿x向的支承力(裂紋)

由圖6可知，計(jì)入制造及安裝誤差后，太陽輪向的振動(dòng)明顯加劇，而在時(shí)域響應(yīng)中，并未呈現(xiàn)由裂紋損傷引起的明顯嚙合沖擊，這一現(xiàn)象與上述預(yù)見相符．4條傳動(dòng)支路的位移激勵(lì)差異導(dǎo)致太陽輪軸承支承力沿局部坐標(biāo)向發(fā)生偏移，軸承支承力的波動(dòng)范圍增大到[-0.215，3.968] N，遠(yuǎn)高于圖5所示的理想狀態(tài)下的范圍[-0.120，0.120] N．由于軸承支承力的波動(dòng)范圍差距懸殊，導(dǎo)致難以識(shí)別出時(shí)域響應(yīng)中被淹沒的裂紋損傷特征．

盡管如此，采用快速傅里葉變換對(duì)軸承力信號(hào)進(jìn)行頻譜分析，仍然可以提取到微弱的裂紋故障特征，如圖6所示．觀察發(fā)現(xiàn)，嚙合頻率m(422.2Hz)兩側(cè)呈現(xiàn)出間隔為1/4倍(15.1Hz)裂紋故障頻率crack(60.4Hz)的調(diào)制邊帶．這一現(xiàn)象可以解釋為：齒輪局部故障的特征頻率等價(jià)于嚙合沖擊的重復(fù)頻率，而在單位時(shí)間(1m)內(nèi)，損傷太陽輪依次與4個(gè)行星輪嚙合，并產(chǎn)生4次嚙合沖擊，嚙合沖擊的重復(fù)頻率為1/7m(60.4Hz)．再由圖5可知，損傷太陽輪與4個(gè)行星輪嚙合的沖擊幅度是不盡相同的，這就導(dǎo)致1次完全一致的嚙合沖擊的重復(fù)頻率為1/28m(15.1Hz)，因此，呈現(xiàn)間隔為15.1Hz的調(diào)制邊帶．從邊頻數(shù)量上觀察到，僅1/4倍裂紋故障特征頻率明顯地反映在頻譜圖中，這一現(xiàn)象說明了裂紋引起的振動(dòng)沖擊所能激起的故障特征頻率的階次數(shù)是有限的，從而證明了齒根裂紋損傷引起的振動(dòng)沖擊非常微弱．

根據(jù)以上分析足以推斷出，圖6中所呈現(xiàn)出的邊帶間隔與行星輪個(gè)數(shù)是有關(guān)的，即行星齒輪箱中的行星輪個(gè)數(shù)為時(shí)，頻譜信號(hào)中將會(huì)表現(xiàn)出以嚙合頻率為中心、裂紋故障頻率的1/分?jǐn)?shù)倍頻為間隔的調(diào)制邊帶．

假定內(nèi)嚙合或外嚙合齒輪副傳動(dòng)誤差間隔相在0～30%范圍變化，太陽輪沿向最大支承力見表4.由表4可知，內(nèi)、外嚙合齒輪副的傳動(dòng)誤差間隔相在0～30%的范圍變化時(shí)，太陽輪沿向的最大支承力呈現(xiàn)近似線性遞增的變化規(guī)律，即太陽輪沿向的最大支承力隨著內(nèi)、外嚙合齒輪副傳動(dòng)誤差增加而增大.

表4?太陽輪沿向最大的支承力

Tab.4 Maximum reaction force of the sun gear along xdirection

在箱體軸承座處施加軸承支承反力，將傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)特征引入箱體結(jié)構(gòu)，進(jìn)而分析箱體的振動(dòng)狀態(tài)．限于篇幅，僅給出內(nèi)嚙合齒輪副的傳動(dòng)誤差間隔相之間存在5%的差異，以及外嚙合齒輪副傳動(dòng)誤差間隔相之間存在20%的差異時(shí)，內(nèi)齒圈和行星架沿向的徑向支承力，如圖7和圖8所示．

