張世欽

【摘要】數(shù)學(xué)教學(xué)，歷來我們關(guān)心的是教學(xué)結(jié)果，似乎離開正確結(jié)果的解答都毫無意義，雖然中高考試題不斷提醒我們要重視過程，獲取過程分，但事實上，教學(xué)中只認(rèn)結(jié)果的數(shù)學(xué)教學(xué)觀在新課程實施以后仍大面積存在.新課程要求加強(qiáng)過程教學(xué)，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》倡導(dǎo)通過過程教育促使學(xué)生全面、和諧發(fā)展.不論是概念、公式、定理的推導(dǎo)過程，還是具體例題、習(xí)題的解析、解答步驟，抑或是證明思路的思考、形成過程等，都是數(shù)學(xué)過程教學(xué)的一部分.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué);過程教學(xué);學(xué)科素養(yǎng)

現(xiàn)代教學(xué)論認(rèn)為：為了使學(xué)生學(xué)好雙基并發(fā)展智能，數(shù)學(xué)教學(xué)必須遵循展現(xiàn)思維過程的原則，其中既包括要領(lǐng)的發(fā)生發(fā)展過程和命題的形成過程，也包括解題思路的探索過程和解題方法的概括過程.長期以來，教師在日常的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中更多地把數(shù)學(xué)看成是一個結(jié)果，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握，忽視學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的實踐性、創(chuàng)造性和情感體驗.新的《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》把學(xué)生的發(fā)展放在首位，強(qiáng)調(diào)必須將數(shù)學(xué)教學(xué)的重心轉(zhuǎn)移到學(xué)生的發(fā)展上來，重視學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程性，明確提出解決問題、數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)交流以及情感與態(tài)度不是在獲得數(shù)學(xué)知識和技能之上再單獨培養(yǎng)的，它是與學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識和技能的過程緊密聯(lián)系，并逐步發(fā)展的一種能力.數(shù)學(xué)既應(yīng)被視為一個結(jié)果，更應(yīng)被視為一個過程.每一位數(shù)學(xué)教師在每一節(jié)課中都應(yīng)把數(shù)學(xué)作為一個過程去組織有關(guān)的學(xué)習(xí)活動，并對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程加以評價.

一、改變觀念，注重“過程教學(xué)”的價值

過程教育是旨在滿足學(xué)生全面、和諧發(fā)展的需要，關(guān)注數(shù)學(xué)結(jié)果的形成、應(yīng)用的過程和獲得數(shù)學(xué)結(jié)果（或解決問題）之后的反思過程的育人活動.所謂“過程教學(xué)”則是要突出“過程”在教學(xué)中的重要作用，這是因為：學(xué)生學(xué)習(xí)知識，理解概念、形成概念有過程，從理解到掌握再到應(yīng)用也有過程;知識有發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程，研究其發(fā)生發(fā)展過程的本身，還將構(gòu)成知識和能力，從而引向知識和能力進(jìn)一步發(fā)展的過程.

作為教師在平時的備課中不能對教材不屑一顧，或草草了事，一定要備出知識產(chǎn)生的過程，知識從哪里來，要去何方.要備教材中習(xí)題的變化及引申過程，備出讓學(xué)生動手實驗的機(jī)會、備出讓學(xué)生自主探究的機(jī)會.數(shù)學(xué)教學(xué)要注意數(shù)學(xué)知識發(fā)生過程的教學(xué)，只有這樣才能啟發(fā)學(xué)生積極思維，使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識過程中得到一種內(nèi)在的思維訓(xùn)練.因此，教學(xué)中必須注重知識的發(fā)生發(fā)展過程的講解，暴露知識背景，教給學(xué)生發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造的方法.

比如函數(shù)概念，不應(yīng)只關(guān)注對其表達(dá)式、自變量取值范圍、函數(shù)值的取值范圍的討論，而應(yīng)選取具體實例，使學(xué)生體會函數(shù)能夠反映實際事物的變化規(guī)律.

在平面直角坐標(biāo)系中，通過描點觀察點的分布情況，建立滿足上述關(guān)系的函數(shù)表達(dá)式.對函數(shù)概念的教學(xué)，更要關(guān)注概念的實際背景與形成過程，讓學(xué)生體驗一些熟知的實例，克服機(jī)械記憶概念的學(xué)習(xí)方式，經(jīng)歷知識的形成過程.教學(xué)中，可指導(dǎo)學(xué)生開展如下的活動：① 描點：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點.② 判斷：判斷各點的位置是否在同一直線上.（可以用直尺去試，或順次連接各點，觀察所有的點是否在同一直線上）③ 求解：在判斷出這些點在同一直線上的情況下，選擇兩個點的坐標(biāo)，求出一次函數(shù)的表達(dá)式.④ 驗證：驗證其余的點的坐標(biāo)是否滿足所求的一次函數(shù)表達(dá)式.教師通過四個步驟讓學(xué)生經(jīng)歷的一次函數(shù)概念的形成，體驗了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的過程，增強(qiáng)用數(shù)學(xué)的意識.

二、滲透學(xué)法，完善“過程教學(xué)”的結(jié)構(gòu)

我們常常會遇到這樣一種現(xiàn)象，隨著年齡的增大，學(xué)生求知的興趣卻一年一年在減弱.不少數(shù)學(xué)學(xué)得不錯的學(xué)生在長大以后卻遠(yuǎn)離數(shù)學(xué)，甚至討厭數(shù)學(xué)，原因是什么呢？

從學(xué)生方面來講，這主要是部分學(xué)生在他們的整個學(xué)習(xí)過程中對一些概括性的概念、結(jié)論、判斷不都是在研究事實和現(xiàn)象的過程后形成的，而是聽教師講授后知道的.因此，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中缺少主動地參與，更缺少積極的思考，缺少依靠自己的實踐去積極獲取知識的過程.學(xué)生走過的是題海，跳過的是“過程”.比如負(fù)數(shù)概念的教學(xué)，初一代數(shù)上冊借助于溫度計給出描述性定義，學(xué)生對負(fù)數(shù)概念往往難以透徹理解.若設(shè)計一個揭示概念與新問題間矛盾的實例，使學(xué)生感到“負(fù)數(shù)”產(chǎn)生的合理性和必要性，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)符號化思想的價值，則無疑有益于激發(fā)學(xué)生探究概念的興趣，從而更深刻、全面地理解概念.例如，筆者在演示溫度計時提出這樣一個問題：今年冬季某天北京白天的最高氣溫是零上10℃，夜晚最低氣溫是零下5℃，問這一天的最高氣溫比最低氣溫高多少度.學(xué)生知道應(yīng)該通過實施減法來求出問題的答案，但是，在具體列出算式時遇到了困惑：“是10℃～5℃嗎？”“不對！”“是零上10℃～零下5℃”嗎？”“似乎對，但又無法進(jìn)行運(yùn)算.”于是，一個關(guān)于“負(fù)數(shù)”及其表示的思考由此而展開了.再通過現(xiàn)實生活中大量表示相反意義的量，抽象概括出相反意義的量可用數(shù)學(xué)符號“+”與“-”來表示，從而解決了實際生活和數(shù)學(xué)中的一系列運(yùn)算問題，教學(xué)也達(dá)到了知識與思想?yún)f(xié)調(diào)發(fā)展的目的.

從教師方面來講，可能已經(jīng)把教材講明白，難點重點歸納清楚，課堂上盡量減少學(xué)習(xí)困難，讓學(xué)生走了一條平坦的路.但這樣學(xué)生就得不到積極的思考，而沒有思考的學(xué)習(xí)就像小鳥沒有了翅膀是飛不起來的，以后他一直需要得到老師的指導(dǎo)才能完成面臨的學(xué)習(xí)任務(wù).所以教師要積極全面地準(zhǔn)備“過程”，讓學(xué)生參與到教師的教學(xué)過程中來，主動思考教師為他們準(zhǔn)備的問題，讓學(xué)生體會發(fā)現(xiàn)的樂趣.依靠自己的分析，獨立的思考獲得知識，這樣的知識才能真正成為自己的知識，這種知識才是極其寶貴的.例如在“等腰三角形三線合一”教學(xué)中，不強(qiáng)調(diào)過程時可以這樣教：

（1）畫出等腰三角形底邊上的高;（2）觀察全等三角形并證明全等三角形;（3）證出垂足就是底邊上的中點、底邊與角平分線的交點;（4）歸納結(jié)論.

如果強(qiáng)調(diào)過程教學(xué)，那么應(yīng)該這樣去教：

（1）出示不等邊三角形（可用“幾何畫板”）;（2）畫出同一邊上高線、中線、角平分線，觀察三線位置;（3）慢慢拖動三角形一個頂點將不等邊三角形轉(zhuǎn)化為等腰三角形，同時觀察三線位置的變化過程，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)三線發(fā)生了怎樣的變化;（4）證明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論.

雖然兩種教學(xué)方法都向?qū)W生傳授了知識，但由于學(xué)生學(xué)習(xí)過程不同，體驗不同，前者失去“過程”，后者獲得“過程”，一樣的結(jié)論不一樣的過程，學(xué)生的收獲是不一樣的，結(jié)果誠可貴，過程價更高.其對學(xué)生影響有的是某一個階段而有的卻是終身受益.