圖7?內(nèi)齒圈沿x向的支承力

圖8?行星架沿x向的支承力

2.3?箱體結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)

如上所述，為仿真箱體的真實(shí)振動(dòng)狀態(tài)，建立如圖9所示的箱體結(jié)構(gòu)有限單元模型．

圖9?箱體有限元模型

建模過程如下：①忽略箱體上油孔、倒角等局部結(jié)構(gòu)；②建立箱體結(jié)構(gòu)的三維實(shí)體模型，將其導(dǎo)入ANSYSWorkbench瞬態(tài)分析模塊，并設(shè)置端蓋與箱體、內(nèi)齒圈與箱體的材料及其接觸構(gòu)件之間的連接關(guān)系，按照傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)行時(shí)間設(shè)置瞬態(tài)分析的載荷步；③對(duì)箱體進(jìn)行網(wǎng)格劃分；④底座螺栓孔、箱體底面處設(shè)置綁定約束．根據(jù)力的作用方向，將各構(gòu)件的徑向支承力以軸承支承反力的形式施加于軸承-軸承座的接觸面；⑤求解箱體結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)．

當(dāng)太陽輪存在裂紋損傷時(shí)，損傷輪齒與行星輪的嚙合點(diǎn)位置隨行星架旋轉(zhuǎn)而變化．隨著行星架旋轉(zhuǎn)，裂紋損傷點(diǎn)與行星輪的嚙合位置逐漸遠(yuǎn)離/靠近傳感器，傳感器測(cè)試到的振動(dòng)信號(hào)逐漸減弱/增強(qiáng)．這一現(xiàn)象可以通過以行星架旋轉(zhuǎn)頻率為基頻的Hanming窗函數(shù)[10]來表示，即

設(shè)A1、B1點(diǎn)(如圖9所示)為仿真信號(hào)采集點(diǎn)，采集A1、B1點(diǎn)的仿真振動(dòng)信號(hào)后，對(duì)其進(jìn)行頻譜分析，結(jié)果如圖10和圖11所示．

圖11?B1點(diǎn)沿y向的頻譜信號(hào)

由圖10可知，嚙合頻率m兩側(cè)呈現(xiàn)間隔為1/4倍裂紋故障頻率crack、行星架旋轉(zhuǎn)頻率c(4.22Hz)的調(diào)制邊帶；頻率m＋1/4crack兩側(cè)呈現(xiàn)間隔為行星架旋轉(zhuǎn)頻率c的調(diào)制邊帶，且嚙合頻率右側(cè)，頻率m＋1/4crack＋c比m＋1/4crack－c的頻率成分更為明顯，嚙合頻率左側(cè)情況類似．

與圖10對(duì)比可知，1位置的振動(dòng)信號(hào)包含了與1位置相似的頻譜成分，但1點(diǎn)較1點(diǎn)的頻譜成分的整體峰值更高．這些現(xiàn)象可以解釋為：行星齒輪箱是一個(gè)完備的機(jī)械系統(tǒng)，行星傳動(dòng)系統(tǒng)的嚙合特征必然會(huì)影響箱體的振動(dòng)狀態(tài)，而嚙合頻率受到裂紋特征頻率和行星架轉(zhuǎn)率的調(diào)制，進(jìn)而呈現(xiàn)3種頻率的組合形式；又因1/4crack＋c與太陽輪旋轉(zhuǎn)頻率s(19.3Hz)重合，使得m＋1/4crack＋c頻率成分更為明顯；而1位置比1位置更接近內(nèi)、外嚙合點(diǎn)，導(dǎo)致1點(diǎn)較1點(diǎn)頻譜成分的整體峰值更高．由以上分析可知，當(dāng)行星齒輪個(gè)數(shù)為時(shí)，箱體振動(dòng)也會(huì)呈現(xiàn)與裂紋故障頻率1/倍頻有關(guān)的頻率特征，究其原因，各構(gòu)件的軸承支承反力的激勵(lì)作用受到行星輪個(gè)數(shù)的影響，當(dāng)軸承支承反力施加于軸承座處后，力信號(hào)的頻譜特征也反映在箱體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)信號(hào)中，即表現(xiàn)出以嚙合頻率為中心、裂紋故障頻率的1/分?jǐn)?shù)倍頻為間隔的調(diào)制邊帶．

2.4?實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證所建模型即參數(shù)計(jì)算方法的準(zhǔn)確性，搭建含太陽輪齒根裂紋損傷的行星齒輪箱動(dòng)力傳動(dòng)故障診斷實(shí)驗(yàn)臺(tái)．設(shè)置采樣頻率為12800Hz，采樣時(shí)間為10.24s，其他實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與仿真一致．對(duì)應(yīng)仿真信號(hào)采集點(diǎn)1、1，實(shí)驗(yàn)信號(hào)采集點(diǎn)表示為2、2，2、2位置如圖12所示．

圖12?動(dòng)力傳動(dòng)系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)

采集2、2點(diǎn)的振動(dòng)加速度信號(hào)，并對(duì)這一信號(hào)進(jìn)行頻譜分析，結(jié)果如圖13和圖14所示．

圖13?A2點(diǎn)沿y向的頻譜信號(hào)

圖14?B2點(diǎn)沿y向的頻譜信號(hào)

由圖13、圖14可知，實(shí)驗(yàn)信號(hào)中的主要頻率特征成分與仿真信號(hào)基本一致．但2、2點(diǎn)還包含1、1點(diǎn)沒有的頻率成分．究其原因，由于動(dòng)力傳動(dòng)故障診斷實(shí)驗(yàn)臺(tái)中包括高速級(jí)行星齒輪箱和低速級(jí)定軸齒輪箱，除上述行星齒輪箱外，定軸齒輪箱中的頻率成分在頻譜圖中也有呈現(xiàn)．盡管如此，上述原因并不影響揭示行星齒輪箱中齒根裂紋損傷的故障機(jī)理及振動(dòng)傳動(dòng)特性．

對(duì)比圖10與圖13、圖11和圖14可知，當(dāng)太陽輪存在齒根裂紋損傷時(shí)：①在嚙合頻率兩側(cè)均呈現(xiàn)以裂紋故障頻率crack的1/4倍頻、行星架旋轉(zhuǎn)頻率c為間隔的調(diào)制邊帶；②頻率m＋1/4crack兩側(cè)均呈現(xiàn)間隔為行星架轉(zhuǎn)頻c的調(diào)制邊帶，且嚙合頻率右側(cè)，m+ 1/4crack＋c處的頻率成分較m＋1/4crack－c處更為明顯，嚙合頻率左側(cè)情況類似；③1(2)點(diǎn)故障特征較點(diǎn)1(2)更為明顯，頻譜成分的整體峰值更高．

另外，對(duì)比各特征頻率處的幅值可以發(fā)現(xiàn)，相比于實(shí)測(cè)信號(hào)，仿真信號(hào)的嚙合頻率及其邊頻成分的峰值較低．其現(xiàn)象可能的原因在于：①行星齒輪箱作為復(fù)雜的機(jī)械系統(tǒng)，其實(shí)體結(jié)構(gòu)與運(yùn)行工況復(fù)雜，而理論模型中計(jì)入的影響參數(shù)有限，導(dǎo)致仿真結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果仍有一定差異；②文中內(nèi)、外齒輪副傳動(dòng)誤差間隔相分別存在5%和20%的差異，而被試齒輪箱中的誤差激勵(lì)更為復(fù)雜，導(dǎo)致仿真計(jì)算的時(shí)頻響應(yīng)與實(shí)測(cè)結(jié)果仍存在一定出入．盡管存在特征頻率處峰值不一致，但是仿真信號(hào)與實(shí)驗(yàn)信號(hào)各主要頻率成分基本一致，據(jù)此可以斷定所建行星齒輪箱的傳動(dòng)-結(jié)構(gòu)耦合動(dòng)力學(xué)模型及參數(shù)計(jì)算方法的準(zhǔn)確性．因此，本文研究模型可以揭示行星齒輪箱的故障機(jī)理和信號(hào)傳動(dòng)特性，并應(yīng)用于后續(xù)的故障診斷研究．