三、巧設(shè)情景，豐富“過程教學(xué)”的內(nèi)涵

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上.教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機(jī)會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.”也就是說，數(shù)學(xué)教學(xué)活動的實質(zhì)是教師指導(dǎo)下的學(xué)生個體的認(rèn)識過程和發(fā)展過程.在新的課程標(biāo)準(zhǔn)中十分強(qiáng)調(diào)“過程”一詞，既要重視學(xué)生的參與過程，又要重視知識的重現(xiàn)過程.

筆者在“怎樣給圓定圓心”的教學(xué)中，設(shè)計如下的教學(xué)方式：

情景1：教師出示圓形紙片.如何確定出圓形紙片的圓心？（用折疊法）

情景2：撕碎圓形紙片給碎片定圓心.教師將圓形紙片當(dāng)著學(xué)生的面撕碎（可多撕幾下），學(xué)生面對突然出現(xiàn)的舉動有點驚訝，這時教師又為同學(xué)設(shè)置了一個新的情景.如何確定一塊碎片所在圓的圓心呢？（如圖1所示）

情景3：教師出示圓形木板（木板不可折疊），如何確定出圓形木板的圓心？（用曲尺或三角板）有了以上的知識準(zhǔn)備，我們可以進(jìn)一步引申出下一個問題.

思考題：如圖2所示，有一破殘的輪片，現(xiàn)要制作一個與原輪片同樣大小的圓形零件.請你根據(jù)所學(xué)的有關(guān)知識，設(shè)計兩種方案，確定這個圓形零件的半徑.

整堂課收到良好的教學(xué)效果.可見，有了學(xué)生的參與，課堂教學(xué)才顯得生機(jī)勃勃，學(xué)生才會變成課堂學(xué)習(xí)的主人，才會有感官、心理、情感上的諸多體驗.知識的再現(xiàn)過程有助于學(xué)生了解所學(xué)知識從何而來，解決何種問題，怎么解決，在有限的時間內(nèi)探究知識，這樣不是被動地接受知識而是主動獲取知識，獲得真正意義上的學(xué)習(xí)能力.而當(dāng)我們強(qiáng)調(diào)學(xué)生與“過程”時，同樣也要強(qiáng)調(diào)教師主動地參與這樣一個“過程”.

在教學(xué)活動中教師從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和學(xué)生的實際情況以及當(dāng)時的教學(xué)內(nèi)容設(shè)計教學(xué)情景，優(yōu)化教學(xué)過程，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)具有探究欲的問題環(huán)境，不斷培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性.瑞士心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為學(xué)生的認(rèn)識能力不能從外部形成，而只能由學(xué)生自身的發(fā)展來決定.改變教師的角色，改變數(shù)學(xué)課上只有老師講，學(xué)生聽，學(xué)生被動學(xué)習(xí)的教學(xué)方式.真正好的教師不應(yīng)只重視自己的教學(xué)過程，而應(yīng)也重視學(xué)生自主學(xué)習(xí)的過程.通過創(chuàng)設(shè)情景可以出現(xiàn)數(shù)學(xué)的“再發(fā)現(xiàn)”，知識是客觀存在的，但對學(xué)生而言卻都是新的，通過課堂上教師為學(xué)生準(zhǔn)備的數(shù)學(xué)情景，再通過師生之間、學(xué)生之間的相互討論交流不斷探究獲得結(jié)論，獲得解決的方案.只有掌握正確的交流方法，才能保證交流活動的有效，才能確保每一位學(xué)生真正地參與到交流活動中去，有效地在相互交流中完善認(rèn)識，調(diào)整自我.

四、啟迪思維，探究“過程教學(xué)”的本質(zhì)

在執(zhí)行新課程改革標(biāo)準(zhǔn)時，初中數(shù)學(xué)教學(xué)除了傳授知識（包括數(shù)學(xué)概念、公式、法則、定理）以外，更要促使學(xué)生形成數(shù)學(xué)邏輯思維，運(yùn)用合理的數(shù)學(xué)方法解決現(xiàn)實問題，積累豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，這就是核心素養(yǎng).一個具備了核心素養(yǎng)的人，必然善于以數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法來思考和解決問題，這已成為當(dāng)代學(xué)生進(jìn)入社會的必備本領(lǐng).在數(shù)學(xué)課堂落實核心素養(yǎng)，與新課標(biāo)提到的“基礎(chǔ)性、整合性與前瞻性”要求相符合，它既是當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教學(xué)的根本要求，也是著眼于數(shù)學(xué)教學(xué)未來發(fā)展的必經(jīng)之路.當(dāng)學(xué)生掌握了基本的數(shù)學(xué)知識，具備良好的數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)技能，也就逐步形成了核心素養(yǎng).所以教師應(yīng)轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)的教學(xué)觀念，創(chuàng)新教學(xué)方法，一方面關(guān)注學(xué)生的知識技能水平，另一方面挖掘數(shù)學(xué)知識技能中隱含的核心素養(yǎng)，這才是初中數(shù)學(xué)教育的本質(zhì).只有抓好核心素養(yǎng)，才能落實現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的“質(zhì)量觀”.過程教學(xué)就是傳授知識、發(fā)展思維能力和訓(xùn)練技能三位一體的活動，是知識和能力相結(jié)合的過程.但是知識轉(zhuǎn)化為能力有過程，掌握知識并不一定同時掌握凝聚于知識中的智慧.智力的價值具有一定的隱蔽性，不易引起注意，但它又具有可發(fā)現(xiàn)性.教師在教學(xué)中重視“過程”，設(shè)計“過程”，就要求教師在本質(zhì)上去引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)地進(jìn)行思維，發(fā)揮啟發(fā)引導(dǎo)作用.“學(xué)而不思則罔”，“不思則無，深思則遠(yuǎn)，遠(yuǎn)思則寬”，這些古訓(xùn)都反映了“過程”在掌握知識中的重要.

例如 （這是一道某校初一下期末考原創(chuàng)題）當(dāng)a，b都是實數(shù)，且滿足2a-b=6，就稱點Pa-1，b2+1為靠譜點.

（1）若點Q（（x，y）是靠譜點，用含x的式子表示y;

（2）已知關(guān)于B（b，0），C（b，c）的方程組x+y=4，x-y=2m， 當(dāng)m為何值時，以方程組的解為坐標(biāo)的點A（（x，y）是靠譜點，請說明理由.

這道原創(chuàng)題，主要考查學(xué)生對新概念的理解能力及變式消元能力.第（1）小題就是設(shè)計對“靠譜點”這個新概念的理解，讓學(xué)生展開“思維”過程.首先是如何牽線搭橋，使x，y和a，b拉上關(guān)系.通過對概念的理解，先想到a-1=x，b2+1=y， 因為a，b滿足2a-b=6，所以通過轉(zhuǎn)化可得

a=x+1，b=2y-2， 然后代入2a-b=6，最后推導(dǎo)出關(guān)于x，y的關(guān)系式：y=x-1.第（2）小題是第（1）的延續(xù)拓展，通過轉(zhuǎn)化消元，使x，y用m的代數(shù)式表示：x=m+2，y=2-m， 然后代入第（1）的結(jié)論y=x-1就可求出m的值.整道題在老師巧妙的構(gòu)造設(shè)計下，學(xué)生通過有序思考，層層推導(dǎo)，并能不斷轉(zhuǎn)化、變式、消元，理解能力和綜合運(yùn)用知識的能力得到了很大提升.

教師如何去設(shè)計“過程”？這是在新課程教學(xué)改革中我們每一位教師必須思考的首要問題.在課堂教學(xué)中教師應(yīng)設(shè)計一定情景下的數(shù)學(xué)問題，設(shè)計一些結(jié)論開放符合學(xué)生實際情況的操作題，讓學(xué)生參與到問題的探究中去，給學(xué)生思考、動手的時間和空間，改變教師“主講”為學(xué)生“主學(xué)”.過程教學(xué)的核心是展現(xiàn)思維中介，所以教師應(yīng)該將更多的精力放在如何組織學(xué)生的思考過程，如何設(shè)計教學(xué)過程，如何研究和發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有教材習(xí)題的功能，如何創(chuàng)設(shè)問題情景，如何恰當(dāng)利用多媒體輔助教學(xué)手段等等，真正讓探索過程成為課堂教學(xué)中的主旋律.

總之，數(shù)學(xué)課堂是思維靈動的課堂，而只有注重過程教學(xué)，才能讓學(xué)生在數(shù)學(xué)的海洋中盡情享受.在概念、命題等數(shù)學(xué)知識的教學(xué)中，教師通過數(shù)學(xué)思想、方法的滲透，讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)知識，也只有關(guān)注數(shù)學(xué)知識的形成過程并注重方法與思想的總結(jié)與提升，才能讓我們的學(xué)生真正感悟博大精深的數(shù)學(xué)思想.東北師大著名教授史寧中說過：教學(xué)中要讓學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，就要求教師在教學(xué)活動中，更多地關(guān)心學(xué)生的思維過程，抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情景，提出合適的問題，啟發(fā)學(xué)生獨立思考或與他人進(jìn)行有價值的討論，讓學(xué)生在掌握知識技能的同時，感悟數(shù)學(xué)的思想，積累數(shù)學(xué)思維的經(jīng)驗，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)，這也就是我們提倡的基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)教學(xué).

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