3?結(jié)?論

(1)建立了含齒根裂紋損傷的行星齒輪箱傳動(dòng)-結(jié)構(gòu)耦合動(dòng)力學(xué)模型．建模過程中，嚙合剛度與傳動(dòng)誤差的結(jié)果表明，齒根裂紋損傷會(huì)降低其所在輪齒的嚙合剛度，但對(duì)傳動(dòng)誤差的影響微弱．

(2)傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)表明，制造及安裝誤差造成各傳動(dòng)支路不均載，加劇了系統(tǒng)振動(dòng)，進(jìn)而使齒根裂紋損傷引起的嚙合沖擊被淹沒．

(3)有限元仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果均表明，所建動(dòng)力學(xué)模型能夠正確揭示行星齒輪箱的故障機(jī)理，而故障特征與行星輪個(gè)數(shù)相關(guān)．具體表現(xiàn)為頻譜圖中存在以嚙合頻率為中心、裂紋故障頻率的1/分?jǐn)?shù)倍頻及行星架旋轉(zhuǎn)頻率為間隔的調(diào)制邊帶．

(4)與仿真信號(hào)對(duì)比表明，實(shí)測(cè)信號(hào)中，各階次諧波的能量分配關(guān)系較理論仿真信號(hào)更為復(fù)雜，這一問題后續(xù)將通過細(xì)化動(dòng)力學(xué)模型做進(jìn)一步研究．

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Investigation of Fault Mechanism of a Planetary Gearbox with Incipient Tooth Crack

Zhang Jun1，Li Xike1，Wang Jian1，YaoLigang1，Liu Xianzeng2

(1. School of Mechanical Engineering and Automation，F(xiàn)uzhou University，F(xiàn)uzhou 350116，China；2. School of Mechanical Engineering，Tianjin University，Tianjin 300350，China)

Identifying weak fault features caused by an incipient tooth crack in a planetary gearbox is difficult．To characterize the fault features ofincipient tooth cracks in a planetary gear train，this paper established a transmission-structure-coupled nonlinear dynamic model that includes the effect of crack damage with lumped parameter method．Based on potential energy method，a mathematical model of time-varying mesh stiffness and transmission error was established．The effect of crack damage was incorporated into the nonlinear dynamic transmission model through stiffness excitation and displacement excitation functions．Furthermore，the vibration response of the planetary transmission system was solved，indicating that the difference in transmission error between internal and external transmission branches is an important cause of non-uniform load distribution．Moreover，a finite element model of the gearbox was built in the ANSYS Workbench environment．After applying the reaction forces of the sun gear，the carrier and the ring gear on the bearing housings of the gearbox，and including the modulation effect of the carrier rotation with a window function，frequency analysis can be conducted on the simulated vibration signals to identify the damage mode of the tooth crack．Finally，a test rig of the planetary gearbox was constructed，based on which a set of vibration tests were conducted to detect the tooth crack．The consistencies of the simulated and experimental signals prove that the proposed transmission-structure-coupled dynamic model can accurately reveal the fault mechanism of the planetary gearbox with an incipient tooth crack．The fault features of this planetary gearbox demonstrate a set of modulated sidebands around the mesh frequency．Additionally，the intervals of the modulated sidebands are the fractional frequencies doubling of the fault frequency and carrier rotation frequency．

planetary gearbox；incipient tooth crack；fault features；modulated sidebands

TH132.4

A

0493-2137(2019)11-1117-12

10.11784/tdxbz201812035

2018-12-19；

2019-01-27.

張?俊（1981—??），男，博士，教授.

張?俊，zhang_jun@fzu.edu.cn.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51875105，51375013).

Supported by the National Natural Science Foundation of China(No.51875105，No.51375013).

(責(zé)任編輯：金順愛)